Номер 414, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 414, страница 126.

Условие.

414. Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными 3x – 2y = 1. Подберите второе уравнение так, чтобы система:

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесчисленное множество решений.

Решение 1.

Решение 8.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:
$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$
Количество решений такой системы зависит от соотношения коэффициентов. Нам дано первое уравнение $3x - 2y = 1$, в котором $a_1 = 3$, $b_1 = -2$ и $c_1 = 1$. Подберем второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

а) имела единственное решение;

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Алгебраически это условие выражается как непропорциональность коэффициентов при переменных $x$ и $y$:
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
Подставим известные нам значения $a_1=3$ и $b_1=-2$:
$\frac{3}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2}$
Нам нужно выбрать такие $a_2$ и $b_2$, чтобы это неравенство выполнялось. Самый простой способ — выбрать коэффициенты, которые не кратны исходным. Например, пусть $a_2 = 1$ и $b_2 = 1$. Проверим условие:
$\frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1}$, или $3 \neq -2$. Это верное неравенство.
Коэффициент $c_2$ может быть любым. Возьмем, к примеру, $c_2 = 5$. Таким образом, второе уравнение может быть $x + y = 5$.
Ответ: Например, $x + y = 5$.

б) не имела решений;

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны и не совпадают. Это происходит, когда их угловые коэффициенты равны, а точки пересечения с осями координат различны. Алгебраически это условие выглядит так: коэффициенты при переменных $x$ и $y$ пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Подставим известные нам значения $a_1=3$, $b_1=-2$, $c_1=1$:
$\frac{3}{a_2} = \frac{-2}{b_2} \neq \frac{1}{c_2}$
Чтобы левая часть равенства выполнялась, $a_2$ и $b_2$ должны быть пропорциональны $a_1$ и $b_1$. Возьмем коэффициент пропорциональности, например, $k=2$. Тогда:
$a_2 = a_1 \cdot k = 3 \cdot 2 = 6$
$b_2 = b_1 \cdot k = -2 \cdot 2 = -4$
При этом отношение коэффициентов равно $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$. Теперь нам нужно подобрать $c_2$ так, чтобы выполнялось неравенство $\frac{c_1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$, то есть $\frac{1}{c_2} \neq \frac{1}{2}$, откуда $c_2 \neq 2$. Мы можем выбрать любое значение для $c_2$, кроме 2. Например, пусть $c_2 = 3$. Тогда второе уравнение будет $6x - 4y = 3$.
Ответ: Например, $6x - 4y = 3$.

в) имела бесчисленное множество решений.

Система имеет бесчисленное множество решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что все коэффициенты второго уравнения пропорциональны соответствующим коэффициентам первого уравнения:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
Подставим известные нам значения $a_1=3$, $b_1=-2$, $c_1=1$:
$\frac{3}{a_2} = \frac{-2}{b_2} = \frac{1}{c_2}$
Чтобы это условие выполнялось, второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторое ненулевое число $k$. Выберем, например, $k=3$.
$3 \cdot (3x - 2y) = 3 \cdot 1$
$9x - 6y = 3$
Здесь $a_2=9$, $b_2=-6$, $c_2=3$. Проверим равенство отношений: $\frac{3}{9} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$. Все отношения равны $\frac{1}{3}$. Условие выполняется.
Ответ: Например, $9x - 6y = 3$.