Номер 416, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 416, страница 126.

Условие.

416. В системе уравнений

подберите такие значения коэффициентов k и m, чтобы система:

а) не имела решений;

б) имела бесчисленное множество решений;

в) имела единственное решение.

Решение 1.

Решение 8.

Для анализа количества решений системы линейных уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $ необходимо сравнить отношения их коэффициентов. Геометрически каждое уравнение представляет собой прямую на плоскости, а количество решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых.

• Система имеет единственное решение (прямые пересекаются), если отношение коэффициентов при переменных не равно: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.
• Система не имеет решений (прямые параллельны и не совпадают), если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.
• Система имеет бесчисленное множество решений (прямые совпадают), если все отношения равны: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

В данной системе $ \begin{cases} 4x - 5y = 8 \\ kx + 15y = m \end{cases} $ коэффициенты равны:

$ a_1 = 4, b_1 = -5, c_1 = 8 $

$ a_2 = k, b_2 = 15, c_2 = m $

Составим отношения коэффициентов для анализа:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{k} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{m} $

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) не имела решений;

Чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $. Подставим значения коэффициентов:

$ \frac{4}{k} = -\frac{1}{3} $ и $ -\frac{1}{3} \neq \frac{8}{m} $.

Из первого равенства находим значение $ k $:

$ 4 \cdot 3 = -1 \cdot k \implies 12 = -k \implies k = -12 $.

Из второго неравенства находим условие для $ m $:

$ -m \neq 3 \cdot 8 \implies -m \neq 24 \implies m \neq -24 $.

Таким образом, система не имеет решений при $ k = -12 $ и любом значении $ m $, не равном $ -24 $.

Ответ: $ k = -12, m \neq -24 $.

б) имела бесчисленное множество решений;

Чтобы система имела бесчисленное множество решений, должно выполняться условие $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $. Подставим значения:

$ \frac{4}{k} = -\frac{1}{3} = \frac{8}{m} $.

Это условие эквивалентно системе двух уравнений:

1) $ \frac{4}{k} = -\frac{1}{3} \implies k = -12 $.

2) $ -\frac{1}{3} = \frac{8}{m} \implies -m = 3 \cdot 8 \implies m = -24 $.

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений, когда $ k = -12 $ и $ m = -24 $.

Ответ: $ k = -12, m = -24 $.

в) имела единственное решение.

Чтобы система имела единственное решение, должно выполняться условие $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $. Подставим значения:

$ \frac{4}{k} \neq -\frac{1}{3} $.

Решим это неравенство относительно $ k $:

$ 4 \cdot 3 \neq -1 \cdot k \implies 12 \neq -k \implies k \neq -12 $.

Это условие зависит только от коэффициентов при переменных $ x $ и $ y $. Коэффициент $ m $ может быть любым действительным числом, так как он не влияет на наклон прямых.

Таким образом, система имеет единственное решение при любом значении $ k $, не равном $ -12 $, и любом значении $ m $.

Ответ: $ k \neq -12 $, $ m $ — любое число.