Номер 386, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

386. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 2)(y + 3) = 160, \\ y - x = 1; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$y - x = 1 \implies y = x + 1$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$(x - 2)((x + 1) + 3) = 160$

Упростим выражение в скобках:

$(x - 2)(x + 4) = 160$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив двучлены:

$x^2 + 4x - 2x - 8 = 160$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x - 8 = 160$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 8 - 160 = 0$

$x^2 + 2x - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня x, используя ранее выведенное соотношение $y = x + 1$:

Если $x_1 = 12$, то $y_1 = 12 + 1 = 13$.

Если $x_2 = -14$, то $y_2 = -14 + 1 = -13$.

Таким образом, мы получили две пары решений $(x; y)$.

Ответ: $(12; 13)$, $(-14; -13)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 1)(y + 10) = 9, \\ x - y = 11. \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$x - y = 11 \implies y = x - 11$

Подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$(x - 1)((x - 11) + 10) = 9$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x - 1)(x - 1) = 9$

Это можно записать как:

$(x - 1)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

$x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$

Решим каждое из этих линейных уравнений:

1) $x - 1 = 3 \implies x_1 = 3 + 1 = 4$

2) $x - 1 = -3 \implies x_2 = -3 + 1 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x, используя формулу $y = x - 11$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 11 = -7$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 - 11 = -13$.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(4; -7)$, $(-2; -13)$.