Номер 3, страница 9, часть 1 - гдз по математике 1 класс учебник Дорофеев, Миракова

Часть 1. Сравнение и счёт предметов. Разговор о величине - номер 3, страница 9.

Условие 2019-2022.

На изображении не найдено текста или математических формул.

Решение 2.

Для решения задачи проанализируем представленную на изображении последовательность фигур. Фигура представляет собой цепочку из соприкасающихся сторонами квадратов. Нам нужно определить закономерности, связывающие количество квадратов с количеством отрезков (спичек) и узлов (точек).

а) Сколько спичек и узлов в фигуре, изображенной на рисунке?
Сначала посчитаем количество квадратов в фигуре на рисунке. Их 12.
Теперь подсчитаем количество спичек (отрезков). Фигура состоит из 12 верхних горизонтальных отрезков, 12 нижних горизонтальных отрезков и 13 вертикальных отрезков. Общее количество спичек: $12 + 12 + 13 = 37$.
Далее подсчитаем количество узлов (точек). Узлы расположены в два ряда. В верхнем ряду находится $12 + 1 = 13$ узлов, и в нижнем ряду также $12 + 1 = 13$ узлов. Общее количество узлов: $13 + 13 = 26$.
Ответ: В фигуре на рисунке 37 спичек и 26 узлов.

б) Выведите формулу для нахождения количества спичек (S) в зависимости от количества квадратов (n).
Рассмотрим, как изменяется количество спичек с добавлением каждого нового квадрата.
Для построения первого квадрата ($n=1$) требуется 4 спички.
Для построения второго квадрата ($n=2$) нужно добавить 3 спички, так как одна сторона уже есть. Всего $4+3=7$ спичек.
Каждый последующий квадрат также добавляет по 3 спички.
Таким образом, для постройки фигуры из $n$ квадратов понадобится 4 спички для первого квадрата и по 3 спички для каждого из оставшихся $(n-1)$ квадратов.
Составим формулу: $S(n) = 4 + 3 \cdot (n-1)$.
Упростим ее: $S(n) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$.
Проверим для фигуры на рисунке ($n=12$): $S(12) = 3 \cdot 12 + 1 = 36 + 1 = 37$. Результат совпадает.
Ответ: Формула для нахождения числа спичек: $S(n) = 3n + 1$.

в) Выведите формулу для нахождения количества узлов (U) в зависимости от количества квадратов (n).
Рассмотрим, как изменяется количество узлов с добавлением каждого нового квадрата.
Первый квадрат ($n=1$) имеет 4 узла.
При добавлении второго квадрата ($n=2$) добавляется 2 новых узла, так как два узла являются общими с первым квадратом. Всего $4+2=6$ узлов.
Каждый последующий квадрат также добавляет по 2 новых узла.
Для фигуры из $n$ квадратов потребуется 4 узла для первого квадрата и по 2 узла для каждого из оставшихся $(n-1)$ квадратов.
Составим формулу: $U(n) = 4 + 2 \cdot (n-1)$.
Упростим ее: $U(n) = 4 + 2n - 2 = 2n + 2$.
Альтернативный способ: для $n$ квадратов в верхнем ряду будет $(n+1)$ узел и в нижнем ряду также $(n+1)$ узел. Общее число узлов: $U(n) = (n+1) + (n+1) = 2(n+1) = 2n + 2$.
Проверим для фигуры на рисунке ($n=12$): $U(12) = 2 \cdot 12 + 2 = 24 + 2 = 26$. Результат совпадает.
Ответ: Формула для нахождения числа узлов: $U(n) = 2n + 2$.

г) Сколько спичек и узлов потребуется для построения фигуры из 25 квадратов?
Используем выведенные формулы, подставив в них $n=25$.
Количество спичек:
$S(25) = 3 \cdot 25 + 1 = 75 + 1 = 76$.
Количество узлов:
$U(25) = 2 \cdot 25 + 2 = 50 + 2 = 52$.
Ответ: Для построения фигуры из 25 квадратов потребуется 76 спичек и 52 узла.