Номер 10, страница 82, часть 2 - гдз по математике 1 класс учебник Дорофеев, Миракова

Часть 2. Нумерация. Сложение и вычитание. Сложение с переходом через десяток - номер 10, страница 82.

Условие 2019-2022.

10 Белочка собрала 15 орехов и разложила их в кучки так, что количество орехов в этих кучках выражалось последовательными числами (каждое следующее число на 1 больше предыдущего). Сколько могло быть кучек?

Решение.

Решение 2.

Пусть количество кучек равно $k$, а количество орехов в самой маленькой кучке равно $n$. Так как количество орехов в кучках — это последовательные числа, то мы имеем дело с арифметической прогрессией: $n, n+1, n+2, \dots, n+k-1$. По условию задачи, $k$ (количество кучек) должно быть целым числом больше 1, а $n$ (количество орехов) — натуральным числом, то есть $n \ge 1$.

Общее количество орехов равно 15. Сумма членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_k = \frac{(a_1 + a_k) \cdot k}{2}$

Подставим наши значения: $S_k = 15$, первый член $a_1 = n$, а последний член $a_k = n+k-1$.

$15 = \frac{(n + (n+k-1)) \cdot k}{2}$

Умножим обе части на 2 и упростим выражение в скобках:

$30 = (2n + k - 1) \cdot k$

Из этого уравнения следует, что $k$ должно быть делителем числа 30. Также мы можем выразить $n$, чтобы найти дополнительные ограничения на $k$.

$2n + k - 1 = \frac{30}{k}$

$2n = \frac{30}{k} - k + 1$

Поскольку $n \ge 1$, то $2n \ge 2$. Это значит, что выражение в правой части должно быть чётным числом, не меньшим 2.

$\frac{30}{k} - k + 1 \ge 2$

$\frac{30}{k} \ge k + 1$

$30 \ge k(k+1)$

Теперь нам нужно найти все целые числа $k > 1$, которые одновременно являются делителями числа 30 и удовлетворяют неравенству $30 \ge k(k+1)$. Будем перебирать делители 30 по возрастанию.

Вариант с 2 кучками ($k=2$)

Число 2 является делителем 30. Проверяем неравенство: $2 \cdot (2+1) = 6 \le 30$. Условие выполняется. Найдём количество орехов в первой кучке: $2n = \frac{30}{2} - 2 + 1 = 15 - 1 = 14$, откуда $n=7$. Значит, могло быть 2 кучки: 7 и 8 орехов ($7+8=15$).

Вариант с 3 кучками ($k=3$)

Число 3 является делителем 30. Проверяем неравенство: $3 \cdot (3+1) = 12 \le 30$. Условие выполняется. Найдём $n$: $2n = \frac{30}{3} - 3 + 1 = 10 - 2 = 8$, откуда $n=4$. Значит, могло быть 3 кучки: 4, 5 и 6 орехов ($4+5+6=15$).

Вариант с 5 кучками ($k=5$)

Число 5 является делителем 30. Проверяем неравенство: $5 \cdot (5+1) = 30 \le 30$. Условие выполняется. Найдём $n$: $2n = \frac{30}{5} - 5 + 1 = 6 - 4 = 2$, откуда $n=1$. Значит, могло быть 5 кучек: 1, 2, 3, 4 и 5 орехов ($1+2+3+4+5=15$).

Проверка других вариантов

Следующий делитель числа 30 — это 6. Для $k=6$ неравенство $30 \ge k(k+1)$ не выполняется, так как $6 \cdot (6+1) = 42 > 30$. Для всех больших делителей (10, 15, 30) неравенство тем более не будет выполняться.

Таким образом, мы нашли все возможные варианты.

Ответ: Могло быть 2, 3 или 5 кучек.