Страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. В каком случае их называют равносильными?

1. Два неравенства с одной переменной, в данном случае $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают.

Это означает, что любое число, являющееся решением первого неравенства, обязательно является решением и второго, и наоборот — любое число, являющееся решением второго неравенства, является решением и первого.

Если обозначить множество решений неравенства $f(x) > g(x)$ как $M_1$, а множество решений неравенства $p(x) < h(x)$ как $M_2$, то условием равносильности является равенство этих множеств: $M_1 = M_2$.

Важно отметить, что это определение включает в себя и случай, когда оба неравенства не имеют решений. В такой ситуации множество решений каждого из них является пустым множеством ($M_1 = \emptyset$ и $M_2 = \emptyset$). Поскольку пустые множества равны, то такие неравенства также считаются равносильными.

Например, неравенства $x^2 < -1$ и $\sqrt{x} < -2$ равносильны, так как оба не имеют действительных решений (их множества решений пусты).

Ответ: Два неравенства $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$ называют равносильными, если множество всех решений первого неравенства в точности совпадает с множеством всех решений второго неравенства.

2. Известно, что оба неравенства $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$ не имеют решений. Можно ли назвать их равносильными?

По определению, два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое неравенство $f(x) > g(x)$. По условию, это неравенство не имеет решений. Это означает, что множество его решений является пустым множеством, которое обозначается как $\emptyset$.

Рассмотрим второе неравенство $p(x) < h(x)$. По условию, это неравенство также не имеет решений. Следовательно, множество его решений также является пустым множеством, $\emptyset$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами), то, по определению, эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Да, можно назвать их равносильными.

3. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. В каком случае неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$?

Для того чтобы неравенство $f(x) > g(x)$ являлось следствием неравенства $p(x) < h(x)$, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства было подмножеством множества решений первого. Это означает, что для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $p(x) < h(x)$, также должно выполняться условие $f(x) > g(x)$.

Чтобы гарантировать это, можно установить такую связь между функциями, которая позволит построить логическую цепочку неравенств. Для наглядности перепишем неравенство-следствие в эквивалентном виде: $g(x) < f(x)$.

Рассмотрим достаточные условия, которые связывают все четыре функции. Предположим, что для всех значений $x$ из общей области определения функций выполняются следующие два неравенства: $f(x) \ge h(x)$ и $g(x) \le p(x)$.

Теперь, если для какого-либо $x$ истинно неравенство $p(x) < h(x)$, мы можем объединить все известные нам неравенства в одну цепочку:

$g(x) \le p(x) < h(x) \le f(x)$

Эта цепочка получается последовательным применением неравенств: сначала $g(x) \le p(x)$, затем исходного $p(x) < h(x)$, и, наконец, $h(x) \le f(x)$.

Из данной цепочки $g(x) \le p(x) < h(x) \le f(x)$ очевидно следует, что крайние члены связаны строгим неравенством: $g(x) < f(x)$. Это эквивалентно исходному неравенству-следствию $f(x) > g(x)$.

Следовательно, мы нашли случай, при котором из истинности $p(x) < h(x)$ вытекает истинность $f(x) > g(x)$.

Ответ: Неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$, если для всех $x$ из общей области определения этих функций одновременно выполняются два условия: $f(x) \ge h(x)$ и $g(x) \le p(x)$.

4. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти неравенства равносильными?

Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться в определениях понятий "следствие" и "равносильность" применительно к неравенствам.

Пусть $M_1$ — это множество всех решений неравенства $f(x) > g(x)$, а $M_2$ — это множество всех решений неравенства $p(x) < h(x)$.

Утверждение "неравенство $p(x) < h(x)$ является следствием неравенства $f(x) > g(x)$" означает, что любое решение первого неравенства является также решением второго. На языке теории множеств это записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Аналогично, утверждение "неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$" означает, что любое решение второго неравенства является также решением первого. На языке теории множеств это записывается как $M_2 \subseteq M_1$.

В условии задачи сказано, что каждое из неравенств является следствием другого. Это означает, что оба условия, $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$, выполняются одновременно.

Из аксиом теории множеств известно, что если один набор является подмножеством второго, а второй — подмножеством первого, то эти наборы равны. Следовательно, из двух вышеуказанных условий следует, что $M_1 = M_2$.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными) тогда и только тогда, когда множества их решений совпадают.

Поскольку мы установили, что множества решений данных неравенств равны ($M_1 = M_2$), то по определению эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Да, можно. Условие, что каждое из двух неравенств является следствием другого, является определением равносильности этих неравенств.

5. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$?

Областью определения неравенства (также известной как область допустимых значений переменной или ОДЗ) вида $f(x) > g(x)$ называется множество всех значений переменной $x$, при которых обе функции, стоящие в левой ($f(x)$) и правой ($g(x)$) частях неравенства, одновременно определены, то есть имеют смысл.

По сути, для того чтобы сравнивать значения $f(x)$ и $g(x)$, необходимо, чтобы оба этих значения существовали. Поэтому ОДЗ неравенства — это пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

Математически это можно записать так: если $D(f)$ — это область определения функции $f(x)$, а $D(g)$ — область определения функции $g(x)$, то ОДЗ для неравенства $f(x) > g(x)$ находится как их пересечение:

$ОДЗ = D(f) \cap D(g)$

При нахождении ОДЗ необходимо учитывать все возможные ограничения на переменную $x$:

• Если в выражении есть дробь вида $\frac{A}{B}$, то ее знаменатель не должен быть равен нулю: $B \ne 0$.
• Если в выражении есть корень четной степени $\sqrt[2n]{A}$, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $A \ge 0$.
• Если в выражении есть логарифм $\log_a(B)$, то его аргумент должен быть строго положительным ($B > 0$), а основание — положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \ne 1$).

Пример:

Найдем ОДЗ для неравенства $\log_2(x - 1) > \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$.

1. Левая часть $f(x) = \log_2(x - 1)$ определена, когда аргумент логарифма больше нуля:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Таким образом, $D(f) = (1, +\infty)$.

2. Правая часть $g(x) = \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ определена, когда выполняются два условия:
а) подкоренное выражение неотрицательно: $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$;
б) знаменатель не равен нулю: $\sqrt{5 - x} \ne 0 \implies 5 - x \ne 0 \implies x \ne 5$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным: $5 - x > 0 \implies x < 5$.
Таким образом, $D(g) = (-\infty, 5)$.

3. ОДЗ неравенства является пересечением областей определения $D(f)$ и $D(g)$: $ОДЗ = (1, +\infty) \cap (-\infty, 5) = (1, 5)$.

Значит, ОДЗ данного неравенства — это интервал $(1, 5)$. Решения неравенства могут находиться только в этом интервале.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых имеют смысл (определены) обе части этого неравенства одновременно. ОДЗ находится как пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

нений переменной ОДЗ) неравенства $f(x) \geq g(x)$

Равносильные (или эквивалентные) преобразования неравенства — это такие преобразования, которые заменяют исходное неравенство другим неравенством, имеющим в точности то же самое множество решений. Иногда в процессе преобразований область допустимых значений (ОДЗ) может измениться, но конечное множество решений должно совпасть с множеством решений исходного неравенства.

Основные равносильные преобразования неравенств с одной переменной:

Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование основано на прибавлении или вычитании одного и того же выражения, определенного на ОДЗ исходного неравенства, к обеим его частям.

Формально, неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > 0$.

Пример: неравенство $3x^2 + 2x > x^2 + 5$ равносильно неравенству $3x^2 - x^2 + 2x - 5 > 0$, то есть $2x^2 + 2x - 5 > 0$.

Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный.

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение $h(x)$, если известно, что оно строго положительно ($h(x) > 0$) для всех $x$ из области определения неравенства. При этом знак неравенства сохраняется.

Если $h(x) > 0$, то $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Пример: неравенство $\frac{x-3}{x^2+4} > 0$ равносильно неравенству $x-3 > 0$, так как знаменатель $x^2+4$ всегда положителен. Решением будет $x>3$.

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или выражение, сохраняя знак неравенства.

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение $h(x)$, если известно, что оно строго отрицательно ($h(x) < 0$) для всех $x$ из области определения. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ( $>$ на $<$, $\ge$ на $\le$ и наоборот).

Если $h(x) < 0$, то $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Пример: неравенство $-5x < 10$ равносильно неравенству $x > -2$ (делим на -5 и меняем знак $<$ на $>$).

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или выражение, изменяя знак неравенства на противоположный.

Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго возрастающую функцию $y=h(z)$, то получится равносильное неравенство того же знака, при условии, что обе части исходного неравенства входят в область определения этой функции.

Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} h(f(x)) > h(g(x)) \\ f(x) \in D(h) \\ g(x) \in D(h) \end{cases}$, где $D(h)$ — область определения функции $h$.

Частые случаи:

• Возведение в нечетную степень: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow (f(x))^{2n+1} > (g(x))^{2n+1}$.
• Логарифмирование по основанию $a>1$: если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то $f(x)>g(x) \Leftrightarrow \log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
• Потенцирование по основанию $a>1$: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} > a^{g(x)}$.

Пример: неравенство $2^{x-1} > 8$ можно представить как $2^{x-1} > 2^3$. Так как функция $y=2^z$ является строго возрастающей, это неравенство равносильно неравенству $x-1 > 3$, откуда $x>4$.

Ответ: Замена неравенства $f(x) > g(x)$ на неравенство $h(f(x)) > h(g(x))$, где $h(z)$ — строго возрастающая функция, с обязательным учетом области определения функции $h(z)$.

Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго убывающую функцию $y=h(z)$, то получится равносильное неравенство с противоположным знаком, при условии, что обе части исходного неравенства входят в область определения этой функции.

Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} h(f(x)) < h(g(x)) \\ f(x) \in D(h) \\ g(x) \in D(h) \end{cases}$, где $D(h)$ — область определения функции $h$.

Частые случаи:

• Логарифмирование по основанию $0<a<1$: если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то $f(x)>g(x) \Leftrightarrow \log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.
• Потенцирование по основанию $0<a<1$: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} < a^{g(x)}$.

Пример: неравенство $\log_{0.5}(x) > \log_{0.5}(3)$ равносильно системе $\begin{cases} x < 3 \\ x > 0 \end{cases}$, так как функция $y=\log_{0.5}(z)$ строго убывающая, и ее область определения $z>0$.

Ответ: Замена неравенства $f(x) > g(x)$ на неравенство $h(f(x)) < h(g(x))$, где $h(z)$ — строго убывающая функция, с обязательным учетом области определения функции $h(z)$.

Это преобразование является равносильным только в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны. Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $(f(x))^{2n} > (g(x))^{2n}$ для любого натурального $n$.

Пример: неравенство $\sqrt{x+5} > 3$ равносильно неравенству $x+5 > 9$, поскольку обе части (арифметический корень и число 3) неотрицательны. При этом нужно учесть ОДЗ корня: $x+5 \ge 0$. Решением будет $x>4$.

Если хотя бы одна из частей может принимать отрицательные значения, это преобразование не является равносильным и может привести к потере или приобретению корней. Например, $-5 < 3$ (верно), но $(-5)^2 < 3^2$ (неверно, так как $25<9$ ложно).

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в четную степень является равносильным преобразованием только при условии их неотрицательности.

7. Какие вы знаете неравносильные преобразования неравенства с одной переменной?

Неравносильные преобразования неравенств с одной переменной — это преобразования, которые приводят к изменению множества решений исходного неравенства. В результате таких преобразований можно либо потерять часть верных решений (сужение множества решений), либо приобрести посторонние решения, не удовлетворяющие исходному неравенству (расширение множества решений).

К основным видам неравносильных преобразований относятся:

1. Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, знак которого неизвестен.

Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную, является равносильным преобразованием только в том случае, если это выражение принимает значения строго одного знака на всей области допустимых значений (ОДЗ). Если же выражение может быть как положительным, так и отрицательным, то такое преобразование без учета знака этого выражения приведет к неверному результату. Например, при умножении на отрицательное значение знак неравенства должен меняться на противоположный.

Пример:

Рассмотрим неравенство $\frac{x-1}{x} > 0$.

Некорректное (неравносильное) преобразование — умножить обе части на $x$, предполагая, что $x > 0$:$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.При этом теряется часть решений.Правильное решение этого неравенства методом интервалов дает $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.Неравносильное преобразование привело к потере интервала $(-\infty; 0)$.

Ответ: Умножение или деление на выражение с переменной без рассмотрения случаев, когда это выражение положительно, отрицательно или равно нулю, является неравносильным преобразованием, которое может привести к потере решений или приобретению посторонних.

2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень.

Возведение в квадрат (или любую другую четную степень) обеих частей неравенства является равносильным преобразованием только тогда, когда обе части неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей может принимать отрицательные значения, то такое преобразование, как правило, неравносильно и часто приводит к появлению посторонних решений.

Пример:

Рассмотрим неравенство $x > -3$.

Множество его решений — это интервал $(-3; +\infty)$.Если возвести обе части в квадрат, получим:$x^2 > (-3)^2 \Rightarrow x^2 > 9$.Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.Сравнивая с исходным множеством решений, мы видим, что были потеряны решения из интервала $(-3; 3]$ и приобретены посторонние решения из интервала $(-\infty; -3)$.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в четную степень без учета знаков выражений является неравносильным преобразованием, так как оно не сохраняет отношение порядка для отрицательных чисел и может изменить множество решений.

3. Некорректное применение логарифмирования.

Переход от неравенства $f(x) > g(x)$ к неравенству $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ (при $a>1$) является равносильным только на множестве тех значений $x$, для которых обе функции $f(x)$ и $g(x)$ строго положительны. Применение логарифмирования без учета этого условия — это неравносильное преобразование, так как оно искусственно сужает область допустимых значений (ОДЗ).

Пример:

Рассмотрим неравенство $x^3 > -27$.

Решением является $x > -3$.Применить логарифмирование к обеим частям напрямую нельзя, так как правая часть отрицательна, и логарифм от нее не определен. Если бы мы проигнорировали это и попытались применить логарифм, это было бы математически некорректным действием. Если же в неравенстве вида $f(x) > g(x)$ есть решения, при которых $f(x)$ или $g(x)$ неположительны, то операция логарифмирования приведет к их потере.

Ответ: Логарифмирование обеих частей неравенства является неравносильным преобразованием, если не учитывается требование положительности выражений под знаком логарифма, что приводит к сужению ОДЗ и возможной потере решений.

4. Преобразования, изменяющие область допустимых значений (ОДЗ).

Любые преобразования, которые приводят к изменению ОДЗ исходного неравенства, являются неравносильными. Это может быть как сужение ОДЗ (что ведет к потере корней), так и его расширение (что ведет к появлению посторонних корней).

Пример (расширение ОДЗ):

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 9}{x - 3} > 2$.

ОДЗ этого неравенства: $x \neq 3$.Некорректное преобразование — сокращение дроби:$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} > 2 \Rightarrow x+3 > 2 \Rightarrow x > -1$.Решение $x > -1$ включает в себя значение $x=3$, которое не входит в ОДЗ исходного неравенства.Правильное решение: $x > -1$ с учетом ОДЗ $x \neq 3$. То есть $x \in (-1; 3) \cup (3; +\infty)$. Без учета ОДЗ мы бы получили постороннее решение.

Пример (сужение ОДЗ):

Переход от неравенства $\sqrt{f(x)g(x)} > h(x)$ к $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} > h(x)$.ОДЗ первого неравенства: $f(x)g(x) \ge 0$. Это возможно, когда $f(x) \ge 0, g(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0, g(x) \le 0$.ОДЗ второго неравенства: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.Такое преобразование сужает ОДЗ, отбрасывая случай, когда обе функции неположительны, и может привести к потере решений.

Ответ: Преобразования, которые меняют ОДЗ (например, сокращение дробей без учета знаменателя, неверная работа с корнями или логарифмами), являются неравносильными, так как могут приводить к потере или приобретению решений.

8. Что называют системой неравенств с одной переменной? Что называют частным решением системы неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Что называют системой неравенств с одной переменной?

Если требуется найти все значения переменной, которые одновременно удовлетворяют двум или нескольким неравенствам с этой переменной, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для обозначения системы неравенств используется фигурная скобка. Каждое из этих неравенств должно содержать одну и ту же переменную.

Например, запись $ \begin{cases} 2x + 5 > 9 \\ x - 1 \le 4 \end{cases} $ является системой неравенств с одной переменной $x$. Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, при которых оба неравенства обращаются в верные числовые неравенства.

Ответ: Системой неравенств с одной переменной называют два или более неравенства с одной и той же переменной, для которых необходимо найти все общие решения.

Что называют частным решением системы неравенств?

Частным решением системы неравенств с одной переменной называется любое конкретное значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы превращается в верное числовое неравенство. Иными словами, это одно число, которое является решением для всех неравенств системы одновременно.

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 3x > 6 \\ x < 5 \end{cases} $

Число $x=4$ является частным решением этой системы, так как при его подстановке оба неравенства выполняются:

• $3 \cdot 4 > 6 \implies 12 > 6$ (верно)
• $4 < 5$ (верно)

А вот число $x=6$ не является частным решением, так как второе неравенство не выполняется: $6 < 5$ (неверно).

Ответ: Частным решением системы неравенств называется значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы.

Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Общим решением (или просто решением) системы неравенств называется множество всех её частных решений. Процесс нахождения этого множества и называется "решением системы неравенств".

Общее решение системы представляет собой пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Это решение обычно записывается в виде числового промежутка (например, интервала $(a, b)$, отрезка $[a, b]$, полуинтервала $[a, b)$ или $(a, b]$), их объединения, либо указывается, что решений нет (в этом случае решением является пустое множество, $\emptyset$).

Для системы из предыдущего примера: $ \begin{cases} 3x > 6 \\ x < 5 \end{cases} $ решим каждое неравенство отдельно: $ \begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases} $

Общим решением будет пересечение множеств $x > 2$ и $x < 5$, то есть все числа, которые одновременно больше 2 и меньше 5. Это множество можно записать в виде двойного неравенства $2 < x < 5$ или в виде интервала $(2; 5)$.

Ответ: Общим решением (или просто решением) системы неравенств называется множество всех её частных решений.

9. Что называют совокупностью неравенств с одной переменной? Что называют частным решением совокупности неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) совокупности неравенств?

Что называют совокупностью неравенств с одной переменной?
Если имеется несколько неравенств с одной и той же переменной, и ставится задача найти все значения этой переменной, которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств, то говорят, что задана совокупность неравенств. Совокупность является логической операцией «ИЛИ». Для записи совокупности неравенств используется квадратная скобка. Например, совокупность неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ записывается следующим образом:
$ \left[ \begin{aligned} f(x) > 0, \\ g(x) > 0. \end{aligned} \right. $
Ответ: Совокупностью неравенств называют набор из нескольких неравенств, для которого нужно найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из этих неравенств.

Что называют частным решением совокупности неравенств?
Частным решением совокупности неравенств называется любое конкретное значение переменной, при подстановке которого в неравенства хотя бы одно из них обращается в верное числовое неравенство. Например, для совокупности
$ \left[ \begin{aligned} x > 10, \\ x < -2. \end{aligned} \right. $
число $12$ является частным решением, так как оно удовлетворяет первому неравенству ($12 > 10$). Число $-5$ также является частным решением, так как оно удовлетворяет второму неравенству ($-5 < -2$). А число $5$ не является решением, так как не удовлетворяет ни одному из неравенств.
Ответ: Частное решение совокупности неравенств — это значение переменной, которое является решением хотя бы одного из неравенств, входящих в совокупность.

Что называют общим решением (или просто решением) совокупности неравенств?
Общим решением, или просто решением, совокупности неравенств называют множество всех её частных решений. Чтобы найти общее решение совокупности, необходимо найти множества решений для каждого неравенства в отдельности, а затем найти объединение этих множеств. Если $M_1$ — множество решений первого неравенства, а $M_2$ — множество решений второго, то решение их совокупности $M$ есть их объединение: $M = M_1 \cup M_2$.
Ответ: Общее решение совокупности неравенств — это множество всех значений переменной, удовлетворяющих условию совокупности, то есть объединение множеств решений всех неравенств, входящих в эту совокупность.

10. Пусть множество A — решение неравенства $f(x) > g(x)$, а множество B — решение неравенства $p(x) < h(x)$. Как выразить через A и B решение системы неравенств $\begin{cases} f(x) > g(x), \\ p(x) < h(x)? \end{cases}$

По условию задачи, множество $A$ является решением неравенства $f(x) > g(x)$. Это означает, что множество $A$ состоит из всех таких значений $x$, для которых указанное неравенство является верным. В терминах теории множеств это можно записать так: $A = \{x \mid f(x) > g(x)\}$.

Аналогично, множество $B$ является решением неравенства $p(x) < h(x)$. Это означает, что множество $B$ состоит из всех таких значений $x$, для которых это неравенство является верным. Соответственно, $B = \{x \mid p(x) < h(x)\}$.

Решением системы неравенств $$ \begin{cases} f(x) > g(x), \\ p(x) < h(x) \end{cases} $$ является множество всех значений переменной $x$, при которых оба неравенства системы выполняются одновременно.

Таким образом, чтобы значение $x$ было решением системы, оно должно удовлетворять двум условиям:
1. $f(x) > g(x)$, что означает, что $x$ принадлежит множеству $A$ (т.е. $x \in A$).
2. $p(x) < h(x)$, что означает, что $x$ принадлежит множеству $B$ (т.е. $x \in B$).

Искомое множество решений состоит из всех элементов, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$. Множество, состоящее из всех элементов, общих для множеств $A$ и $B$, называется их пересечением. Операция пересечения множеств обозначается символом $\cap$.

Следовательно, множество решений данной системы неравенств является пересечением множеств $A$ и $B$.

Ответ: $A \cap B$.

11. Пусть множество $A$ — решение неравенства $f(x) > g(x)$, а множество $B$ — решение неравенства $p(x) < h(x)$. Как выразить через $A$ и $B$ решение совокупности неравенств $\begin{cases} f(x) > g(x), \\ p(x) < h(x) \end{cases}$?

По условию, множество A является решением неравенства $f(x) > g(x)$. Это означает, что множество A состоит из всех значений x, для которых данное неравенство истинно. В терминах теории множеств это можно записать как:

$A = \{x \mid f(x) > g(x)\}$

Аналогично, множество B является решением неравенства $p(x) < h(x)$. Это означает, что множество B состоит из всех значений x, для которых это неравенство истинно:

$B = \{x \mid p(x) < h(x)\}$

Нам необходимо найти решение совокупности неравенств, которая задана в виде:

$$\left[\begin{array}{l}f(x) > g(x), \\p(x) < h(x)\end{array}\right.$$

Квадратная скобка в данном контексте обозначает совокупность, что соответствует логической операции «ИЛИ». Это означает, что мы ищем множество всех значений x, которые удовлетворяют хотя бы одному из этих двух неравенств. То есть, искомое решение — это все x, для которых верно либо неравенство $f(x) > g(x)$, либо неравенство $p(x) < h(x)$.

В теории множеств операции «ИЛИ» соответствует операция объединения. Объединением двух множеств A и B (обозначается как $A \cup B$) называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств (то есть, принадлежат A, или B, или обоим сразу).

Следовательно, решением данной совокупности неравенств является объединение множеств A и B.

Ответ: $A \cup B$.