Страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Опишите способы решения уравнения $|f(x)| = g(x)$.

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ можно решать несколькими способами. Выбор способа зависит от вида функций $f(x)$ и $g(x)$.

Способ 1: Раскрытие модуля по определению

Этот способ основан на определении абсолютной величины: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Решение уравнения сводится к решению двух систем:

1. Если подмодульное выражение неотрицательно, т.е. $f(x) \ge 0$, то уравнение принимает вид $f(x) = g(x)$. Получаем систему: $ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases} $

2. Если подмодульное выражение отрицательно, т.е. $f(x) < 0$, то уравнение принимает вид $-f(x) = g(x)$. Получаем систему: $ \begin{cases} f(x) < 0 \\ -f(x) = g(x) \end{cases} $

Объединение решений этих двух систем дает все решения исходного уравнения. Этот метод универсален, но может приводить к необходимости решать сложные неравенства $f(x) \ge 0$ или $f(x) < 0$.

Ответ: $ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) < 0 \\ f(x) = -g(x) \end{cases} \end{array} \right. $

Способ 2: Переход к равносильной системе

Этот способ является наиболее рациональным в большинстве случаев. Он основан на свойстве равенства с модулем: равенство $|A| = B$ возможно только тогда, когда правая часть $B$ неотрицательна. Если $B \ge 0$, то равенство равносильно совокупности двух уравнений $A=B$ и $A=-B$.

Применительно к нашему уравнению $|f(x)| = g(x)$, оно равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. \end{cases} $

Сначала решается совокупность двух уравнений, а затем из найденных корней отбираются те, которые удовлетворяют условию $g(x) \ge 0$. Этот метод избавляет от необходимости решать неравенство с функцией $f(x)$.

Ответ: $ |f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. \end{cases} $

Способ 3: Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Поскольку левая часть уравнения $|f(x)|$ всегда неотрицательна, для существования решений необходимо, чтобы правая часть $g(x)$ также была неотрицательна. При условии $g(x) \ge 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны. Это преобразование будет равносильным.

$(|f(x)|)^2 = (g(x))^2$

Используя свойство $(|a|)^2 = a^2$, получаем:

$(f(x))^2 = (g(x))^2$

Перенеся все в левую часть и применив формулу разности квадратов, получим:

$(f(x))^2 - (g(x))^2 = 0$

$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Найденные корни нужно проверить по условию $g(x) \ge 0$. Таким образом, этот метод приводит к той же системе, что и второй способ. Он особенно удобен, когда функции $f(x)$ и $g(x)$ содержат иррациональности.

Ответ: $ |f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ (f(x))^2 = (g(x))^2 \end{cases} $

Способ 4: Графический метод

Этот метод заключается в построении в одной системе координат графиков функций $y = |f(x)|$ и $y = g(x)$.

Алгоритм действий:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Часть графика $y=f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс ($y<0$), симметрично отразить относительно этой оси. Полученный в итоге график является графиком функции $y = |f(x)|$.
3. В этой же системе координат построить график функции $y = g(x)$.
4. Найти абсциссы точек пересечения построенных графиков. Эти абсциссы и будут решениями исходного уравнения.

Этот метод нагляден, позволяет определить количество корней и их примерные значения. Однако для нахождения точных значений корней он подходит только в тех случаях, когда координаты точек пересечения легко определяются из графика.

Ответ: Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = |f(x)|$ и $y = g(x)$.

2. Опишите способы решения неравенства $|f(x)| < g(x)|$.

Для решения неравенства вида $|f(x)| < g(x)$ существует несколько стандартных подходов. Рассмотрим три основных способа.

Способ 1: Равносильный переход к системе неравенств

Этот способ основан на свойстве модуля: неравенство $|a| < b$ справедливо тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: $a < b$ и $a > -b$. Это можно записать в виде двойного неравенства $-b < a < b$.

Применяя это свойство к исходному неравенству $|f(x)| < g(x)$, мы заменяем его на равносильную систему неравенств:

Эту систему также можно записать в виде двойного неравенства:

Важно отметить, что из этого двойного неравенства следует, что $g(x)$ должно быть положительным, так как $|f(x)| \ge 0$. Если $-g(x) < g(x)$, то $2g(x) > 0$, а значит $g(x) > 0$. Таким образом, условие $g(x) > 0$ автоматически учитывается при решении этой системы. Решением исходного неравенства будет пересечение решений двух неравенств системы.

Ответ: Неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

Способ 2: Метод раскрытия модуля по определению (решение по случаям)

Этот способ основан на определении модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Мы рассматриваем два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $f(x)$.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \ge 0$. В этом случае $|f(x)| = f(x)$, и исходное неравенство принимает вид $f(x) < g(x)$. Решение для этого случая находится из системы:

Пусть множество решений этой системы есть $X_1$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $f(x) < 0$. В этом случае $|f(x)| = -f(x)$, и исходное неравенство принимает вид $-f(x) < g(x)$, что равносильно $f(x) > -g(x)$. Решение для этого случая находится из системы:

Пусть множество решений этой системы есть $X_2$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в обоих случаях: $X = X_1 \cup X_2$.

Ответ: Неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) < 0 \\ f(x) > -g(x) \end{cases} \end{gathered} \right.$.

Способ 3: Метод возведения в квадрат

Данный метод заключается в возведении обеих частей неравенства в квадрат. Важно помнить, что возводить в квадрат обе части неравенства с сохранением знака можно только тогда, когда обе части неотрицательны.

В неравенстве $|f(x)| < g(x)$ левая часть $|f(x)|$ всегда неотрицательна. Для того чтобы неравенство в принципе могло иметь решения, правая часть $g(x)$ должна быть положительной (так как она должна быть больше некоторой неотрицательной величины). Если $g(x) \le 0$, неравенство решений не имеет.

Поэтому исходное неравенство равносильно системе, в которой мы явно требуем положительность правой части и только после этого возводим в квадрат:

Используя свойство $(|a|)^2 = a^2$, получаем систему:

Второе неравенство системы можно преобразовать, перенеся все в левую часть и применив формулу разности квадратов:

Таким образом, решение исходного неравенства сводится к решению системы:

Этот метод особенно удобен, когда функции $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что выражения $f(x)-g(x)$ и $f(x)+g(x)$ получаются достаточно простыми.

Ответ: Неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} g(x) > 0 \\ (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) < 0 \end{cases}$.

3. Опишите способы решения неравенства $ |f(x)| > g(x) $.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ можно решать несколькими способами. Выбор способа зависит от сложности функций $f(x)$ и $g(x)$. Важно также всегда учитывать область допустимых значений (ОДЗ) функций. Рассмотрим основные методы на примере неравенства $|x-2| > 2x-1$.

1. Метод равносильных преобразований (с помощью совокупности)

Этот метод является наиболее универсальным и часто самым быстрым. Он основан на свойстве модуля: неравенство $|A| > B$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

Применяя это правило к исходному неравенству, получаем равносильную ему совокупность:

$$|f(x)| > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} f(x) > g(x), \\ f(x) < -g(x). \end{array} \right.$$

Решением исходного неравенства будет объединение решений двух неравенств из этой совокупности.

Пример: Решить неравенство $|x-2| > 2x-1$.

Переходим к равносильной совокупности:

$$ \left[ \begin{array}{l} x-2 > 2x-1, \\ x-2 < -(2x-1). \end{array} \right. $$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $x-2 > 2x-1 \implies -x > 1 \implies x < -1$.

2) $x-2 < -2x+1 \implies 3x < 3 \implies x < 1$.

Решением совокупности является объединение полученных множеств: $(-\infty; -1) \cup (-\infty; 1)$. Объединением этих интервалов является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

2. Метод раскрытия модуля по определению (метод случаев)

Этот метод основан на определении модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Применяя это к функции, мы рассматриваем два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения $f(x)$.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, т.е. $f(x) \ge 0$. В этом случае $|f(x)| = f(x)$, и неравенство принимает вид $f(x) > g(x)$. Решением в этом случае будет решение системы:

$$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases} $$

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, т.е. $f(x) < 0$. В этом случае $|f(x)| = -f(x)$, и неравенство принимает вид $-f(x) > g(x)$. Решением будет решение системы:

$$ \begin{cases} f(x) < 0 \\ -f(x) > g(x) \end{cases} $$

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в первом и втором случаях.

Пример: Решить неравенство $|x-2| > 2x-1$.

Случай 1: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Решаем систему:

$$ \begin{cases} x \ge 2 \\ x-2 > 2x-1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x < -1 \end{cases} $$

Эта система не имеет решений, так как множества $x \ge 2$ и $x < -1$ не пересекаются.

Случай 2: $x-2 < 0 \implies x < 2$. Решаем систему:

$$ \begin{cases} x < 2 \\ -(x-2) > 2x-1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ -x+2 > 2x-1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ 3 > 3x \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x < 1 \end{cases} $$

Решением этой системы является интервал $(-\infty; 1)$.

Объединяя решения двух случаев (пустое множество и интервал $(-\infty; 1)$), получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

3. Метод возведения в квадрат

Этот метод можно применять, когда обе части неравенства неотрицательны. Левая часть $|f(x)|$ всегда неотрицательна. Правая часть $g(x)$ может быть любого знака, поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $g(x) < 0$. Поскольку $|f(x)| \ge 0$, неравенство $|f(x)| > g(x)$ (неотрицательное > отрицательного) выполняется всегда, когда оно определено. Решением будет множество всех $x$ из ОДЗ, для которых $g(x) < 0$.

Случай 2: $g(x) \ge 0$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат: $|f(x)|^2 > (g(x))^2$. Так как $|a|^2 = a^2$, получаем $(f(x))^2 > (g(x))^2$, что равносильно $(f(x)-g(x))(f(x)+g(x)) > 0$.

Итоговое решение — объединение решений этих двух случаев.

Пример: Решить неравенство $|x-2| > 2x-1$.

Случай 1: $g(x) = 2x-1 < 0 \implies x < 1/2$. При этих $x$ неравенство выполняется. Решение: $(-\infty; 1/2)$.

Случай 2: $g(x) = 2x-1 \ge 0 \implies x \ge 1/2$. Возводим обе части в квадрат:

$(x-2)^2 > (2x-1)^2$

$(x-2)^2 - (2x-1)^2 > 0$

Применяем формулу разности квадратов:

$((x-2) - (2x-1))((x-2) + (2x-1)) > 0$

$(-x-1)(3x-3) > 0$

$-(x+1) \cdot 3(x-1) > 0 \implies (x+1)(x-1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $(-1; 1)$. Учитывая условие $x \ge 1/2$, получаем решение для второго случая: $x \in [1/2; 1)$.

Объединяем решения из двух случаев: $(-\infty; 1/2) \cup [1/2; 1) = (-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

4. Графический метод

Метод заключается в построении графиков функций $y_1 = |f(x)|$ и $y_2 = g(x)$ в одной системе координат. Решением неравенства $|f(x)| > g(x)$ будут те значения $x$, для которых график $y_1$ расположен выше графика $y_2$.

Пример: Решить $|x-2| > 2x-1$ графически.

1. Строим график функции $y_1 = |x-2|$. Это график $y=x-2$ (прямая), часть которого ниже оси Ox отражена вверх. Получается "галочка" с вершиной в точке $(2, 0)$.

2. Строим график функции $y_2 = 2x-1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 1)$.

3. Находим точки пересечения графиков, решая уравнение $|x-2| = 2x-1$. Из предыдущих методов (или решив заново) мы знаем, что точка пересечения одна: $x=1$. При $x=1$ обе функции принимают значение $y=1$.

4. Анализируем расположение графиков. Глядя на чертеж, можно увидеть, что на интервале $(-\infty; 1)$ график $y_1 = |x-2|$ проходит выше графика $y_2 = 2x-1$. В точке $x=1$ они пересекаются, а на интервале $(1; +\infty)$ график $y_1$ уже ниже графика $y_2$.

Таким образом, решение неравенства — это интервал, где "галочка" выше прямой.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.