Страница 276 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решётки¹

Цель работы: наблюдать дифракционный спектр и его изменение при изменении периода дифракционной решётки; измерить длину световой волны с помощью дифракционной решётки; оценить максимальный порядок наблюдаемого спектра и его зависимость от периода дифракционной решётки.

Оборудование, средства измерения: 1) оборудование для опытов с дифракционной решёткой, 2) источник питания.

Способ проведения исследования

Оборудование для опытов с дифракционной решёткой (рис. 186) составляют: направляющая, набор рейтеров с линзами 4 с фокусным расстоянием 95 мм (Л1) и 2 с фокусным расстоянием 50 мм (Л2), светодиодный осветитель 1 с красным, зелёным и синим светодиодами, лазерная указка 7 с держателем, рейтером и стопорным кольцом, экран 5, две дифракционные решётки 6 с разным числом штрихов.

Оптическая схема для наблюдения дифракции от светодиодного комбинированного источника представлена на рисунке 187.

Источник устанавливается в фокальной плоскости линзы Л2, следовательно, после линзы получается параллельный пучок красного, зелёного и синего света. Этот пучок попадает на дифракционную решётку ДР, испытав дифракцию на её щелях. Затем лучи света разного цвета, которые дифрагировали на одинаковые углы, фокусируются линзой в одном месте экрана и там происходит их интерференция.

Результаты интерференции зависят от разности хода $AC = \Delta = d \sin \alpha$ и длины волны. Максимумы наблюдаются под углом $\alpha_m$, определяемым условием

$d \sin \alpha_m = m\lambda$,

где $d$ — период дифракционной решётки, $\lambda$ — длина волны, $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$.

Лазерная указка излучает монохроматический свет с длиной волны (650 $\pm$ 10) нм. Световой пучок от неё можно считать параллельным. Поэтому фокусирующие линзы в оптической схеме в опытах с лазерной указкой становятся ненужными: для наблюдения дифракции следует направить свет от лазерной указки на дифракционную решётку.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Измерение длины волны излучения лазерной указки.

1. Закрепите лазерную указку в рейтере. Для этого сначала вставьте её в рейтер держатель и зафиксируйте его кольцом, поместите указку в держатель.

2. Соберите установку для наблюдения дифракции (рис. 188). Экран может быть установлен на любом расстоянии $L$, которое обеспечит наблюдение дифракционной картины на экране.

3. Пронаблюдайте дифракцию и проведите измерения от центрального максимума до первого (рис. 189). Из рисунка видно, что $\text{tg } \alpha_m = \frac{h}{L}$.

4. Результаты измерений запишите в таблицу 19.

Таблица 19

5. Рассчитайте длину волны по формуле $\lambda = d \sin \alpha_m$, и сравните со значением, указанным на указке.

Задание 2. Наблюдение дифракции от трёхцветного светодиодного источника и измерение длины волны света разного цвета.

1. Соберите экспериментальную установку (рис. 190).

2. Добейтесь получения на экране резкого спектра.

3. Измерьте расстояние $h$ от центрального до первого максимума и рассчитайте угол дифракции по формуле $\text{tg } \alpha_m = \frac{h}{F_1}$.

4. Результаты измерений и вычислений запишите в таблицу 20.

Таблица 20

Задание 1. Измерение длины волны излучения лазерной указки.

В данном задании мы измеряем длину волны монохроматического света от лазерной указки. Для этого используется дифракционная решетка и экран. Наблюдая дифракционную картину, мы измеряем расстояние от центрального максимума до максимума первого порядка.

Для выполнения расчетов примем, что используется дифракционная решетка с периодом $d$, который соответствует $100$ штрихам на миллиметр. Также примем результаты измерений, полученные в ходе гипотетического эксперимента.

Дано:

Расстояние от дифракционной решетки до экрана: $L = 500$ мм

Расстояние от центрального максимума до максимума первого порядка ($m=1$): $h = 32.5$ мм

Число штрихов на 1 мм решетки: $N = 100$ мм^-1

Порядок максимума: $m = 1$

Перевод в систему СИ:

$L = 0.5$ м

$h = 0.0325$ м

Период решетки $d = \frac{1}{N} = \frac{1}{100 \text{ мм}^{-1}} = 0.01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5}$ м

Найти:

Длину волны лазерного излучения $\lambda$.

Решение:

1. Угол дифракции $\alpha_m$ для $m$-го максимума можно найти из геометрических соображений (рис. 189). Тангенс угла дифракции равен отношению расстояния от центрального максимума до исследуемого максимума ($h$) к расстоянию от решетки до экрана ($L$):

$\text{tg } \alpha_m = \frac{h}{L}$

Подставим наши значения для максимума первого порядка ($m=1$):

$\text{tg } \alpha_1 = \frac{0.0325 \text{ м}}{0.5 \text{ м}} = 0.065$

2. Найдем сам угол $\alpha_1$, взяв арктангенс от полученного значения:

$\alpha_1 = \text{arctg}(0.065) \approx 3.72^\circ$

3. Для дальнейших расчетов нам понадобится синус этого угла:

$\sin \alpha_1 = \sin(3.72^\circ) \approx 0.0649$

4. Условие максимумов для дифракционной решетки описывается формулой:

$d \sin \alpha_m = m\lambda$

Выразим отсюда длину волны $\lambda$ для максимума первого порядка ($m=1$):

$\lambda = d \sin \alpha_1$

5. Подставим числовые значения и рассчитаем длину волны:

$\lambda = (1 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot 0.0649 = 0.649 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 649 \text{ нм}$

6. Заполним Таблицу 19 на основе наших измерений и расчетов.

7. Сравним полученное значение с паспортным значением длины волны лазерной указки, которое указано в описании работы: $\lambda_{указки} = (650 \pm 10)$ нм. Наше расчетное значение $\lambda = 649$ нм попадает в этот доверительный интервал ($640 \text{ нм} \le 649 \text{ нм} \le 660 \text{ нм}$), что свидетельствует о высокой точности проведенного эксперимента.

Ответ: рассчитанная длина волны излучения лазерной указки составляет $\lambda = 649$ нм.

Задание 2. Наблюдение дифракции от трёхцветного светодиодного источника и измерение длины волны света разного цвета.

В этом задании используется источник, излучающий свет трёх основных цветов: красный, зелёный и синий. С помощью установки, показанной на рис. 190, мы измеряем длины волн для каждого из этих цветов.

Для расчетов будем использовать ту же дифракционную решетку с периодом $d = 1 \cdot 10^{-5}$ м. Расстояние от решетки до экрана в этой установке равно фокусному расстоянию собирающей линзы $F_1$. Согласно описанию оборудования, $F_1 = 95$ мм. Примем гипотетические результаты измерений расстояний $h$ для максимумов первого порядка ($m=1$) для красного, зелёного и синего цветов.

Дано:

Фокусное расстояние линзы: $F_1 = 95$ мм

Период решетки: $d = 1 \cdot 10^{-5}$ м

Порядок максимума: $m = 1$

Расстояние от центрального до первого максимума для красного света: $h_к = 6.2$ мм

Расстояние от центрального до первого максимума для зелёного света: $h_з = 5.0$ мм

Расстояние от центрального до первого максимума для синего света: $h_с = 4.5$ мм

Перевод в систему СИ:

$F_1 = 0.095$ м

$h_к = 0.0062$ м

$h_з = 0.0050$ м

$h_с = 0.0045$ м

Найти:

Длины волн красного ($\lambda_к$), зелёного ($\lambda_з$) и синего ($\lambda_с$) света.

Решение:

Общая методика расчета аналогична Заданию 1. Угол дифракции $\alpha_1$ для каждого цвета находится по формуле:

$\text{tg } \alpha_1 = \frac{h}{F_1}$

Длина волны $\lambda$ вычисляется по формуле условия максимума для $m=1$:

$\lambda = d \sin \alpha_1$

Проведем расчеты для каждого цвета и занесем результаты в Таблицу 20.

1. Красный свет:

$\text{tg } \alpha_{1,к} = \frac{h_к}{F_1} = \frac{0.0062 \text{ м}}{0.095 \text{ м}} \approx 0.0653$

$\alpha_{1,к} = \text{arctg}(0.0653) \approx 3.74^\circ$

$\sin \alpha_{1,к} = \sin(3.74^\circ) \approx 0.0652$

$\lambda_к = d \sin \alpha_{1,к} = (1 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot 0.0652 = 0.652 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 652 \text{ нм}$

2. Зелёный свет:

$\text{tg } \alpha_{1,з} = \frac{h_з}{F_1} = \frac{0.0050 \text{ м}}{0.095 \text{ м}} \approx 0.0526$

$\alpha_{1,з} = \text{arctg}(0.0526) \approx 3.01^\circ$

$\sin \alpha_{1,з} = \sin(3.01^\circ) \approx 0.0525$

$\lambda_з = d \sin \alpha_{1,з} = (1 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot 0.0525 = 0.525 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 525 \text{ нм}$

3. Синий свет:

$\text{tg } \alpha_{1,с} = \frac{h_с}{F_1} = \frac{0.0045 \text{ м}}{0.095 \text{ м}} \approx 0.0474$

$\alpha_{1,с} = \text{arctg}(0.0474) \approx 2.71^\circ$

$\sin \alpha_{1,с} = \sin(2.71^\circ) \approx 0.0473$

$\lambda_с = d \sin \alpha_{1,с} = (1 \cdot 10^{-5} \text{ м}) \cdot 0.0473 = 0.473 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 473 \text{ нм}$

Заполним Таблицу 20:

Полученные значения длин волн соответствуют общепринятым диапазонам для видимого спектра: красный свет имеет наибольшую длину волны, а синий — наименьшую из трёх.

Ответ: рассчитанные длины волн составляют:

- для красного света $\lambda_к \approx 652$ нм;

- для зелёного света $\lambda_з \approx 525$ нм;

- для синего света $\lambda_с \approx 473$ нм.