Упражнение 47, страница 278 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. По значениям характеристик компонентов системы α-Центавра, данных в таблице, оцените:

1 ) температуру на поверхности звезд;

2 ) длину волны излучения с максимальной интенсивностью;

3 ) расстояние до звезд в километрах;

4 ) время, за которое частицы, испускаемые во время активности звезд, достигнут Солнечной системы. Примите скорость равной максимальному значению частиц, испускаемых Солнцем.

Характеристики компонентов системы α-Центавра: α-Центавра A, α-Центавра B, Проксима Центавра

Светимость (в солнечных): 1,519; 0,5; $6 \cdot 10^{-5}$

Диаметр (в солнечных): 1,227; 0,865; 0,14

Расстояние до звезды, св. лет: 4,36; 4,36; 4,22

1) температуру на поверхности звезд;

Дано:

Характеристики компонентов системы α-Центавра:

α-Центавра A:

Светимость: $L_A = 1,519 L_☉$

Диаметр: $D_A = 1,227 D_☉$ (Радиус $R_A = 1,227 R_☉$)

α-Центавра B:

Светимость: $L_B = 0,5 L_☉$

Диаметр: $D_B = 0,865 D_☉$ (Радиус $R_B = 0,865 R_☉$)

Проксима Центавра:

Светимость: $L_P = 6 \cdot 10^{-5} L_☉$

Диаметр: $D_P = 0,14 D_☉$ (Радиус $R_P = 0,14 R_☉$)

Справочные данные:

Эффективная температура поверхности Солнца: $T_☉ \approx 5778$ К

Найти:

Температуру на поверхности звезд $T_A, T_B, T_P$.

Решение:

Для оценки температуры поверхности звезды воспользуемся законом Стефана-Больцмана, который связывает светимость звезды $\text{L}$, ее радиус $\text{R}$ и температуру поверхности $\text{T}$:

$L = 4\pi R^2 \sigma T^4$, где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана.

Выразим температуру: $T = \sqrt[4]{\frac{L}{4\pi R^2 \sigma}}$.

Чтобы избежать работы с абсолютными величинами, воспользуемся относительными данными, сравнивая каждую звезду с Солнцем ($L_☉ = 4\pi R_☉^2 \sigma T_☉^4$):

$\frac{L_{звезды}}{L_☉} = \frac{4\pi R_{звезды}^2 \sigma T_{звезды}^4}{4\pi R_☉^2 \sigma T_☉^4} = (\frac{R_{звезды}}{R_☉})^2 (\frac{T_{звезды}}{T_☉})^4$

Отсюда, температура звезды:

$T_{звезды} = T_☉ \cdot \sqrt[4]{\frac{L_{звезды}/L_☉}{(R_{звезды}/R_☉)^2}}$

Поскольку отношение диаметров равно отношению радиусов ($D_{звезды}/D_☉ = R_{звезды}/R_☉$), формула принимает вид:

$T_{звезды} = T_☉ \cdot \sqrt[4]{\frac{L_{звезды}/L_☉}{(D_{звезды}/D_☉)^2}}$

Рассчитаем температуру для каждой звезды:

α-Центавра A:

$T_A = 5778 \cdot \sqrt[4]{\frac{1,519}{1,227^2}} = 5778 \cdot \sqrt[4]{\frac{1,519}{1,5055}} \approx 5778 \cdot \sqrt[4]{1,0089} \approx 5778 \cdot 1,0022 \approx 5791$ К.

α-Центавра B:

$T_B = 5778 \cdot \sqrt[4]{\frac{0,5}{0,865^2}} = 5778 \cdot \sqrt[4]{\frac{0,5}{0,7482}} \approx 5778 \cdot \sqrt[4]{0,6682} \approx 5778 \cdot 0,904 \approx 5223$ К.

Проксима Центавра:

$T_P = 5778 \cdot \sqrt[4]{\frac{6 \cdot 10^{-5}}{0,14^2}} = 5778 \cdot \sqrt[4]{\frac{6 \cdot 10^{-5}}{0,0196}} \approx 5778 \cdot \sqrt[4]{0,00306} \approx 5778 \cdot 0,235 \approx 1358$ К.

Ответ: Температура на поверхности α-Центавра A составляет примерно 5791 К, α-Центавра B – 5223 К, Проксимы Центавра – 1358 К.

2) длину волны излучения с максимальной интенсивностью;

Дано:

Температуры звезд из пункта 1:

$T_A \approx 5791$ К

$T_B \approx 5223$ К

$T_P \approx 1358$ К

Постоянная Вина: $b \approx 2,898 \cdot 10^{-3}$ м·К

Найти:

Длину волны с максимальной интенсивностью $\lambda_{max, A}, \lambda_{max, B}, \lambda_{max, P}$.

Решение:

Длину волны, на которой интенсивность излучения звезды максимальна, можно оценить с помощью закона смещения Вина:

$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$

Рассчитаем для каждой звезды:

α-Центавра A:

$\lambda_{max, A} = \frac{2,898 \cdot 10^{-3}}{5791} \approx 5,004 \cdot 10^{-7}$ м = 500 нм (сине-зеленая часть видимого спектра).

α-Центавра B:

$\lambda_{max, B} = \frac{2,898 \cdot 10^{-3}}{5223} \approx 5,549 \cdot 10^{-7}$ м = 555 нм (желто-зеленая часть видимого спектра).

Проксима Центавра:

$\lambda_{max, P} = \frac{2,898 \cdot 10^{-3}}{1358} \approx 2,134 \cdot 10^{-6}$ м = 2134 нм (ближний инфракрасный диапазон).

Ответ: Длина волны излучения с максимальной интенсивностью для α-Центавра A составляет примерно 500 нм, для α-Центавра B – 555 нм, для Проксимы Центавра – 2134 нм.

3) расстояние до звезд в километрах;

Дано:

Расстояние до α-Центавра A и B: $d_{A,B} = 4,36$ св. лет

Расстояние до Проксимы Центавра: $d_P = 4,22$ св. лет

Справочные данные:

1 световой год $\approx 9,461 \cdot 10^{12}$ км

Найти:

Расстояние до звезд в километрах $d_{км, A,B}, d_{км, P}$.

Решение:

Для перевода расстояния из световых лет в километры умножим значение в световых годах на количество километров в одном световом годе.

α-Центавра A и B:

$d_{км, A,B} = 4,36 \cdot 9,461 \cdot 10^{12} \text{ км} \approx 4,125 \cdot 10^{13}$ км.

Проксима Центавра:

$d_{км, P} = 4,22 \cdot 9,461 \cdot 10^{12} \text{ км} \approx 3,993 \cdot 10^{13}$ км.

Ответ: Расстояние до α-Центавра A и B составляет примерно $4,125 \cdot 10^{13}$ км, до Проксимы Центавра – $3,993 \cdot 10^{13}$ км.

4) время, за которое частицы, испускаемые во время активности звезд, достигнут Солнечной системы. Примите скорость равной максимальному значению частиц, испускаемых Солнцем.

Дано:

Расстояния до звезд из пункта 3:

$d_{A,B} \approx 4,125 \cdot 10^{13}$ км

$d_{P} \approx 3,993 \cdot 10^{13}$ км

Скорость частиц $v_{част}$ принимается равной максимальной скорости частиц солнечного ветра (например, при корональных выбросах массы), которая может достигать 2000 км/с.

$v_{част} = 2000$ км/с

Перевод в СИ:

$d_{A,B} \approx 4,125 \cdot 10^{16}$ м

$d_{P} \approx 3,993 \cdot 10^{16}$ м

$v_{част} = 2 \cdot 10^6$ м/с

Найти:

Время полета частиц $t_{A,B}, t_P$.

Решение:

Время движения можно найти по формуле для равномерного прямолинейного движения: $t = \frac{d}{v}$.

Рассчитаем время в секундах, а затем переведем в годы (1 год $\approx 3,156 \cdot 10^7$ с).

Для частиц от α-Центавра A и B:

$t_{A,B} = \frac{4,125 \cdot 10^{16} \text{ м}}{2 \cdot 10^6 \text{ м/с}} \approx 2,0625 \cdot 10^{10}$ с.

В годах: $t_{A,B, годы} = \frac{2,0625 \cdot 10^{10} \text{ с}}{3,156 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 653,5$ лет.

Для частиц от Проксимы Центавра:

$t_{P} = \frac{3,993 \cdot 10^{16} \text{ м}}{2 \cdot 10^6 \text{ м/с}} \approx 1,9965 \cdot 10^{10}$ с.

В годах: $t_{P, годы} = \frac{1,9965 \cdot 10^{10} \text{ с}}{3,156 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 632,6$ лет.

Ответ: Частицы, испущенные звездами α-Центавра A и B, достигнут Солнечной системы примерно через 654 года. Частицы, испущенные Проксимой Центавра, достигнут Солнечной системы примерно через 633 года.