Страница 54, часть 2 - гдз по математике 2 класс рабочая тетрадь часть 1, 2, 3 Петерсон

1 Выполни действия и дополни эталон. Сделай проверку.

a) $- \begin{array}{r} \Box\Box\Box \\ \Box\Box\Box \\ \hline \Box\Box\Box \end{array}$ Проверка: $- \begin{array}{r} 541 \\ 309 \\ \hline \Box\Box\Box \end{array} + \begin{array}{r} \Box\Box\Box \\ \Box\Box\Box \\ \hline \Box\Box\Box \end{array}$

б) $- \begin{array}{r} \Box\Box\Box \\ \Box\Box\Box \\ \hline \Box\Box\Box \end{array}$ Проверка: $- \begin{array}{r} 726 \\ 182 \\ \hline \Box\Box\Box \end{array} + \begin{array}{r} \Box\Box\Box \\ \Box\Box\Box \\ \hline \Box\Box\Box \end{array}$

а)

Выполним вычитание в столбик: $541 - 309$.

1. Единицы: из 1 нельзя вычесть 9. Занимаем 1 десяток у 4 десятков (остается 3 десятка). Получаем $10 + 1 = 11$ единиц. Теперь $11 - 9 = 2$. Записываем 2 в разряд единиц.

2. Десятки: у нас осталось 3 десятка. $3 - 0 = 3$. Записываем 3 в разряд десятков.

3. Сотни: $5 - 3 = 2$. Записываем 2 в разряд сотен.

Результат вычитания (разность): $232$.

Проверка:

Чтобы проверить вычитание, нужно к полученной разности прибавить вычитаемое. Должно получиться уменьшаемое: $232 + 309 = 541$.

1. Единицы: $2 + 9 = 11$. Пишем 1 в разряд единиц, 1 десяток запоминаем.

2. Десятки: $3 + 0 + 1$ (из ума) $= 4$. Пишем 4 в разряд десятков.

3. Сотни: $2 + 3 = 5$. Пишем 5 в разряд сотен.

Результат сложения: $541$. Так как $541 = 541$, вычисление выполнено верно.

Ответ: $541 - 309 = 232$.

б)

Выполним вычитание в столбик: $726 - 182$.

1. Единицы: $6 - 2 = 4$. Записываем 4 в разряд единиц.

2. Десятки: из 2 нельзя вычесть 8. Занимаем 1 сотню у 7 сотен (остается 6 сотен). Получаем $10 + 2 = 12$ десятков. Теперь $12 - 8 = 4$. Записываем 4 в разряд десятков.

3. Сотни: у нас осталось 6 сотен. $6 - 1 = 5$. Записываем 5 в разряд сотен.

Результат вычитания (разность): $544$.

Проверка:

Сложим полученную разность и вычитаемое: $544 + 182 = 726$.

1. Единицы: $4 + 2 = 6$. Пишем 6 в разряд единиц.

2. Десятки: $4 + 8 = 12$. Пишем 2 в разряд десятков, 1 сотню запоминаем.

3. Сотни: $5 + 1 + 1$ (из ума) $= 7$. Пишем 7 в разряд сотен.

Результат сложения: $726$. Так как $726 = 726$, вычисление выполнено верно.

Ответ: $726 - 182 = 544$.

2 а) Попробуй решить пример $231 - 145$. Что в нём нового?

Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план.

б) Реши пример $231 - 145$ графическим способом и в столбик.

Предложи свой вариант эталона.

$\Delta\Delta\triangle\triangle\triangle\cdot - \Delta\triangle\triangle\triangle\triangle\triangle\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot = $

$\begin{array}{r} 231 \\ - 145 \\ \hline \end{array}$ $\begin{array}{r} \square\square\square \\ - \square\square\square \\ \hline \square\square\square \end{array}$

Что ты замечаешь? Сделай вывод и проверь себя по учебному пособию, с. 62.

а) Попробуй решить пример 231 – 145. Что в нём нового?

При попытке решить пример $231 - 145$ в столбик, мы сталкиваемся со следующей ситуацией:

1. В разряде единиц: нам нужно из $1$ вычесть $5$. Это невозможно сделать, не "заняв" из старшего разряда. Мы занимаем $1$ десяток у $3$ десятков. Получаем $11 - 5 = 6$.

2. В разряде десятков: у нас осталось $2$ десятка (так как один мы отдали), и нам нужно вычесть $4$ десятка. Снова вычитаемое больше уменьшаемого ($2 < 4$), и нам опять нужно "занимать" из старшего разряда.

Что нового? Новое в этом примере то, что нам приходится делать заём из старшего разряда дважды подряд: сначала из разряда десятков для разряда единиц, а затем из разряда сотен для разряда десятков. Это случай вычитания с "двойным переходом через разряд".

Что ты пока не знаешь? Я пока не знаю точного алгоритма, как выполнять вычитание, когда нужно занимать единицы из двух старших разрядов последовательно.

Цель и план:
Цель: Научиться решать примеры на вычитание трехзначных чисел с двойным переходом через разряд.
План:
1. Рассмотреть графическую модель вычитания, чтобы понять процесс "заёма" (перегруппировки разрядов).
2. Решить пример в столбик, последовательно выполняя вычитание в каждом разряде и делая заём, когда это необходимо.
3. Сформулировать общее правило (эталон) для решения подобных примеров.

Ответ: Новое в этом примере — необходимость выполнять заём из старшего разряда дважды подряд (для разряда единиц и для разряда десятков).

б) Реши пример 231 – 145 графическим способом и в столбик. Предложи свой вариант эталона.

Графический способ

Представим числа с помощью фигур, как в задании: большой треугольник (Δ) — сотня, маленький треугольник (△) — десяток, точка (•) — единица.
Число $231$ — это 2 больших треугольника, 3 маленьких и 1 точка.
Число $145$ — это 1 большой треугольник, 4 маленьких и 5 точек.

1. Единицы: Нужно вычесть 5 точек, но у нас только 1. "Разбиваем" 1 маленький треугольник (десяток) на 10 точек. Теперь у нас 2 больших треугольника, 2 маленьких и $1+10=11$ точек. Вычитаем 5 точек: $11 - 5 = 6$ точек остается.

2. Десятки: Нужно вычесть 4 маленьких треугольника, но у нас осталось только 2. "Разбиваем" 1 большой треугольник (сотню) на 10 маленьких. Теперь у нас 1 большой треугольник, $2+10=12$ маленьких и 6 точек. Вычитаем 4 маленьких треугольника: $12 - 4 = 8$ маленьких треугольников остается.

3. Сотни: Нужно вычесть 1 большой треугольник, и у нас остался 1. $1 - 1 = 0$ больших треугольников остается.

В результате у нас осталось 0 сотен, 8 десятков и 6 единиц. Это число 86.

Решение в столбик

Запишем пример в столбик и решим его по шагам: $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 2 & 3 & 1 \\ - & 1 & 4 & 5 \\ \hline \end{array} $$ 1. Вычитаем единицы: Из $1$ вычесть $5$ нельзя. Занимаем $1$ десяток у $3$ десятков (ставим точку над $3$). Теперь в разряде единиц у нас $10+1=11$.
$11 - 5 = 6$. Пишем $6$ под единицами. $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & 2 & \dot{3} & 1 \\ - & 1 & 4 & 5 \\ \hline & & & 6 \end{array} $$ 2. Вычитаем десятки: В десятках было $3$, но мы заняли $1$, осталось $2$. Из $2$ вычесть $4$ нельзя. Занимаем $1$ сотню у $2$ сотен (ставим точку над $2$). Теперь в разряде десятков у нас $10+2=12$.
$12 - 4 = 8$. Пишем $8$ под десятками. $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & \dot{2} & \dot{3} & 1 \\ - & 1 & 4 & 5 \\ \hline & & 8 & 6 \end{array} $$ 3. Вычитаем сотни: В сотнях было $2$, но мы заняли $1$, осталась $1$ сотня.
$1 - 1 = 0$. Ноль в начале ответа не пишем. $$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} & \dot{2} & \dot{3} & 1 \\ - & 1 & 4 & 5 \\ \hline & & 8 & 6 \end{array} $$

Мой вариант эталона (правило вычитания в столбик с двойным переходом через разряд):
1. Запиши числа столбиком, разряд под разрядом.
2. Начни вычитание с разряда единиц. Если цифра в уменьшаемом меньше цифры в вычитаемом, займи 1 из следующего, более старшего разряда (десятков). Поставь точку над цифрой, у которой занял, чтобы помнить, что она стала на 1 меньше.
3. Выполни вычитание в текущем разряде ($10$ + имеющиеся единицы - единицы вычитаемого).
4. Перейди к следующему разряду (десяткам). Учти, что цифра уменьшаемого могла уменьшиться на 1. Если она снова стала меньше цифры вычитаемого, повтори операцию заёма из следующего старшего разряда (сотен).
5. Продолжай так для всех разрядов, двигаясь справа налево.

Что ты замечаешь? Сделай вывод.

Я замечаю, что и графический способ, и вычитание в столбик приводят к одному и тому же результату. Это подтверждает, что алгоритм вычитания в столбик работает правильно.
Вывод: При вычитании в столбик, если в каком-то разряде цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, нужно "занять" единицу из ближайшего старшего разряда слева. Эта операция "заёма" (или перегруппировки) может выполняться последовательно для нескольких разрядов, если это необходимо.

Ответ: $231 - 145 = 86$.

3 Выполни действия и сделай проверку.

Проверка:

$ \begin{array}{r} 632 \\ -278 \\ \hline \end{array} \quad + \quad \begin{array}{r} \phantom{000} \\ \phantom{000} \\ \hline \phantom{000} \end{array} $

Проверка:

$ \begin{array}{r} 915 \\ -839 \\ \hline \end{array} \quad + \quad \begin{array}{r} \phantom{000} \\ \phantom{000} \\ \hline \phantom{000} \end{array} $

Проверка:

$ \begin{array}{r} 793 \\ -185 \\ \hline \end{array} \quad + \quad \begin{array}{r} \phantom{000} \\ \phantom{000} \\ \hline \phantom{000} \end{array} $

4 Игра «Цепочка»

$8 \xrightarrow{+5} \boxed{\phantom{0}} \xrightarrow{-7} \boxed{\phantom{0}} \xrightarrow{+9} \boxed{\phantom{0}} \xrightarrow{+25} \boxed{\phantom{0}} \xrightarrow{-12} \boxed{\phantom{0}} \xrightarrow{+27} \boxed{?}$

Для того чтобы найти число, которое должно стоять в конце цепочки, необходимо последовательно выполнить все арифметические операции, начиная с числа 8.

1. Первым действием прибавляем 5 к 8:
$8 + 5 = 13$

2. Из полученного результата 13 вычитаем 7:
$13 - 7 = 6$

3. К числу 6 прибавляем 9:
$6 + 9 = 15$

4. К результату 15 прибавляем 25:
$15 + 25 = 40$

5. Из числа 40 вычитаем 12:
$40 - 12 = 28$

6. К последнему результату 28 прибавляем 27:
$28 + 27 = 55$

Таким образом, итоговое число в цепочке — 55.
Ответ: 55

5* Поставь на отрезке $AB$ точку $C$ так, чтобы отрезок $AC$ составил треть $BC$.

По условию задачи, точка C должна быть расположена на отрезке AB так, чтобы длина отрезка AC составляла одну треть длины отрезка BC. Запишем это в виде математического равенства:

$AC = \frac{1}{3} BC$

Это означает, что отрезок BC в 3 раза длиннее отрезка AC. Если мы примем длину отрезка AC за 1 условную часть, то длина отрезка BC будет равна 3 таким же частям.

Весь отрезок AB состоит из суммы отрезков AC и BC. Выразим его длину в тех же условных частях:

$AB = AC + BC = 1 \text{ часть} + 3 \text{ части} = 4 \text{ части}$

Таким образом, весь отрезок AB состоит из 4 равных частей, при этом на отрезок AC приходится одна такая часть. Следовательно, длина отрезка AC составляет одну четвертую от длины всего отрезка AB:

$AC = \frac{1}{4} AB$

Чтобы найти положение точки C, нужно разделить отрезок AB на 4 равные части. Точка C будет расположена на конце первой части, если считать от точки A.

Ответ: Отрезок AB необходимо разделить на 4 равные части. Точка C будет находиться на границе первой и второй частей, считая от точки А.

1 a) Запиши в таблице все новые случаи умножения на 3. Затем вычеркни в столбце повторяющиеся случаи.

$3 \cdot 1 = $

$3 \cdot 2 = $

$3 \cdot 3 = $

$3 \cdot 4 = $

$3 \cdot 5 = $

$3 \cdot 6 = $

$3 \cdot 7 = $

$3 \cdot 8 = $

$3 \cdot 9 = $

$3 \cdot 10 = $

б) Пользуясь таблицей, запиши ответы примеров. Почему достаточно запомнить случаи, выделенные красной рамкой? Выбери из них 2 случая и составь для каждого 4 равенства.

а)

Сначала заполним таблицу умножения. В третьей строке и третьем столбце, которые соответствуют умножению на 3, будут следующие значения:

Третья строка: $3 \cdot 1 = 3$, $3 \cdot 2 = 6$, $3 \cdot 3 = 9$, $3 \cdot 4 = 12$, $3 \cdot 5 = 15$, $3 \cdot 6 = 18$, $3 \cdot 7 = 21$, $3 \cdot 8 = 24$, $3 \cdot 9 = 27$.

Третий столбец: $1 \cdot 3 = 3$, $2 \cdot 3 = 6$, $3 \cdot 3 = 9$, $4 \cdot 3 = 12$, $5 \cdot 3 = 15$, $6 \cdot 3 = 18$, $7 \cdot 3 = 21$, $8 \cdot 3 = 24$, $9 \cdot 3 = 27$.

Новые случаи умножения на 3 — это те, которые не встречались в таблицах умножения на 1 и 2. Это случаи, начиная с $3 \cdot 3$.

Теперь решим примеры в столбце справа и вычеркнем повторяющиеся случаи. Повторяющиеся случаи — это $3 \cdot 1$ и $3 \cdot 2$, так как мы уже знаем, что $1 \cdot 3 = 3$ и $2 \cdot 3 = 6$ из предыдущих таблиц.

$3 \cdot 1 = 3$

$3 \cdot 2 = 6$

$3 \cdot 3 = 9$

$3 \cdot 4 = 12$

$3 \cdot 5 = 15$

$3 \cdot 6 = 18$

$3 \cdot 7 = 21$

$3 \cdot 8 = 24$

$3 \cdot 9 = 27$

$3 \cdot 10 = 30$

Ответ: В таблицу вписаны произведения числа 3 на числа от 1 до 9. В столбце примеров решены все случаи умножения на 3, а повторяющиеся случаи ($3 \cdot 1$ и $3 \cdot 2$) вычеркнуты.

б)

Запоминать достаточно только те случаи, которые выделены красной рамкой (начиная с $3 \cdot 3$), из-за переместительного свойства умножения. Это свойство гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$). Случаи $3 \cdot 1$ и $3 \cdot 2$ уже были изучены как $1 \cdot 3$ и $2 \cdot 3$ в таблицах умножения на 1 и 2. Поэтому, при изучении таблицы на 3, мы учим только действительно новые для нас примеры.

Выберем два случая из выделенных рамкой, например, $3 \cdot 5 = 15$ и $3 \cdot 6 = 18$. Для каждого из них составим по 4 связанных равенства (два на умножение и два на деление).

Для примера $3 \cdot 5 = 15$:

$3 \cdot 5 = 15$

$5 \cdot 3 = 15$

$15 \div 3 = 5$

$15 \div 5 = 3$

Для примера $3 \cdot 6 = 18$:

$3 \cdot 6 = 18$

$6 \cdot 3 = 18$

$18 \div 3 = 6$

$18 \div 6 = 3$

Ответ: Достаточно запомнить случаи в рамке, так как предыдущие случаи уже известны благодаря переместительному свойству умножения. Четыре равенства для случая $3 \cdot 5 = 15$: $3 \cdot 5 = 15$, $5 \cdot 3 = 15$, $15 \div 3 = 5$, $15 \div 5 = 3$. Четыре равенства для случая $3 \cdot 6 = 18$: $3 \cdot 6 = 18$, $6 \cdot 3 = 18$, $18 \div 3 = 6$, $18 \div 6 = 3$.

2 Поставь числа около делений шкалы числового луча.

$3.0$ $3.1$ $3.2$ $3.3$ $3.4$ $3.5$ $3.6$ $3.7$ $3.8$ $3.9$ $3.10$

$0$

Решение

На изображении представлен числовой луч, который начинается с отметки 0. Для того чтобы расставить числа на делениях шкалы, необходимо вычислить значения математических выражений, расположенных над дугами. Каждая дуга символизирует один шаг по лучу, а выражение над ней показывает, какое число соответствует концу этого шага.

Вычислим значения для каждого деления по порядку:
Начальная точка луча соответствует выражению $3 \cdot 0$:
$3 \cdot 0 = 0$
Первое деление после нуля соответствует выражению $3 \cdot 1$:
$3 \cdot 1 = 3$
Второе деление соответствует выражению $3 \cdot 2$:
$3 \cdot 2 = 6$
Третье деление соответствует выражению $3 \cdot 3$:
$3 \cdot 3 = 9$
Четвертое деление соответствует выражению $3 \cdot 4$:
$3 \cdot 4 = 12$
Пятое деление соответствует выражению $3 \cdot 5$:
$3 \cdot 5 = 15$
Шестое деление соответствует выражению $3 \cdot 6$:
$3 \cdot 6 = 18$
Седьмое деление соответствует выражению $3 \cdot 7$:
$3 \cdot 7 = 21$
Восьмое деление соответствует выражению $3 \cdot 8$:
$3 \cdot 8 = 24$
Девятое деление соответствует выражению $3 \cdot 9$:
$3 \cdot 9 = 27$
Десятое деление соответствует выражению $3 \cdot 10$:
$3 \cdot 10 = 30$

Таким образом, мы получили последовательность чисел, которые нужно расставить на числовом луче. Каждое следующее число на 3 больше предыдущего.

Ответ: На делениях шкалы числового луча должны быть поставлены числа: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

3 Вставь пропущенные числа.

$3 \cdot \Box = 15$ $\Box \cdot 3 = 9$ $8 \cdot \Box = 24$ $\Box \cdot 3 = 21$

3 · □ = 15

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. В данном случае произведение равно 15, а известный множитель — 3.

Выполним деление: $15 \div 3 = 5$.

Таким образом, пропущенное число — 5. Проверим: $3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 5

□ · 3 = 9

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (9) разделить на известный множитель (3).

Выполним деление: $9 \div 3 = 3$.

Пропущенное число — 3. Проверим: $3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: 3

8 · □ = 24

Чтобы найти неизвестный множитель, разделим произведение (24) на известный множитель (8).

Выполним деление: $24 \div 8 = 3$.

Пропущенное число — 3. Проверим: $8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 3

□ · 3 = 21

Чтобы найти неизвестный множитель, разделим произведение (21) на известный множитель (3).

Выполним деление: $21 \div 3 = 7$.

Пропущенное число — 7. Проверим: $7 \cdot 3 = 21$.

Ответ: 7

4 Вычисли.

$8 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = \square$

$3 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = \square$

$7 \cdot 3 + 9 \cdot 3 = \square$

8 · 3 + 3 · 5

Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий. В выражениях без скобок сначала выполняются операции умножения и деления, а затем — сложения и вычитания, по порядку слева направо.
1. Выполним первое умножение: $8 \cdot 3 = 24$.
2. Выполним второе умножение: $3 \cdot 5 = 15$.
3. Сложим полученные результаты: $24 + 15 = 39$.
Таким образом, полное решение выглядит так: $8 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 24 + 15 = 39$.
Ответ: 39

3 · 6 - 4 · 3

В этом выражении, согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем вычитание.
1. Выполним первое умножение: $3 \cdot 6 = 18$.
2. Выполним второе умножение: $4 \cdot 3 = 12$.
3. Вычтем из первого результата второй: $18 - 12 = 6$.
Полное решение: $3 \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6$.
Ответ: 6

7 · 3 + 9 · 3

Порядок действий предписывает сначала выполнить умножение, а потом — сложение.
1. Вычислим первое произведение: $7 \cdot 3 = 21$.
2. Вычислим второе произведение: $9 \cdot 3 = 27$.
3. Сложим результаты: $21 + 27 = 48$.
Полное решение: $7 \cdot 3 + 9 \cdot 3 = 21 + 27 = 48$.
Также можно решить этот пример, используя распределительное свойство умножения (вынесение общего множителя за скобки): $7 \cdot 3 + 9 \cdot 3 = (7 + 9) \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48$.
Ответ: 48

5* Найди значения выражений.

$3 \cdot 2 \cdot 3 : 2 : 3 \cdot 4 : 2 : 6 \cdot 7 \cdot 3 = \square$

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \square$

3 · 2 · 3 : 2 : 3 · 4 : 2 : 6 · 7 · 3
Чтобы найти значение этого выражения, нужно выполнять действия умножения и деления по порядку, слева направо, так как они имеют одинаковый приоритет.
1. Выполняем первое умножение: $3 \cdot 2 = 6$.
2. Результат умножаем на 3: $6 \cdot 3 = 18$.
3. Полученное число делим на 2: $18 : 2 = 9$.
4. Результат делим на 3: $9 : 3 = 3$.
5. Полученное число умножаем на 4: $3 \cdot 4 = 12$.
6. Результат делим на 2: $12 : 2 = 6$.
7. Полученное число делим на 6: $6 : 6 = 1$.
8. Результат умножаем на 7: $1 \cdot 7 = 7$.
9. И, наконец, умножаем на 3: $7 \cdot 3 = 21$.
Ответ: 21

2 · 2 · 2 · 2 · 2
Для нахождения значения этого выражения необходимо последовательно перемножить все числа.
1. Выполняем первое умножение: $2 \cdot 2 = 4$.
2. Полученный результат умножаем на следующее число 2: $4 \cdot 2 = 8$.
3. Снова умножаем на 2: $8 \cdot 2 = 16$.
4. Выполняем последнее умножение: $16 \cdot 2 = 32$.
Это выражение также можно представить в виде степени: $2^5 = 32$.
Ответ: 32

1 Продолжи ряд, сохраняя закономерность.

а) 8, 16, 24, 32,

б) 556, 517, 478,

в) 3, 25, 6, 50, 9, 75,

г) (графический рисунок на сетке)

а) В данном ряду представлена арифметическая прогрессия. Чтобы определить закономерность, найдем разность между соседними числами:
$16 - 8 = 8$
$24 - 16 = 8$
$32 - 24 = 8$
Каждое следующее число на 8 больше предыдущего. Продолжим ряд, прибавляя по 8:
$32 + 8 = 40$
$40 + 8 = 48$
$48 + 8 = 56$
$56 + 8 = 64$
$64 + 8 = 72$
Ответ: 40, 48, 56, 64, 72.

б) Этот ряд также является арифметической прогрессией. Найдем разность между соседними числами:
$556 - 517 = 39$
$517 - 478 = 39$
Каждое следующее число на 39 меньше предыдущего. Продолжим ряд, вычитая по 39:
$478 - 39 = 439$
$439 - 39 = 400$
$400 - 39 = 361$
$361 - 39 = 322$
$322 - 39 = 283$
Ответ: 439, 400, 361, 322, 283.

в) В этом задании представлены две чередующиеся арифметические прогрессии.
Первая прогрессия состоит из чисел, стоящих на нечетных местах: 3, 6, 9, ... Ее закономерность — прибавление числа 3. Следующие члены: $9 + 3 = 12$, $12 + 3 = 15$, $15 + 3 = 18$.
Вторая прогрессия состоит из чисел, стоящих на четных местах: 25, 50, 75, ... Ее закономерность — прибавление числа 25. Следующие члены: $75 + 25 = 100$, $100 + 25 = 125$.
Теперь объединим эти две прогрессии, чтобы продолжить исходный ряд.
Ответ: 12, 100, 15, 125, 18.

г) Закономерность этого ряда заключается в повторении графического узора (фигуры человечка) со смещением на 4 клетки вправо. При этом цвет фигуры чередуется: черный, серый, черный, серый и так далее. Чтобы продолжить ряд, нужно дорисовать следующие фигуры, сохраняя эту закономерность.

Ответ: Продолжение узора нарисовано на сетке выше.

2 a) Построй графические модели чисел и запиши числа в виде суммы разрядных слагаемых.

305 =

35 =

350 =

б) Расположи числа 305, 35 и 350 в порядке возрастания и укажи для каждого из них предыдущее и последующее числа.

а)

Разложим каждое число на сумму разрядных слагаемых и опишем его графическую модель. В графической модели сотни можно представить большими квадратами, десятки — столбиками, а единицы — маленькими квадратами.

Для числа 305:
Число 305 состоит из 3 сотен, 0 десятков и 5 единиц.
Сумма разрядных слагаемых: $305 = 300 + 5$.
Графическая модель: 3 больших квадрата и 5 маленьких квадратов.

Для числа 35:
Число 35 состоит из 3 десятков и 5 единиц.
Сумма разрядных слагаемых: $35 = 30 + 5$.
Графическая модель: 3 столбика и 5 маленьких квадратов.

Для числа 350:
Число 350 состоит из 3 сотен и 5 десятков.
Сумма разрядных слагаемых: $350 = 300 + 50$.
Графическая модель: 3 больших квадрата и 5 столбиков.

Ответ: $305 = 300 + 5$; $35 = 30 + 5$; $350 = 300 + 50$.

б)

Сначала расположим числа 35, 305 и 350 в порядке возрастания. Сравниваем числа: 35 — двузначное число, а 305 и 350 — трехзначные. Двузначное число всегда меньше трехзначного, поэтому 35 — самое маленькое. Теперь сравним 305 и 350. У них одинаковое количество сотен (по 3). Сравниваем цифры в разряде десятков: у 305 — 0 десятков, у 350 — 5 десятков. Так как $0 < 5$, то $305 < 350$.
Получаем следующий ряд чисел в порядке возрастания: 35, 305, 350.

Теперь для каждого числа из ряда найдем предыдущее (число, меньшее на 1) и последующее (число, большее на 1).
Для числа 35: предыдущее число $35 - 1 = 34$, последующее число $35 + 1 = 36$.
Для числа 305: предыдущее число $305 - 1 = 304$, последующее число $305 + 1 = 306$.
Для числа 350: предыдущее число $350 - 1 = 349$, последующее число $350 + 1 = 351$.

Ответ: 34, 35, 36; 304, 305, 306; 349, 350, 351.

3 Разбей числа 54, 160, 9, 700, 25, 304 на группы по указанным признакам:

а) по количеству цифр:

б) по сумме цифр:

в) круглые и некруглые:

Попробуй найти другие признаки разбиения этих чисел на группы.

а) по количеству цифр: Чтобы сгруппировать числа по количеству цифр, необходимо посчитать, из скольких цифр состоит каждое число. Числа можно разделить на три группы: - состоящие из одной цифры (однозначные); - состоящие из двух цифр (двузначные); - состоящие из трех цифр (трехзначные). В нашем наборе: 9 — однозначное; 54, 25 — двузначные; 160, 700, 304 — трехзначные.
Ответ: 1 группа (однозначные): 9; 2 группа (двузначные): 54, 25; 3 группа (трехзначные): 160, 700, 304.

б) по сумме цифр: Для этого признака нужно найти сумму цифр каждого числа и объединить в группы числа с одинаковой суммой. Сумма цифр для 54: $5 + 4 = 9$. Сумма цифр для 160: $1 + 6 + 0 = 7$. Сумма цифр для 9: $9$. Сумма цифр для 700: $7 + 0 + 0 = 7$. Сумма цифр для 25: $2 + 5 = 7$. Сумма цифр для 304: $3 + 0 + 4 = 7$. Получаем две группы: числа с суммой цифр 7 и числа с суммой цифр 9.
Ответ: 1 группа (сумма цифр равна 7): 160, 700, 25, 304; 2 группа (сумма цифр равна 9): 54, 9.

в) круглые и некруглые: Круглыми называют числа, которые оканчиваются на один или несколько нулей. Остальные числа являются некруглыми. В данном наборе числа 160 и 700 оканчиваются на ноль, следовательно, они круглые. Числа 54, 9, 25, 304 не оканчиваются на ноль, они некруглые.
Ответ: Круглые: 160, 700; Некруглые: 54, 9, 25, 304.

Попробуй найти другие признаки разбиения этих чисел на группы:
Существуют и другие признаки, по которым можно сгруппировать эти числа. Например:
1. По четности: числа можно разделить на четные (делятся на 2 без остатка) и нечетные. Четные: 54, 160, 700, 304. Нечетные: 9, 25.
2. По наличию цифры 0 в записи: можно выделить числа, в записи которых есть ноль, и те, в которых его нет. Содержат цифру 0: 160, 700, 304. Не содержат цифру 0: 54, 9, 25.

4. Сравни числа.

$31 \Box 8$

$7 \Box 300$

$915 \Box 348$

$256 \Box 259$

31 □ 8
Для сравнения чисел 31 и 8 необходимо посмотреть на их разрядность. Число 31 является двузначным, так как состоит из двух цифр (3 десятка и 1 единица). Число 8 является однозначным. Любое двузначное число всегда больше любого однозначного. Таким образом, 31 больше, чем 8.
Ответ: $31 > 8$

7 □ 300
Сравним числа 7 и 300. Число 7 — однозначное, а число 300 — трехзначное (3 сотни, 0 десятков и 0 единиц). Число, в котором больше разрядов (цифр), всегда больше. Следовательно, 7 меньше, чем 300.
Ответ: $7 < 300$

915 □ 348
Оба числа, 915 и 348, являются трехзначными. Чтобы их сравнить, начинаем со старшего разряда — сотен. В числе 915 цифра в разряде сотен равна 9. В числе 348 цифра в разряде сотен равна 3. Поскольку $9 > 3$, то и число 915 больше числа 348.
Ответ: $915 > 348$

256 □ 259
Оба числа, 256 и 259, являются трехзначными. Сравнение начинаем со старшего разряда (сотен). Цифры в разряде сотен у обоих чисел одинаковы и равны 2. Переходим к следующему разряду — десяткам. Цифры в разряде десятков также одинаковы и равны 5. Сравниваем последний разряд — единицы. В числе 256 в разряде единиц стоит цифра 6, а в числе 259 — цифра 9. Так как $6 < 9$, то число 256 меньше числа 259.
Ответ: $256 < 259$