Номер 15, страница 28, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник Моро, Бантова

Часть 1. Числа от 1 до 100. Умножение и деление (продолжение). Что узнали. Чему научились - номер 15, страница 28.

Условие.

15. Какие два числа надо поменять местами, чтобы квадрат стал магическим?

Решение.

К этому заданию есть видео

Решение.

Решение 3.

Для того чтобы определить, какие два числа нужно поменять местами, чтобы квадрат стал магическим, необходимо выполнить несколько шагов. Поскольку изображение самого квадрата не предоставлено, я опишу общий метод решения и проиллюстрирую его на примере.

Шаг 1: Нахождение магической константы
Магический квадрат — это квадрат, в котором суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях равны. Эта сумма называется магической константой, обозначим ее $M$. Для начала нужно определить значение $M$. Если в условии задачи дан квадрат размера $n \times n$, заполненный последовательными натуральными числами от 1 до $n^2$, то магическую константу можно вычислить по формуле: $M = \frac{n(n^2+1)}{2}$. Например, для квадрата $3 \times 3$ с числами от 1 до 9, магическая константа будет $M = \frac{3(3^2+1)}{2} = 15$. Если числа в квадрате другие, можно найти строку, столбец или диагональ, которая, по-видимому, уже является "правильной", и посчитать ее сумму. Либо можно сложить все числа в квадрате и разделить результат на $n$.

Шаг 2: Расчет сумм и выявление ошибок
Далее нужно вычислить суммы чисел для всех строк, столбцов и двух главных диагоналей данного квадрата. После этого сравните каждую сумму с магической константой $M$. Те строки и столбцы, где сумма не равна $M$, содержат ошибку. Определим для каждой из них "отклонение" по формуле: $D = \text{Текущая сумма} - M$.

Шаг 3: Определение чисел для замены
Когда два числа, скажем $x$ и $y$, меняются местами, суммы в строках и столбцах, где они находились, изменяются. Пусть число $x$ находится в строке $R_x$ и столбце $C_x$, а число $y$ — в строке $R_y$ и столбце $C_y$. Чтобы после замены сумма в строке $R_x$ стала равна $M$, ее текущая сумма $\text{Sum}(R_x)$ должна измениться на $y-x$. То есть, $\text{Sum}(R_x) + y - x = M$. Отсюда получаем, что разница чисел $y-x$ должна быть равна $M - \text{Sum}(R_x)$, что является отклонением со знаком минус: $y-x = -D(R_x)$. Аналогично для строки $R_y$: $\text{Sum}(R_y) + x - y = M$, откуда $x-y = -D(R_y)$. Из этих соотношений следует, что отклонения в строках (и столбцах), содержащих искомые числа, должны быть равны по величине и противоположны по знаку: $D(R_x) = -D(R_y)$ и $D(C_x) = -D(C_y)$.

Пример решения
Допустим, нам дан следующий квадрат, для которого магическая константа $M=15$:
8 3 6
1 5 7
4 9 2
Рассчитаем суммы и отклонения:
Строка 1: $8+3+6=17$ (Отклонение $D = 17 - 15 = +2$)
Строка 2: $1+5+7=13$ (Отклонение $D = 13 - 15 = -2$)
Строка 3: $4+9+2=15$ (Отклонение $D = 0$)
Столбец 1: $8+1+4=13$ (Отклонение $D = 13 - 15 = -2$)
Столбец 2: $3+5+9=17$ (Отклонение $D = 17 - 15 = +2$)
Столбец 3: $6+7+2=15$ (Отклонение $D = 0$)
Диагональ 1 ($8, 5, 2$): $8+5+2=15$ (Отклонение $D = 0$)
Диагональ 2 ($6, 5, 4$): $6+5+4=15$ (Отклонение $D = 0$)
Мы видим пары отклонений $+2$ и $-2$. Искомые числа находятся на пересечениях строк и столбцов с этими отклонениями. Первое число находится на пересечении строки 1 (отклонение $+2$) и столбца 2 (отклонение $+2$). Это число 3. Второе число находится на пересечении строки 2 (отклонение $-2$) и столбца 1 (отклонение $-2$). Это число 1. Значит, нужно поменять местами числа 1 и 3. После замены квадрат станет магическим:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Проверка: $8+1+6=15$, $3+5+7=15$, $8+3+4=15$, и так далее для всех строк, столбцов и диагоналей.

Ответ: Для предоставления конкретного ответа необходимо изображение квадрата с числами. Следуя описанному выше методу, можно найти два числа, которые нужно поменять местами, чтобы сделать квадрат магическим.