Номер 10, страница 60, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Разгадай ребус и восстанови числовые выражения в рамке, если одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, а разными — разные.

$\begin{array}{r}КУБ \\- БУК \\\hlineЛИК\end{array}$

$ЛИК : К = КК$

Для решения этого ребуса необходимо проанализировать оба числовых выражения. Каждой букве соответствует уникальная цифра от 0 до 9, при этом первая цифра в числе не может быть нулём.

Начнём с анализа выражений по отдельности.

КУБ - БУК = ЛИК

Запишем это выражение, представив числа через их разряды: $ (100 \cdot К + 10 \cdot У + Б) - (100 \cdot Б + 10 \cdot У + К) = ЛИК $.

Упростим левую часть уравнения: $ 100К + 10У + Б - 100Б - 10У - К = 99К - 99Б = 99 \cdot (К - Б) $.

Таким образом, мы получаем важное свойство для числа ЛИК: $ ЛИК = 99 \cdot (К - Б) $. Это означает, что трёхзначное число ЛИК должно быть кратно 99.

ЛИК : К = КК

Это выражение можно переписать в виде умножения: $ ЛИК = К \cdot КК $.

Число $КК$ — это двузначное число с одинаковыми цифрами, которое можно записать как $ 10 \cdot К + К = 11 \cdot К $.

Подставим это в предыдущее равенство: $ ЛИК = К \cdot (11 \cdot К) = 11 \cdot К^2 $.

Теперь объединим выводы из анализа обоих выражений:

$ ЛИК = 99 \cdot (К - Б) $

$ ЛИК = 11 \cdot К^2 $

Приравняем правые части этих равенств: $ 99 \cdot (К - Б) = 11 \cdot К^2 $.

Разделим обе части на 11: $ 9 \cdot (К - Б) = К^2 $.

Из этого уравнения следует, что $К^2$ должно делиться на 9. Это возможно только если сама цифра $К$ делится на 3. Так как $К$ — первая цифра в числе КУБ, она не может быть нулём. Следовательно, возможные значения для $К$: 3, 6, 9.

Проверим каждое из этих значений:

• Если $К=3$, то $3^2 = 9 \cdot (3 - Б) \implies 9 = 9 \cdot (3 - Б) \implies 1 = 3 - Б \implies Б = 2$. Тогда найдём число ЛИК: $ЛИК = 11 \cdot 3^2 = 11 \cdot 9 = 99$. Но ЛИК — трёхзначное число, поэтому этот вариант не подходит.
• Если $К=6$, то $6^2 = 9 \cdot (6 - Б) \implies 36 = 9 \cdot (6 - Б) \implies 4 = 6 - Б \implies Б = 2$. Найдём число ЛИК: $ЛИК = 11 \cdot 6^2 = 11 \cdot 36 = 396$. Проверим, соответствуют ли буквы цифрам: $Л=3, И=9, К=6$. Все цифры (3, 9, 6, 2) разные, что соответствует условию. Этот вариант является решением.
• Если $К=9$, то $9^2 = 9 \cdot (9 - Б) \implies 81 = 9 \cdot (9 - Б) \implies 9 = 9 - Б \implies Б = 0$. Найдём число ЛИК: $ЛИК = 11 \cdot 9^2 = 11 \cdot 81 = 891$. Проверим соответствие букв и цифр: $Л=8, И=9, К=1$. Но мы исходили из того, что $К=9$. Получаем противоречие ($К$ не может быть одновременно 9 и 1), поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, мы нашли единственно верное решение: $К=6, Б=2, Л=3, И=9$. Цифра, обозначенная буквой $У$, может быть любой, не совпадающей с уже найденными (2, 3, 6, 9), например, $У=0, 1, 4, 5, 7, 8$, так как член $10 \cdot У$ сокращается при вычитании.

Восстановим исходные числовые выражения.

КУБ - БУК = ЛИК

Подставляем найденные значения: $К=6, Б=2, Л=3, И=9$. Для $У$ возьмем, например, 1.
$612 - 216 = 396$.
Ответ: $612 - 216 = 396$.

ЛИК : К = КК

Подставляем значения: $Л=3, И=9, К=6$.
$396 : 6 = 66$.
Ответ: $396 : 6 = 66$.