Номер 12, страница 98, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

12 Сумма трёх различных однозначных чисел равна их произведению.

Попробуй найти эти числа.

Обозначим три искомых различных однозначных числа как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, их сумма равна их произведению, что можно записать в виде уравнения: $a + b + c = a \cdot b \cdot c$.

Однозначные числа — это целые числа от 0 до 9. Также, по условию, числа $a, b, c$ должны быть различны.

Шаг 1: Проверка случая с нулём.
Предположим, одно из чисел равно 0, например, $a=0$. Тогда уравнение принимает вид: $0 + b + c = 0 \cdot b \cdot c$, что упрощается до $b+c=0$. Поскольку числа $b$ и $c$ должны быть отличны от 0 и являются неотрицательными, их сумма не может быть равна нулю. Следовательно, ни одно из искомых чисел не равно 0. Мы ищем числа из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Шаг 2: Поиск решения для положительных чисел.
Для удобства рассуждений упорядочим числа по возрастанию: $1 \le a < b < c$. Так как произведение чисел растет быстрее их суммы, логично начать проверку с наименьших возможных значений.
Пусть наименьшее число $a=1$. Уравнение примет вид: $1 + b + c = 1 \cdot b \cdot c$ $1 + b + c = bc$ Выразим $c$ через $b$: $bc - c = 1 + b \implies c(b - 1) = b + 1 \implies c = \frac{b + 1}{b - 1}$.
Для поиска целочисленных решений преобразуем дробь: $c = \frac{(b - 1) + 2}{b - 1} = 1 + \frac{2}{b - 1}$.
Чтобы $c$ было целым, выражение $(b-1)$ должно быть натуральным делителем числа 2. Таких делителей два: 1 и 2.
1) Если $b - 1 = 1$, то $b = 2$. Тогда $c = 1 + \frac{2}{1} = 3$. Мы получили набор чисел $\{1, 2, 3\}$, который удовлетворяет всем условиям.
2) Если $b - 1 = 2$, то $b = 3$. Тогда $c = 1 + \frac{2}{2} = 2$. Этот случай не подходит, так как нарушается условие $b < c$ ($3 \not< 2$).
Таким образом, мы нашли единственное возможное решение: числа 1, 2 и 3.

Шаг 3: Доказательство единственности решения.
Рассмотрим случай, когда наименьшее число $a \ge 2$. Тогда $b \ge 3$ и $c \ge 4$. Разделим обе части уравнения $a+b+c = abc$ на $abc$: $\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} = 1$.
Оценим максимальное значение левой части при $a \ge 2, b \ge 3, c \ge 4$: $\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} \le \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{2+3+4}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
Так как $\frac{3}{8} < 1$, равенство невозможно, если наименьшее число больше или равно 2. Это доказывает, что других решений в натуральных числах нет.

Вывод и проверка.
Единственным набором из трёх различных однозначных чисел, сумма которых равна их произведению, является {1, 2, 3}.
Проверка:
Сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
Произведение: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
$6=6$. Равенство выполняется.
Ответ: 1, 2, 3.