Страница 98, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

11 Найди площадь участка, план которого изображён на чертеже.

$14 \text{ м}$

$8 \text{ м}$

$3 \text{ м}$

$5 \text{ м}$

Попробуй найти три способа решения.

Для нахождения площади участка, изображенного на чертеже, можно использовать три различных способа. В основе всех способов лежит понимание размеров фигуры. Из чертежа мы видим:

• Общая ширина (верхняя сторона) = 14 м
• Общая высота (левая сторона) = 8 м
• Высота правой стороны = 3 м
• Длина внутреннего горизонтального отрезка = 5 м

Из этих данных можно найти размеры остальных сторон:

• Ширина левой части фигуры = $14 \text{ м} - 5 \text{ м} = 9 \text{ м}$
• Длина внутреннего вертикального отрезка = $8 \text{ м} - 3 \text{ м} = 5 \text{ м}$

Теперь рассмотрим три способа решения задачи.

1-й способ: Метод вычитания

Этот способ заключается в том, чтобы достроить фигуру до большого прямоугольника, найти его площадь, а затем вычесть из нее площадь "вырезанной" части.

1. Дополняем фигуру до большого прямоугольника с размерами 14 м на 8 м. Его площадь равна:

$S_{большого} = 14 \text{ м} \times 8 \text{ м} = 112 \text{ м}^2$

2. "Вырезанная" часть представляет собой прямоугольник. Его ширина равна длине внутреннего горизонтального отрезка (5 м), а высота — длине внутреннего вертикального отрезка ($8 \text{ м} - 3 \text{ м} = 5 \text{ м}$). Площадь вырезанной части равна:

$S_{выреза} = 5 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 25 \text{ м}^2$

3. Вычитаем площадь вырезанной части из площади большого прямоугольника, чтобы найти площадь участка:

$S_{участка} = S_{большого} - S_{выреза} = 112 \text{ м}^2 - 25 \text{ м}^2 = 87 \text{ м}^2$

Ответ: площадь участка равна 87 м².

2-й способ: Метод разбиения на два прямоугольника (вертикально)

Можно разделить исходную фигуру на два прямоугольника вертикальной линией. Линия разделяет левую, более высокую часть, и правую, более низкую часть.

1. Получаем два прямоугольника:

• Левый прямоугольник с высотой 8 м и шириной $14 \text{ м} - 5 \text{ м} = 9 \text{ м}$.
• Правый (верхний) прямоугольник с шириной 5 м и высотой 3 м.

2. Находим площадь каждого прямоугольника:

$S_{левого} = 9 \text{ м} \times 8 \text{ м} = 72 \text{ м}^2$

$S_{правого} = 5 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 15 \text{ м}^2$

3. Складываем их площади, чтобы найти общую площадь участка:

$S_{участка} = S_{левого} + S_{правого} = 72 \text{ м}^2 + 15 \text{ м}^2 = 87 \text{ м}^2$

Ответ: площадь участка равна 87 м².

3-й способ: Метод разбиения на два прямоугольника (горизонтально)

Можно разделить исходную фигуру на два прямоугольника горизонтальной линией. Линия разделяет верхнюю и нижнюю части фигуры.

1. Получаем два прямоугольника:

• Верхний прямоугольник с шириной 14 м и высотой, равной высоте правой стороны, то есть 3 м.
• Нижний прямоугольник с высотой $8 \text{ м} - 3 \text{ м} = 5 \text{ м}$ и шириной левой части, то есть $14 \text{ м} - 5 \text{ м} = 9 \text{ м}$.

2. Находим площадь каждого прямоугольника:

$S_{верхнего} = 14 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 42 \text{ м}^2$

$S_{нижнего} = 9 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 45 \text{ м}^2$

3. Складываем их площади, чтобы найти общую площадь участка:

$S_{участка} = S_{верхнего} + S_{нижнего} = 42 \text{ м}^2 + 45 \text{ м}^2 = 87 \text{ м}^2$

Ответ: площадь участка равна 87 м².

12 Сумма трёх различных однозначных чисел равна их произведению.

Попробуй найти эти числа.

Обозначим три искомых различных однозначных числа как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, их сумма равна их произведению, что можно записать в виде уравнения: $a + b + c = a \cdot b \cdot c$.

Однозначные числа — это целые числа от 0 до 9. Также, по условию, числа $a, b, c$ должны быть различны.

Шаг 1: Проверка случая с нулём.
Предположим, одно из чисел равно 0, например, $a=0$. Тогда уравнение принимает вид: $0 + b + c = 0 \cdot b \cdot c$, что упрощается до $b+c=0$. Поскольку числа $b$ и $c$ должны быть отличны от 0 и являются неотрицательными, их сумма не может быть равна нулю. Следовательно, ни одно из искомых чисел не равно 0. Мы ищем числа из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Шаг 2: Поиск решения для положительных чисел.
Для удобства рассуждений упорядочим числа по возрастанию: $1 \le a < b < c$. Так как произведение чисел растет быстрее их суммы, логично начать проверку с наименьших возможных значений.
Пусть наименьшее число $a=1$. Уравнение примет вид: $1 + b + c = 1 \cdot b \cdot c$ $1 + b + c = bc$ Выразим $c$ через $b$: $bc - c = 1 + b \implies c(b - 1) = b + 1 \implies c = \frac{b + 1}{b - 1}$.
Для поиска целочисленных решений преобразуем дробь: $c = \frac{(b - 1) + 2}{b - 1} = 1 + \frac{2}{b - 1}$.
Чтобы $c$ было целым, выражение $(b-1)$ должно быть натуральным делителем числа 2. Таких делителей два: 1 и 2.
1) Если $b - 1 = 1$, то $b = 2$. Тогда $c = 1 + \frac{2}{1} = 3$. Мы получили набор чисел $\{1, 2, 3\}$, который удовлетворяет всем условиям.
2) Если $b - 1 = 2$, то $b = 3$. Тогда $c = 1 + \frac{2}{2} = 2$. Этот случай не подходит, так как нарушается условие $b < c$ ($3 \not< 2$).
Таким образом, мы нашли единственное возможное решение: числа 1, 2 и 3.

Шаг 3: Доказательство единственности решения.
Рассмотрим случай, когда наименьшее число $a \ge 2$. Тогда $b \ge 3$ и $c \ge 4$. Разделим обе части уравнения $a+b+c = abc$ на $abc$: $\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} = 1$.
Оценим максимальное значение левой части при $a \ge 2, b \ge 3, c \ge 4$: $\frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{ab} \le \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{2+3+4}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
Так как $\frac{3}{8} < 1$, равенство невозможно, если наименьшее число больше или равно 2. Это доказывает, что других решений в натуральных числах нет.

Вывод и проверка.
Единственным набором из трёх различных однозначных чисел, сумма которых равна их произведению, является {1, 2, 3}.
Проверка:
Сумма: $1 + 2 + 3 = 6$.
Произведение: $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
$6=6$. Равенство выполняется.
Ответ: 1, 2, 3.

1 Прочитай числа: 5 794, 8 500, 2 010, 3 980, 4 007, 6 000.

Для каждого числа назови предшествующее ему и следующее за ним при счёте.

Прочитай числа: 5 794, 8 500, 2 010, 3 980, 4 007, 6 000.

Эти числа читаются следующим образом:
5 794 — пять тысяч семьсот девяносто четыре;
8 500 — восемь тысяч пятьсот;
2 010 — две тысячи десять;
3 980 — три тысячи девятьсот восемьдесят;
4 007 — четыре тысячи семь;
6 000 — шесть тысяч.

Для каждого числа назови предшествующее ему и следующее за ним при счёте.

Предшествующее число — это число, которое при счёте идёт непосредственно перед данным числом (меньше на 1). Следующее число — это число, которое при счёте идёт непосредственно за данным числом (больше на 1).

Для числа 5 794
Предшествующее число: $5794 - 1 = 5793$.
Следующее число: $5794 + 1 = 5795$.
Ответ: предшествующее число — 5 793, следующее число — 5 795.

Для числа 8 500
Предшествующее число: $8500 - 1 = 8499$.
Следующее число: $8500 + 1 = 8501$.
Ответ: предшествующее число — 8 499, следующее число — 8 501.

Для числа 2 010
Предшествующее число: $2010 - 1 = 2009$.
Следующее число: $2010 + 1 = 2011$.
Ответ: предшествующее число — 2 009, следующее число — 2 011.

Для числа 3 980
Предшествующее число: $3980 - 1 = 3979$.
Следующее число: $3980 + 1 = 3981$.
Ответ: предшествующее число — 3 979, следующее число — 3 981.

Для числа 4 007
Предшествующее число: $4007 - 1 = 4006$.
Следующее число: $4007 + 1 = 4008$.
Ответ: предшествующее число — 4 006, следующее число — 4 008.

Для числа 6 000
Предшествующее число: $6000 - 1 = 5999$.
Следующее число: $6000 + 1 = 6001$.
Ответ: предшествующее число — 5 999, следующее число — 6 001.

2 Запиши цифрами числа:

две тысячи семьсот тридцать три; четыре тысячи девятьсот девяносто; пять тысяч восемнадцать; девять тысяч восемьсот шесть.

две тысячи семьсот тридцать три
Чтобы записать это число цифрами, разложим его на составляющие: "две тысячи" — это 2000, "семьсот" — это 700, "тридцать три" — это 33. Теперь сложим все части вместе:
$2000 + 700 + 33 = 2733$
Ответ: 2733

четыре тысячи девятьсот девяносто
Разложим число на составляющие: "четыре тысячи" — это 4000, "девятьсот" — это 900, "девяносто" — это 90. Сложим все части:
$4000 + 900 + 90 = 4990$
Ответ: 4990

пять тысяч восемнадцать
Разложим число на составляющие: "пять тысяч" — это 5000, "восемнадцать" — это 18. Обратите внимание, что в названии числа отсутствует разряд сотен, поэтому на его месте в итоговом числе будет стоять 0. Складываем:
$5000 + 18 = 5018$
Ответ: 5018

девять тысяч восемьсот шесть
Разложим число на составляющие: "девять тысяч" — это 9000, "восемьсот" — это 800, "шесть" — это 6. В названии числа отсутствует разряд десятков, поэтому на его месте будет стоять 0. Складываем:
$9000 + 800 + 6 = 9806$
Ответ: 9806

3 (Устно.) Выполни действия с помощью примера-помощника, как показано в образце.

$3000 + 5000 = 8000$

$3 \text{ тыс.} + 5 \text{ тыс.} = 8 \text{ тыс.}$

$2000 \cdot 3 = \Box$

$2 \text{ тыс.} \cdot 3$

$7000 - 3000 = \Box$

$7 \text{ тыс.} - 3 \text{ тыс.}$

$9000 - 7000 = \Box$

$9 \text{ тыс.} - 7 \text{ тыс.}$

$8000 : 2 = \Box$

$8 \text{ тыс.} : 2$

$6000 : 6 = \Box$

$6 \text{ тыс.} : 6$

2 000 · 3

Чтобы выполнить это действие, воспользуемся примером-помощником. Заменим 2 000 на "2 тыс." и выполним умножение:

2 тыс. · 3 = 6 тыс.

Теперь переведем результат обратно в числовое значение: 6 тыс. – это 6 000.

Проверим: $2\ 000 \cdot 3 = 6\ 000$.

Ответ: 6 000

7 000 – 3 000

Заменим числа на их представление в тысячах: 7 000 – это "7 тыс.", а 3 000 – это "3 тыс.".

7 тыс. – 3 тыс. = 4 тыс.

Переведем результат обратно в число: 4 тыс. – это 4 000.

Проверим: $7\ 000 - 3\ 000 = 4\ 000$.

Ответ: 4 000

9 000 – 7 000

Представим числа в виде тысяч: 9 000 – это "9 тыс.", 7 000 – это "7 тыс.".

9 тыс. – 7 тыс. = 2 тыс.

Переведем 2 тыс. в число: 2 000.

Проверим: $9\ 000 - 7\ 000 = 2\ 000$.

Ответ: 2 000

8 000 : 2

Заменим 8 000 на "8 тыс." и выполним деление:

8 тыс. : 2 = 4 тыс.

Теперь переведем результат обратно в число: 4 тыс. – это 4 000.

Проверим: $8\ 000 : 2 = 4\ 000$.

Ответ: 4 000

6 000 : 6

Представим 6 000 как "6 тыс." и выполним деление:

6 тыс. : 6 = 1 тыс.

Переведем результат в число: 1 тыс. – это 1 000.

Проверим: $6\ 000 : 6 = 1\ 000$.

Ответ: 1 000

4 В одном килограмме $1000 \text{ г}$. Сколько граммов в $4 \text{ кг}$? В $5 \text{ кг}$? в $8 \text{ кг}$?

в 4 кг?
Чтобы узнать, сколько граммов в 4 килограммах, нужно количество килограммов умножить на 1000, так как по условию в одном килограмме 1000 граммов.
$4 \times 1000 = 4000$ (г)
Ответ: 4000 г.

в 5 кг?
Аналогично, чтобы найти количество граммов в 5 килограммах, умножаем 5 на 1000.
$5 \times 1000 = 5000$ (г)
Ответ: 5000 г.

в 8 кг?
Таким же образом вычисляем количество граммов для 8 килограммов.
$8 \times 1000 = 8000$ (г)
Ответ: 8000 г.

5 Вырази в граммах.

$2 \text{ кг } 350 \text{ г}$

$7 \text{ кг } 800 \text{ г}$

$6 \text{ кг } 82 \text{ г}$

$9 \text{ кг } 9 \text{ г}$

Чтобы выразить данные величины в граммах, нужно вспомнить основное соотношение между килограммами (кг) и граммами (г): $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Для каждого значения необходимо количество килограммов умножить на 1000 и к полученному результату прибавить количество граммов.

2 кг 350 г
Переводим килограммы в граммы: $2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.
Складываем с имеющимися граммами: $2000 \text{ г} + 350 \text{ г} = 2350 \text{ г}$.
Ответ: 2350 г.

7 кг 800 г
Переводим килограммы в граммы: $7 \text{ кг} = 7 \times 1000 \text{ г} = 7000 \text{ г}$.
Складываем с имеющимися граммами: $7000 \text{ г} + 800 \text{ г} = 7800 \text{ г}$.
Ответ: 7800 г.

6 кг 82 г
Переводим килограммы в граммы: $6 \text{ кг} = 6 \times 1000 \text{ г} = 6000 \text{ г}$.
Складываем с имеющимися граммами: $6000 \text{ г} + 82 \text{ г} = 6082 \text{ г}$.
Ответ: 6082 г.

9 кг 9 г
Переводим килограммы в граммы: $9 \text{ кг} = 9 \times 1000 \text{ г} = 9000 \text{ г}$.
Складываем с имеющимися граммами: $9000 \text{ г} + 9 \text{ г} = 9009 \text{ г}$.
Ответ: 9009 г.

5 Первый мальчик на коньках пробегает 8 м в секунду, а второй — 6 м в секунду. Через сколько секунд первый мальчик опередит второго на 50 м, если они одновременно побегут с одного места и в одном направлении?

$8 \text{ м/с}$

$6 \text{ м/с}$

$50 \text{ м}$

Составь и реши задачу, обратную данной.

Для решения этой задачи необходимо найти скорость, с которой первый мальчик опережает второго. Поскольку они движутся в одном направлении, эта скорость, называемая скоростью удаления, равна разности их скоростей.

1) Найдем скорость удаления:
$v_{удаления} = 8 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$
Это означает, что каждую секунду расстояние между мальчиками увеличивается на 2 метра.

2) Теперь, чтобы найти время, за которое расстояние между ними станет 50 метров, разделим это расстояние на скорость удаления:
$t = \frac{S}{v_{удаления}} = \frac{50 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 25 \text{ с}$

Ответ: первый мальчик опередит второго на 50 м через 25 секунд.

Составь и реши задачу, обратную данной.

Обратная задача — это задача, в которой искомая величина изначальной задачи (время) становится известной, а одна из известных величин (например, расстояние) становится искомой.

Условие обратной задачи:
Первый мальчик на коньках бежит со скоростью 8 м/с, а второй — 6 м/с. Они стартуют одновременно из одной точки и движутся в одном направлении. Какое расстояние будет между ними через 25 секунд?

Решение обратной задачи:
1) Сначала найдем скорость удаления, то есть на сколько метров первый мальчик опережает второго за одну секунду:
$8 \text{ м/с} - 6 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$

2) Теперь умножим скорость удаления на известное время, чтобы найти расстояние между мальчиками:
$S = 2 \text{ м/с} \times 25 \text{ с} = 50 \text{ м}$

Ответ: через 25 секунд расстояние между мальчиками будет 50 метров.

6 Сравни.

57 ц 7 кг 57 070 кг

57 т 7 кг 57 007 кг

57 мин 7 с 5 770 мин

57 м 7 мм 5 707 мм

57 ц 7 кг ○ 57 070 кг

Для сравнения величин необходимо привести их к одной единице измерения. В данном случае удобно перевести всё в килограммы (кг).
В одном центнере (ц) содержится 100 кг.
$57 \text{ ц} = 57 \times 100 \text{ кг} = 5700 \text{ кг}$.
Теперь добавим оставшиеся 7 кг:
$57 \text{ ц} \ 7 \text{ кг} = 5700 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 5707 \text{ кг}$.
Сравним полученное значение с правой частью:
$5707 \text{ кг} < 57 070 \text{ кг}$.
Ответ: $57 \text{ ц} \ 7 \text{ кг} < 57 070 \text{ кг}$.

57 т 7 кг ○ 57 007 кг

Приведем левую часть выражения к килограммам для корректного сравнения.
В одной тонне (т) содержится 1000 кг.
$57 \text{ т} = 57 \times 1000 \text{ кг} = 57 000 \text{ кг}$.
Добавим оставшиеся 7 кг:
$57 \text{ т} \ 7 \text{ кг} = 57 000 \text{ кг} + 7 \text{ кг} = 57 007 \text{ кг}$.
Теперь сравним результат с правой частью:
$57 007 \text{ кг} = 57 007 \text{ кг}$.
Ответ: $57 \text{ т} \ 7 \text{ кг} = 57 007 \text{ кг}$.

57 мин 7 с ○ 5 770 мин

Чтобы сравнить эти величины, достаточно посмотреть на количество минут в каждой из них. В левой части 57 минут, а в правой — 5 770 минут.
Поскольку $57 < 5770$, очевидно, что 57 минут и 7 секунд — это значительно меньше, чем 5 770 минут.
Ответ: $57 \text{ мин} \ 7 \text{ с} < 5 770 \text{ мин}$.

57 м 7 мм ○ 5 707 мм

Для сравнения приведем левую часть к миллиметрам (мм).
В одном метре (м) содержится 1000 мм.
$57 \text{ м} = 57 \times 1000 \text{ мм} = 57 000 \text{ мм}$.
Добавим оставшиеся 7 мм:
$57 \text{ м} \ 7 \text{ мм} = 57 000 \text{ мм} + 7 \text{ мм} = 57 007 \text{ мм}$.
Теперь сравним полученный результат с правой частью:
$57 007 \text{ мм} > 5 707 \text{ мм}$.
Ответ: $57 \text{ м} \ 7 \text{ мм} > 5 707 \text{ мм}$.

7. На первом тракторе работали 60 ч, на втором — 55 ч. На втором тракторе израсходовали на 40 л горючего меньше, чем на первом. Сколько литров горючего израсходовали на каждом тракторе при одинаковой норме расхода горючего в час?

1. Найдём разницу во времени работы тракторов.

Чтобы узнать, на сколько часов первый трактор работал дольше второго, вычтем из времени работы первого время работы второго: $60 - 55 = 5$ (часов).

2. Найдём норму расхода горючего в час.

Из условия задачи известно, что за эти 5 часов разницы в работе было израсходовано на 40 литров горючего больше. Так как норма расхода одинаковая, мы можем найти, сколько литров расходуется за один час, разделив разницу в расходе на разницу во времени: $40 / 5 = 8$ (литров в час).

3. Найдём, сколько литров горючего израсходовал первый трактор.

Теперь умножим время работы первого трактора на часовую норму расхода горючего: $60 \times 8 = 480$ (литров).

Ответ: на первом тракторе израсходовали 480 литров горючего.

4. Найдём, сколько литров горючего израсходовал второй трактор.

Аналогично умножим время работы второго трактора на ту же часовую норму расхода: $55 \times 8 = 440$ (литров).

Ответ: на втором тракторе израсходовали 440 литров горючего.

8 Высота футбольных ворот 2 м 44 см, а высота хоккейных ворот в 2 раза меньше. Вычисли высоту хоккейных ворот.

Для решения этой задачи сначала переведем высоту футбольных ворот в одну единицу измерения — сантиметры. В одном метре 100 сантиметров, поэтому:

$2 \text{ м } 44 \text{ см} = 2 \times 100 \text{ см} + 44 \text{ см} = 200 \text{ см} + 44 \text{ см} = 244 \text{ см}$.

Согласно условию, высота хоккейных ворот в 2 раза меньше высоты футбольных. Чтобы найти высоту хоккейных ворот, необходимо высоту футбольных ворот разделить на 2.

$244 \text{ см} \div 2 = 122 \text{ см}$.

Теперь представим полученный результат в метрах и сантиметрах для наглядности.

$122 \text{ см} = 100 \text{ см} + 22 \text{ см} = 1 \text{ м } 22 \text{ см}$.

Ответ: высота хоккейных ворот равна 1 м 22 см.

9. Как нужно расставить скобки, чтобы запись стала верной?

$350 - 15 \cdot 104 - 1428 : 14 = 320$

Для того чтобы данное равенство стало верным, необходимо правильно расставить скобки, изменив стандартный порядок выполнения арифметических операций. Порядок действий следующий: сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (слева направо).

Проверим, как будет решаться выражение без скобок:

$350 - 15 \cdot 104 - 1428 : 14$

1. $15 \cdot 104 = 1560$

2. $1428 : 14 = 102$

3. $350 - 1560 - 102 = -1210 - 102 = -1312$

Результат $-1312$ не равен $320$.

Чтобы в результате получилось $320$, необходимо из $350$ вычесть $30$ ($350 - 30 = 320$). Следовательно, оставшаяся часть выражения $15 \cdot 104 - 1428 : 14$ при правильной расстановке скобок должна быть равна $30$.

Рассмотрим вариант с расстановкой скобок $15 \cdot (104 - 1428 : 14)$.

Решение

Правильная расстановка скобок выглядит следующим образом:

$350 - 15 \cdot (104 - 1428 : 14) = 320$

Проверим порядок действий и вычислим результат:

1. Первым действием выполняется операция в скобках. Внутри скобок сначала выполняется деление: $1428 : 14 = 102$.

2. Затем выполняется вычитание в скобках: $104 - 102 = 2$.

3. После этого выражение принимает вид: $350 - 15 \cdot 2$.

4. Далее по порядку операций следует умножение: $15 \cdot 2 = 30$.

5. Последним действием выполняется вычитание: $350 - 30 = 320$.

Равенство $320 = 320$ верно. Таким образом, скобки расставлены правильно.

Ответ: $350 - 15 \cdot (104 - 1428 : 14) = 320$

10 Докажи, что площадь зелёной фигуры равна площади жёлтой фигуры.

Для доказательства того, что площадь зелёной фигуры равна площади жёлтой фигуры, можно воспользоваться несколькими способами. Примем площадь одной клетки сетки за 1 квадратную единицу (кв. ед.).

1. Вся фигура целиком расположена внутри большого квадрата со стороной 6 клеток. Общая площадь этого квадрата составляет $S_{общая} = 6 \times 6 = 36$ кв. ед.

2. Жёлтая фигура состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, расположенных в углах большого квадрата.

3. Катеты каждого такого треугольника равны 3 клеткам.

4. Площадь одного жёлтого треугольника вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ кв. ед.

5. Общая площадь жёлтой фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников: $S_{жёлтая} = 4 \times S_{треуг} = 4 \times 4.5 = 18$ кв. ед.

6. Зелёная фигура (повёрнутый квадрат) занимает всю оставшуюся площадь большого квадрата. Её площадь можно найти, вычтя из общей площади площадь жёлтой фигуры.

7. Площадь зелёной фигуры: $S_{зелёная} = S_{общая} - S_{жёлтая} = 36 - 18 = 18$ кв. ед.

8. Сравнивая полученные площади, мы видим, что $S_{зелёная} = 18$ кв. ед. и $S_{жёлтая} = 18$ кв. ед.

1. Вычислим площадь жёлтой фигуры. Как было показано в первом способе, жёлтая фигура состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников с катетами 3. Её общая площадь равна: $S_{жёлтая} = 4 \times (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) = 4 \times 4.5 = 18$ кв. ед.

2. Вычислим площадь зелёной фигуры. Зелёная фигура — это квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны ($S = a^2$). Мы можем найти квадрат стороны, не вычисляя саму сторону, с помощью теоремы Пифагора.

3. Сторона зелёного квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого можно построить по линиям сетки. Например, для стороны, соединяющей вершины в точках (3,0) и (0,3), катеты такого треугольника равны 3 и 3.

4. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (стороны $a$ зелёного квадрата) равен сумме квадратов катетов: $a^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.

5. Площадь зелёной фигуры и есть квадрат её стороны: $S_{зелёная} = a^2 = 18$ кв. ед.

6. Сравнив результаты, мы снова убеждаемся, что $S_{зелёная} = 18$ кв. ед. и $S_{жёлтая} = 18$ кв. ед.

Ответ: Площадь зелёной фигуры равна 18 кв. ед., и площадь жёлтой фигуры также равна 18 кв. ед. Следовательно, их площади равны, что и требовалось доказать.