Страница 94, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 (Устно.) Сколько единиц в десятке? Сколько десятков в сотне? Сколько сотен в тысяче?

Сколько единиц в десятке?

Десяток — это число, обозначаемое как $10$. Единица — это число $1$. Чтобы найти, сколько единиц содержится в одном десятке, необходимо разделить $10$ на $1$.
Математически это выглядит так: $10 \div 1 = 10$.
Следовательно, в одном десятке содержится $10$ единиц.
Ответ: 10

Сколько десятков в сотне?

Сотня — это число, равное $100$. Десяток — это число $10$. Чтобы определить, сколько десятков содержится в одной сотне, нужно разделить $100$ на $10$.
Выполним вычисление: $100 \div 10 = 10$.
Таким образом, в одной сотне содержится $10$ десятков.
Ответ: 10

Сколько сотен в тысяче?

Тысяча — это число, равное $1000$. Сотня — это число $100$. Чтобы узнать, сколько сотен в тысяче, необходимо разделить $1000$ на $100$.
Произведем деление: $1000 \div 100 = 10$.
Это означает, что в одной тысяче содержится $10$ сотен.
Ответ: 10

2 (Устно.) В одном коробке 100 спичек, а в каждой упаковке по 10 коробков. Сколько спичек в одной такой упаковке? в двух упаковках? в трёх упаковках? в девяти упаковках?

100 спичек

Сколько спичек в одной такой упаковке?
Чтобы найти количество спичек в одной упаковке, нужно количество спичек в одном коробке (100) умножить на количество коробков в упаковке (10).
$100 \times 10 = 1000$ спичек.
Ответ: 1000 спичек.

в двух упаковках?
Мы уже знаем, что в одной упаковке 1000 спичек. Чтобы найти количество спичек в двух упаковках, умножим это число на 2.
$1000 \times 2 = 2000$ спичек.
Ответ: 2000 спичек.

в трёх упаковках?
Чтобы найти количество спичек в трёх упаковках, умножим количество спичек в одной упаковке на 3.
$1000 \times 3 = 3000$ спичек.
Ответ: 3000 спичек.

в девяти упаковках?
Чтобы найти количество спичек в девяти упаковках, умножим количество спичек в одной упаковке на 9.
$1000 \times 9 = 9000$ спичек.
Ответ: 9000 спичек.

4 Сравни значения выражений.

$17\,307 : 27 + 304 \cdot 217$ O $403 \cdot 119 + 27\,648 : 48$

$(9\,483 + 435) : 87$ O $8\,908 : 68 - 544 : 68$

$3\,105 : 23 + 186\,796 : 82$ O $159\,600 : 42 - 209 \cdot 5$

17 307 : 27 + 304 · 217 ○ 403 · 119 + 27 648 : 48

Чтобы сравнить значения выражений, необходимо вычислить значение каждого из них, соблюдая порядок действий (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание).

Вычислим значение левой части:

1) $17 307 : 27 = 641$

2) $304 \cdot 217 = 65 968$

3) $641 + 65 968 = 66 609$

Вычислим значение правой части:

1) $403 \cdot 119 = 47 957$

2) $27 648 : 48 = 576$

3) $47 957 + 576 = 48 533$

Сравниваем полученные результаты:

$66 609 > 48 533$

Ответ: $17 307 : 27 + 304 \cdot 217 > 403 \cdot 119 + 27 648 : 48$.

(9 483 + 435) : 87 ○ 8 908 : 68 – 544 : 68

Сначала вычислим значение выражения в левой части, выполнив действие в скобках.

1) $9 483 + 435 = 9 918$

2) $9 918 : 87 = 114$

Теперь вычислим значение выражения в правой части. Можно воспользоваться распределительным свойством деления: $(a - b) : c = a : c - b : c$.

1) $8 908 : 68 = 131$

2) $544 : 68 = 8$

3) $131 - 8 = 123$

Сравниваем полученные результаты:

$114 < 123$

Ответ: $(9 483 + 435) : 87 < 8 908 : 68 – 544 : 68$.

3 105 : 23 + 186 796 : 82 ○ 159 600 : 42 – 209 · 5

Вычислим значение левой части:

1) $3 105 : 23 = 135$

2) $186 796 : 82 = 2 278$

3) $135 + 2 278 = 2 413$

Вычислим значение правой части:

1) $159 600 : 42 = 3 800$

2) $209 \cdot 5 = 1 045$

3) $3 800 - 1 045 = 2 755$

Сравниваем полученные результаты:

$2 413 < 2 755$

Ответ: $3 105 : 23 + 186 796 : 82 < 159 600 : 42 – 209 \cdot 5$.

5 В 9 вагонах привезли 2 988 мешков сахара, поровну во всех вагонах.
Сколько мешков сахара было в 5 вагонах?

Для решения задачи нужно выполнить два действия. Сначала необходимо определить, сколько мешков сахара находится в одном вагоне, а затем вычислить, сколько мешков в пяти вагонах.

1. Найдем количество мешков сахара в одном вагоне. Для этого общее количество мешков разделим на количество вагонов.

$2988 \div 9 = 332$ (мешка)

Таким образом, в одном вагоне находится 332 мешка сахара.

2. Теперь найдем, сколько мешков сахара было в пяти вагонах. Для этого умножим количество мешков в одном вагоне на 5.

$332 \times 5 = 1660$ (мешков)

Ответ: в 5 вагонах было 1660 мешков сахара.

6 От одной станции одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Скорость первого автобуса $52 \text{ км/ч}$, а скорость второго на $8 \text{ км/ч}$ меньше. Какое расстояние будет между этими автобусами через $4 \text{ ч}$?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найти скорость второго автобуса

Из условия известно, что скорость первого автобуса составляет 52 км/ч, а скорость второго — на 8 км/ч меньше. Вычтем 8 из скорости первого автобуса, чтобы найти скорость второго:

$52 - 8 = 44$ (км/ч) – скорость второго автобуса.

2. Найти скорость удаления автобусов

Поскольку автобусы движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна сумме их индивидуальных скоростей. Сложим скорости первого и второго автобусов:

$52 + 44 = 96$ (км/ч) – скорость удаления автобусов.

3. Найти расстояние между автобусами через 4 часа

Теперь, зная общую скорость, с которой автобусы отдаляются друг от друга, можно найти расстояние между ними через 4 часа. Для этого умножим скорость удаления на время в пути:

$96 \times 4 = 384$ (км).

Ответ: через 4 часа расстояние между этими автобусами будет 384 км.

7 Сколько минут в одной десятой доле часа? в одной тридцатой доле часа? в одной двадцать четвёртой доле суток?

Сколько минут в одной десятой доле часа?

В одном часе содержится 60 минут. Чтобы найти, сколько минут составляет одна десятая доля часа ($\frac{1}{10}$), нужно общее количество минут умножить на эту долю (или разделить на 10).

Расчет:

$60 \text{ минут} \times \frac{1}{10} = \frac{60}{10} = 6 \text{ минут}$

Ответ: 6 минут.

в одной тридцатой доле часа?

Решение аналогично предыдущему. В одном часе 60 минут. Находим одну тридцатую долю ($\frac{1}{30}$) от этого времени.

Расчет:

$60 \text{ минут} \times \frac{1}{30} = \frac{60}{30} = 2 \text{ минуты}$

Ответ: 2 минуты.

в одной двадцать четвёртой доле суток?

Сначала определим, что такое одна двадцать четвёртая доля суток. В сутках 24 часа. Следовательно, одна двадцать четвёртая доля ($\frac{1}{24}$) от суток — это:

$24 \text{ часа} \times \frac{1}{24} = 1 \text{ час}$

Затем переводим часы в минуты, так как ответ требуется в минутах. В одном часе 60 минут.

Таким образом, в одной двадцать четвёртой доле суток содержится 60 минут.

Ответ: 60 минут.

8 Сколько миллиметров в половине сантиметра? в пятой части дециметра? в четверти метра? в тысячной доле километра?

в половине сантиметра
Чтобы найти, сколько миллиметров в половине сантиметра, нужно сначала вспомнить, сколько миллиметров в одном сантиметре.
В одном сантиметре содержится 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Половина сантиметра — это $\frac{1}{2}$ сантиметра или $0.5$ сантиметра.
Чтобы найти количество миллиметров, умножим $0.5$ см на 10:
$0.5 \text{ см} \times 10 = 5 \text{ мм}$.
Ответ: 5 мм.

в пятой части дециметра
Сначала определим, сколько миллиметров в одном дециметре.
В одном дециметре 10 сантиметров, а в каждом сантиметре — 10 миллиметров.
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 10 \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}$.
Пятая часть дециметра — это $\frac{1}{5}$ дециметра.
Чтобы найти искомое количество миллиметров, разделим 100 мм на 5:
$\frac{100 \text{ мм}}{5} = 20 \text{ мм}$.
Ответ: 20 мм.

в четверти метра
Сначала установим, сколько миллиметров в одном метре.
В одном метре 100 сантиметров, а в каждом сантиметре — 10 миллиметров. Также можно сказать, что в 1 метре 1000 миллиметров.
$1 \text{ м} = 100 \text{ см} = 100 \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}$.
Четверть метра — это $\frac{1}{4}$ метра.
Чтобы найти количество миллиметров в четверти метра, разделим 1000 мм на 4:
$\frac{1000 \text{ мм}}{4} = 250 \text{ мм}$.
Ответ: 250 мм.

в тысячной доле километра
Сначала вычислим, сколько миллиметров в одном километре.
В одном километре 1000 метров, а в каждом метре — 1000 миллиметров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 1000 \text{ мм} = 1\;000\;000 \text{ мм}$.
Тысячная доля километра — это $\frac{1}{1000}$ километра.
Чтобы найти количество миллиметров, разделим $1\;000\;000$ мм на 1000:
$\frac{1\;000\;000 \text{ мм}}{1000} = 1000 \text{ мм}$.
Ответ: 1000 мм.

9 Начерти три отрезка один под другим так, чтобы все они имели длину, меньшую чем 1 дм, а верхний отрезок был длиннее среднего на 4 см и короче нижнего на 3 см.

Найди два варианта решения.

Для решения задачи обозначим длину верхнего отрезка как $L_1$, среднего — как $L_2$, и нижнего — как $L_3$.

Сначала переведем единицы измерения: 1 дм = 10 см. По условию, длина каждого из трех отрезков должна быть меньше 10 см.

Из условия задачи нам известны следующие соотношения:

1. Верхний отрезок длиннее среднего на 4 см. Это можно записать в виде формулы: $L_1 = L_2 + 4$. Следовательно, длина среднего отрезка: $L_2 = L_1 - 4$.
2. Верхний отрезок короче нижнего на 3 см. Это можно записать в виде формулы: $L_1 = L_3 - 3$. Следовательно, длина нижнего отрезка: $L_3 = L_1 + 3$.

Мы видим, что длины среднего и нижнего отрезков зависят от длины верхнего. Найдем возможные значения для длины верхнего отрезка $L_1$.

• Так как длина любого отрезка должна быть больше нуля, то $L_2 > 0$. Из формулы $L_2 = L_1 - 4$ следует, что $L_1 - 4 > 0$, а значит $L_1 > 4$ см.
• Самый длинный из трех отрезков — нижний ($L_3 = L_1 + 3$). Его длина должна быть меньше 10 см. Значит, $L_1 + 3 < 10$, откуда получаем $L_1 < 7$ см.

Таким образом, длина верхнего отрезка $L_1$ должна быть больше 4 см, но меньше 7 см. Мы можем выбрать любые целые числа из этого промежутка, чтобы найти два варианта решения.

Вариант 1

Пусть длина верхнего отрезка $L_1 = 5$ см. Это значение удовлетворяет условию ($4 < 5 < 7$).

Теперь найдем длины остальных отрезков:

• Длина среднего отрезка: $L_2 = L_1 - 4 = 5 - 4 = 1$ см.
• Длина нижнего отрезка: $L_3 = L_1 + 3 = 5 + 3 = 8$ см.

Проверяем, все ли отрезки короче 10 см: 5 см, 1 см и 8 см — все меньше 10 см. Условия выполнены.

Ответ: Длины отрезков могут быть: верхний — 5 см, средний — 1 см, нижний — 8 см.

Вариант 2

Пусть длина верхнего отрезка $L_1 = 6$ см. Это значение также удовлетворяет условию ($4 < 6 < 7$).

Теперь найдем длины остальных отрезков:

• Длина среднего отрезка: $L_2 = L_1 - 4 = 6 - 4 = 2$ см.
• Длина нижнего отрезка: $L_3 = L_1 + 3 = 6 + 3 = 9$ см.

Проверяем, все ли отрезки короче 10 см: 6 см, 2 см и 9 см — все меньше 10 см. Условия выполнены.

Ответ: Длины отрезков могут быть: верхний — 6 см, средний — 2 см, нижний — 9 см.

10 Как нужно расставить скобки, чтобы запись стала верной?

$3248 : 16 - 3 \cdot 315 - 156 \cdot 2 = 600$

Чтобы данная запись стала верной, необходимо расставить скобки так, чтобы изменить стандартный порядок арифметических действий. Проанализировав выражение, можно прийти к правильному варианту расстановки скобок.

Правильная расстановка скобок: $(3248 : 16 - 3) \cdot (315 - 156 \cdot 2) = 600$.

Теперь проверим решение, выполнив действия по порядку:

1. Сначала выполняются действия в скобках. В первых скобках $(3248 : 16 - 3)$ первым действием является деление:
$3248 : 16 = 203$

2. Второе действие в первых скобках — вычитание:
$203 - 3 = 200$

3. Далее выполняем действия во вторых скобках $(315 - 156 \cdot 2)$. Первым действием будет умножение:
$156 \cdot 2 = 312$

4. Второе действие во вторых скобках — вычитание:
$315 - 312 = 3$

5. Последним действием является умножение результатов, полученных в скобках:
$200 \cdot 3 = 600$

В результате вычислений мы получили верное равенство: $600 = 600$.

Ответ: $(3248 : 16 - 3) \cdot (315 - 156 \cdot 2) = 600$.

11 Докажи, что сумма площадей зелёных фигур равна сумме площадей жёлтых фигур.

С помощью переноса с одного места на другое так, чтобы получить зелёная фигура, составленная из одинаковых четырёхугольников.

Для доказательства равенства площадей зелёных и жёлтых фигур можно использовать два способа: прямой подсчёт по клеткам (или по формулам) и визуальное преобразование.

Примем сторону одной клетки за 1 единицу (ед.). Тогда площадь одной клетки равна 1 квадратной единице (кв. ед.). Большой квадрат имеет стороны 8x8 ед., его общая площадь $S_{общ} = 8 \times 8 = 64$ кв. ед.

Разобьём фигуру на две части по горизонтальной линии: верхний и нижний прямоугольники, каждый размером 8x4 ед. и площадью $S_{прям} = 8 \times 4 = 32$ кв. ед.

1. Верхний прямоугольник (8x4). Он разделён на два квадрата 4x4, каждый из которых поделён диагональю на зелёный и жёлтый треугольники.
   Площадь каждого такого треугольника равна половине площади квадрата 4x4: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \times (4 \times 4) = 8$ кв. ед.
   В верхней части находятся два зелёных треугольника и два жёлтых.
   Сумма площадей зелёных фигур вверху: $S_{зел.верх} = 8 + 8 = 16$ кв. ед.
   Сумма площадей жёлтых фигур вверху: $S_{жёлт.верх} = 8 + 8 = 16$ кв. ед.

2. Нижний прямоугольник (8x4). Он разделён диагональю, идущей из левого верхнего угла этого прямоугольника в правый нижний. Такая диагональ делит прямоугольник на две фигуры равной площади.
   Ниже этой диагонали находится жёлтый треугольник с основанием 8 ед. и высотой 4 ед. Его площадь:
   $S_{жёлт.низ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ кв. ед.
   Выше диагонали находится зелёная фигура (состоящая из двух трапеций). Её площадь можно найти, вычтя площадь жёлтого треугольника из площади всего нижнего прямоугольника:
   $S_{зел.низ} = S_{прям} - S_{жёлт.низ} = 32 - 16 = 16$ кв. ед.

3. Общая площадь. Теперь сложим площади из верхней и нижней частей.
   Общая площадь зелёных фигур: $S_{зел.общ} = S_{зел.верх} + S_{зел.низ} = 16 + 16 = 32$ кв. ед.
   Общая площадь жёлтых фигур: $S_{жёлт.общ} = S_{жёлт.верх} + S_{жёлт.низ} = 16 + 16 = 32$ кв. ед.

Поскольку $32 = 32$, сумма площадей зелёных фигур равна сумме площадей жёлтых фигур.

Ответ: Сумма площадей зелёных фигур равна $32$ кв. ед., и сумма площадей жёлтых фигур равна $32$ кв. ед., следовательно, их площади равны.

Этот способ основан на визуальном анализе фигуры.

1. Рассмотрим верхнюю половину большого квадрата (прямоугольник 8x4). Она симметрично разделена на зелёные и жёлтые части. Два зелёных треугольника по площади в сумме очевидно равны двум жёлтым треугольникам. Каждая цветная область занимает ровно половину площади этого прямоугольника, то есть по $32 / 2 = 16$ кв. ед.

2. Рассмотрим нижнюю половину большого квадрата (прямоугольник 8x4). Диагональ, проведённая из левого верхнего угла в правый нижний, делит любой прямоугольник на два треугольника одинаковой площади. В нашем случае, область над диагональю (зелёная) и область под диагональю (жёлтая) должны иметь равные площади. Поскольку площадь всего нижнего прямоугольника равна 32 кв. ед., то площадь зелёной части равна $16$ кв. ед. и площадь жёлтой части также равна $16$ кв. ед.

3. Складывая результаты, получаем, что общая зелёная площадь равна $16 (\text{сверху}) + 16 (\text{снизу}) = 32$ кв. ед., а общая жёлтая площадь равна $16 (\text{сверху}) + 16 (\text{снизу}) = 32$ кв. ед.

Таким образом, общие площади фигур разного цвета равны, так как они состоят из соответственно равных частей.

Ответ: Так как в верхней и нижней частях квадрата площади зелёных и жёлтых фигур равны ($16$ кв. ед. в каждой), то и во всей фигуре их суммарные площади равны $32$ кв. ед., что и требовалось доказать.