Номер 11, страница 94, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

11 Докажи, что сумма площадей зелёных фигур равна сумме площадей жёлтых фигур.

С помощью переноса с одного места на другое так, чтобы получить зелёная фигура, составленная из одинаковых четырёхугольников.

Для доказательства равенства площадей зелёных и жёлтых фигур можно использовать два способа: прямой подсчёт по клеткам (или по формулам) и визуальное преобразование.

Примем сторону одной клетки за 1 единицу (ед.). Тогда площадь одной клетки равна 1 квадратной единице (кв. ед.). Большой квадрат имеет стороны 8x8 ед., его общая площадь $S_{общ} = 8 \times 8 = 64$ кв. ед.

Разобьём фигуру на две части по горизонтальной линии: верхний и нижний прямоугольники, каждый размером 8x4 ед. и площадью $S_{прям} = 8 \times 4 = 32$ кв. ед.

1. Верхний прямоугольник (8x4). Он разделён на два квадрата 4x4, каждый из которых поделён диагональю на зелёный и жёлтый треугольники.
   Площадь каждого такого треугольника равна половине площади квадрата 4x4: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \times (4 \times 4) = 8$ кв. ед.
   В верхней части находятся два зелёных треугольника и два жёлтых.
   Сумма площадей зелёных фигур вверху: $S_{зел.верх} = 8 + 8 = 16$ кв. ед.
   Сумма площадей жёлтых фигур вверху: $S_{жёлт.верх} = 8 + 8 = 16$ кв. ед.

2. Нижний прямоугольник (8x4). Он разделён диагональю, идущей из левого верхнего угла этого прямоугольника в правый нижний. Такая диагональ делит прямоугольник на две фигуры равной площади.
   Ниже этой диагонали находится жёлтый треугольник с основанием 8 ед. и высотой 4 ед. Его площадь:
   $S_{жёлт.низ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ кв. ед.
   Выше диагонали находится зелёная фигура (состоящая из двух трапеций). Её площадь можно найти, вычтя площадь жёлтого треугольника из площади всего нижнего прямоугольника:
   $S_{зел.низ} = S_{прям} - S_{жёлт.низ} = 32 - 16 = 16$ кв. ед.

3. Общая площадь. Теперь сложим площади из верхней и нижней частей.
   Общая площадь зелёных фигур: $S_{зел.общ} = S_{зел.верх} + S_{зел.низ} = 16 + 16 = 32$ кв. ед.
   Общая площадь жёлтых фигур: $S_{жёлт.общ} = S_{жёлт.верх} + S_{жёлт.низ} = 16 + 16 = 32$ кв. ед.

Поскольку $32 = 32$, сумма площадей зелёных фигур равна сумме площадей жёлтых фигур.

Ответ: Сумма площадей зелёных фигур равна $32$ кв. ед., и сумма площадей жёлтых фигур равна $32$ кв. ед., следовательно, их площади равны.

Этот способ основан на визуальном анализе фигуры.

1. Рассмотрим верхнюю половину большого квадрата (прямоугольник 8x4). Она симметрично разделена на зелёные и жёлтые части. Два зелёных треугольника по площади в сумме очевидно равны двум жёлтым треугольникам. Каждая цветная область занимает ровно половину площади этого прямоугольника, то есть по $32 / 2 = 16$ кв. ед.

2. Рассмотрим нижнюю половину большого квадрата (прямоугольник 8x4). Диагональ, проведённая из левого верхнего угла в правый нижний, делит любой прямоугольник на два треугольника одинаковой площади. В нашем случае, область над диагональю (зелёная) и область под диагональю (жёлтая) должны иметь равные площади. Поскольку площадь всего нижнего прямоугольника равна 32 кв. ед., то площадь зелёной части равна $16$ кв. ед. и площадь жёлтой части также равна $16$ кв. ед.

3. Складывая результаты, получаем, что общая зелёная площадь равна $16 (\text{сверху}) + 16 (\text{снизу}) = 32$ кв. ед., а общая жёлтая площадь равна $16 (\text{сверху}) + 16 (\text{снизу}) = 32$ кв. ед.

Таким образом, общие площади фигур разного цвета равны, так как они состоят из соответственно равных частей.

Ответ: Так как в верхней и нижней частях квадрата площади зелёных и жёлтых фигур равны ($16$ кв. ед. в каждой), то и во всей фигуре их суммарные площади равны $32$ кв. ед., что и требовалось доказать.