Страница 91, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

15. Скорый поезд прошёл 320 км со скоростью 80 км/ч. Товарный поезд прошёл за это же время 200 км. С какой скоростью шёл товарный поезд?

Для того чтобы найти скорость товарного поезда, необходимо сначала определить время, которое он находился в пути. По условию, это время равно времени движения скорого поезда.

1. Найдём время, которое поезда были в пути.

Время движения можно вычислить по данным скорого поезда, используя формулу $t = S / v$, где $t$ – время, $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Расстояние, пройденное скорым поездом, $S_1 = 320$ км.

Скорость скорого поезда, $v_1 = 80$ км/ч.

$t = 320 / 80 = 4$ часа.

Таким образом, оба поезда были в пути 4 часа.

2. Найдём скорость товарного поезда.

Теперь, зная время движения ($t = 4$ часа) и расстояние, которое прошёл товарный поезд ($S_2 = 200$ км), мы можем найти его скорость ($v_2$), используя ту же формулу, но выраженную для скорости: $v = S / t$.

$v_2 = 200 / 4 = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

16. Сравни, не проводя вычислений полностью. Объясни, какие свойства действий можно использовать для сравнения значений выражений.

$500 \cdot 3 + 500 \cdot 2$ $500 \cdot 4$

$81 : 9 + 45 : 9$ $126 : 9$

$140 \cdot 4 - 140 \cdot 2$ $140 \cdot 2$

$125 \cdot 6 - 125 \cdot 2$ $125 \cdot 3$

$500 \cdot 3 + 500 \cdot 2 \bigcirc 500 \cdot 4$
Для сравнения этих выражений используется распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Применим это свойство к левой части, вынеся общий множитель 500 за скобки: $500 \cdot 3 + 500 \cdot 2 = 500 \cdot (3 + 2) = 500 \cdot 5$. Теперь необходимо сравнить полученное выражение $500 \cdot 5$ с выражением $500 \cdot 4$ в правой части. Так как первые множители в обоих выражениях одинаковы, а второй множитель слева (5) больше второго множителя справа (4), то и значение выражения слева будет больше. Поскольку $5 > 4$, то $500 \cdot 5 > 500 \cdot 4$.
Ответ: $500 \cdot 3 + 500 \cdot 2 > 500 \cdot 4$

$81 : 9 + 45 : 9 \bigcirc 126 : 9$
Для сравнения воспользуемся свойством деления суммы на число: $(a + b) : c = a : c + b : c$. Применим это свойство к левой части выражения в обратном порядке: $81 : 9 + 45 : 9 = (81 + 45) : 9$. Вычислив сумму в скобках, получим: $(81 + 45) : 9 = 126 : 9$. Полученное выражение в левой части полностью совпадает с выражением в правой части.
Ответ: $81 : 9 + 45 : 9 = 126 : 9$

$140 \cdot 4 - 140 \cdot 2 \bigcirc 140 \cdot 2$
В этом случае применяется распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$. Преобразуем левую часть, вынеся за скобки общий множитель 140: $140 \cdot 4 - 140 \cdot 2 = 140 \cdot (4 - 2) = 140 \cdot 2$. Полученное выражение идентично выражению в правой части.
Ответ: $140 \cdot 4 - 140 \cdot 2 = 140 \cdot 2$

$125 \cdot 6 - 125 \cdot 2 \bigcirc 125 \cdot 3$
Здесь также используется распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$. Вынесем общий множитель 125 за скобки в левой части: $125 \cdot 6 - 125 \cdot 2 = 125 \cdot (6 - 2) = 125 \cdot 4$. Теперь сравним результат $125 \cdot 4$ с выражением $125 \cdot 3$ в правой части. Поскольку первые множители одинаковы (125), а второй множитель в преобразованном левом выражении (4) больше второго множителя в правом выражении (3), то и значение выражения слева будет больше. Так как $4 > 3$, то $125 \cdot 4 > 125 \cdot 3$.
Ответ: $125 \cdot 6 - 125 \cdot 2 > 125 \cdot 3$

17. Расставь скобки так, чтобы получились верные записи.

$549 - 420 : 3 - 1 = 410$

$549 - 420 : 3 - 1 = 339$

$549 - 420 : 3 - 1 = 42$

$800 : 5 + 3 \cdot 5 = 500$

$800 : 5 + 3 \cdot 5 = 40$

$800 : 5 + 3 \cdot 5 = 815$

549 − 420 : 3 − 1 = 410

Чтобы получить верное равенство, необходимо изменить порядок действий с помощью скобок. Расставим скобки следующим образом:

$549 - (420 : 3 - 1)$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках (деление): $420 : 3 = 140$.

2. Затем второе действие в скобках (вычитание): $140 - 1 = 139$.

3. Последним действием выполняем вычитание: $549 - 139 = 410$.

Равенство верно: $410 = 410$.

Ответ: $549 - (420 : 3 - 1) = 410$.

549 − 420 : 3 − 1 = 339

Расставим скобки следующим образом:

$549 - 420 : (3 - 1)$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках: $3 - 1 = 2$.

2. Затем выполняем деление: $420 : 2 = 210$.

3. Последним действием выполняем вычитание: $549 - 210 = 339$.

Равенство верно: $339 = 339$.

Ответ: $549 - 420 : (3 - 1) = 339$.

549 − 420 : 3 − 1 = 42

Расставим скобки следующим образом:

$(549 - 420) : 3 - 1$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках: $549 - 420 = 129$.

2. Затем выполняем деление: $129 : 3 = 43$.

3. Последним действием выполняем вычитание: $43 - 1 = 42$.

Равенство верно: $42 = 42$.

Ответ: $(549 - 420) : 3 - 1 = 42$.

800 : 5 + 3 ⋅ 5 = 500

Расставим скобки следующим образом:

$800 : (5 + 3) \cdot 5$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем действие в скобках: $5 + 3 = 8$.

2. Затем выполняем деление: $800 : 8 = 100$.

3. Последним действием выполняем умножение: $100 \cdot 5 = 500$.

Равенство верно: $500 = 500$.

Ответ: $800 : (5 + 3) \cdot 5 = 500$.

800 : 5 + 3 ⋅ 5 = 40

Расставим скобки следующим образом:

$800 : (5 + 3 \cdot 5)$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем умножение в скобках: $3 \cdot 5 = 15$.

2. Затем выполняем сложение в скобках: $5 + 15 = 20$.

3. Последним действием выполняем деление: $800 : 20 = 40$.

Равенство верно: $40 = 40$.

Ответ: $800 : (5 + 3 \cdot 5) = 40$.

800 : 5 + 3 ⋅ 5 = 815

Расставим скобки следующим образом:

$(800 : 5 + 3) \cdot 5$

Проверим порядок действий:

1. Сначала выполняем деление в скобках: $800 : 5 = 160$.

2. Затем выполняем сложение в скобках: $160 + 3 = 163$.

3. Последним действием выполняем умножение: $163 \cdot 5 = 815$.

Равенство верно: $815 = 815$.

Ответ: $(800 : 5 + 3) \cdot 5 = 815$.

18. Среди данных треугольников найди равнобедренные. Назови их обозначения. Есть ли на чертеже равносторонние треугольники? А разносторонние? Если есть, запиши их обозначения.

Равнобедренные:

$\triangle PRO$

Равносторонние:

Нет

Разносторонние:

$\triangle NLD$, $\triangle KSA$, $\triangle CEF$

Сколько прямых углов на чертеже? Запиши их обозначения.

Прямые углы:

$\angle NLD$, $\angle KSA$

Среди данных треугольников найди равнобедренные. Назови их обозначения.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. На чертеже треугольник PRO выглядит так, что его стороны PO и RO равны, что делает его равнобедренным. Кроме того, он выглядит равносторонним, а любой равносторонний треугольник также является и равнобедренным.
Ответ: PRO.

Есть ли на чертеже равносторонние треугольники?

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Визуально, у треугольника PRO все три стороны (PR, RO и OP) имеют одинаковую длину, следовательно, он является равносторонним.
Ответ: Да, треугольник PRO — равносторонний.

А разносторонние? Если есть, запиши их обозначения.

Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. На чертеже можно выделить три таких треугольника, у которых все стороны визуально отличаются по длине: NLD, KAS и CEF.
Ответ: NLD, KAS, CEF.

Сколько прямых углов на чертеже? Запиши их обозначения.

Прямой угол — это угол, равный $90^\circ$. На чертеже можно найти два угла, которые выглядят как прямые:

1. Угол при вершине A в треугольнике KAS.
2. Угол при вершине E в треугольнике CEF.

Таким образом, на чертеже 2 прямых угла.
Ответ: 2 прямых угла: $\angle KAS$ и $\angle CEF$.

19. Огород прямоугольной формы надо обнести сеткой-рабицей. Длина огорода 250 м, ширина 155 м. На расстоянии 5 м вбивают по 3 столба. Сколько столбов потребуется для этой изгороди?

Для решения этой задачи сначала необходимо вычислить периметр огорода. Периметр прямоугольника находится по формуле $P = 2 \times (a + b)$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина.

Подставим известные значения длины и ширины огорода в формулу:

$P = 2 \times (250 \text{ м} + 155 \text{ м}) = 2 \times 405 \text{ м} = 810 \text{ м}$

Таким образом, общая длина изгороди составляет 810 метров.

По условию, группы из трех столбов вбивают на расстоянии 5 метров друг от друга. Чтобы найти количество таких групп по всему периметру, нужно общую длину изгороди разделить на расстояние между группами:

Количество групп столбов = $810 \text{ м} \div 5 \text{ м} = 162$

Следовательно, для изгороди потребуется 162 группы столбов.

Так как в каждой группе находится по 3 столба, то для нахождения общего количества столбов необходимо умножить количество групп на число столбов в одной группе:

Общее количество столбов = $162 \times 3 = 486$

Ответ: 486 столбов.

7 Из Москвы в 8 ч утра отправился поезд со скоростью 58 км/ч. В 11 ч утра вслед за ним отправился другой поезд со скоростью 64 км/ч. На каком расстоянии друг от друга эти поезда будут в 3 ч дня?

Для решения задачи необходимо определить, какое расстояние проедет каждый поезд к 3 часам дня, а затем найти разницу между этими расстояниями.

1. Сначала найдем, сколько времени будет находиться в пути первый поезд, который отправился в 8 часов утра, до 15:00 (3 часа дня).
$t_1 = 15 - 8 = 7$ часов.

2. Теперь рассчитаем расстояние, которое пройдет первый поезд за это время. Его скорость 58 км/ч.
$S_1 = v_1 \times t_1 = 58 \text{ км/ч} \times 7 \text{ ч} = 406 \text{ км}$.

3. Далее найдем, сколько времени будет находиться в пути второй поезд, который отправился в 11 часов утра, до 15:00.
$t_2 = 15 - 11 = 4$ часа.

4. Рассчитаем расстояние, которое пройдет второй поезд за это время. Его скорость 64 км/ч.
$S_2 = v_2 \times t_2 = 64 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 256 \text{ км}$.

5. Так как поезда движутся в одном направлении из одной точки, расстояние между ними будет равно разности расстояний, которые они проехали.
$\Delta S = S_1 - S_2 = 406 \text{ км} - 256 \text{ км} = 150 \text{ км}$.

Ответ: в 3 часа дня поезда будут на расстоянии 150 км друг от друга.

8 Вычисли значения выражений и запиши их в порядке убывания.

$6\ 000 - 893$

$40\ 000 - 39\ 060$

$70\ 600 - 69\ 095$

$9\ 000 - 1\ 050$

$50\ 000 - 48\ 980$

$821\ 002 - 819\ 004$

Для выполнения задания необходимо сначала вычислить значения всех выражений, а затем записать полученные результаты в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему).

6 000 - 893

Вычисляем разность: $6000 - 893 = 5107$.

Ответ: 5107

9 000 - 1 050

Вычисляем разность: $9000 - 1050 = 7950$.

Ответ: 7950

40 000 - 39 060

Вычисляем разность: $40000 - 39060 = 940$.

Ответ: 940

50 000 - 48 980

Вычисляем разность: $50000 - 48980 = 1020$.

Ответ: 1020

70 600 - 69 095

Вычисляем разность: $70600 - 69095 = 1505$.

Ответ: 1505

821 002 - 819 004

Вычисляем разность: $821002 - 819004 = 1998$.

Ответ: 1998

Запись значений в порядке убывания

Мы получили следующие значения: 5107, 7950, 940, 1020, 1505, 1998.

Теперь расположим эти числа в порядке убывания, сравнивая их между собой:

$7950 > 5107 > 1998 > 1505 > 1020 > 940$

Записываем их в нужной последовательности.

Ответ: 7950, 5107, 1998, 1505, 1020, 940.

9 Слепи из пластилина модель шара. Разрежь её на две части, как показано на рисунке:

Какая фигура получилась в разрезе (сечении)? Можно ли модель шара разрезать одним махом так, чтобы в сечении получился квадрат? треугольник? многоугольник?

Какая фигура получилась в разрезе (сечении)?
Когда шар разрезают ножом, срез представляет собой сечение шара плоскостью. Любое сечение шара плоскостью всегда является кругом. Если плоскость проходит через центр шара, то в сечении образуется самый большой возможный круг, который называется большим кругом. Если плоскость не касается центра, сечение также будет кругом, но меньшего радиуса.
Ответ: В разрезе (сечении) получился круг.

Можно ли модель шара разрезать одним махом так, чтобы в сечении получился квадрат? треугольник? многоугольник?
Разрез «одним махом» подразумевает один прямой разрез, то есть сечение тела одной плоскостью. Как указано выше, сечение шара плоскостью — это всегда круг. Рассмотрим предложенные фигуры:
Квадрат, треугольник, многоугольник: Все эти фигуры являются многоугольниками, то есть фигурами, стороны которых — прямые отрезки. Круг, который получается в сечении шара, ограничен кривой линией (окружностью) и не имеет ни одной прямой стороны. Следовательно, получить в сечении шара квадрат, треугольник или любой другой многоугольник при помощи одного прямого разреза невозможно.
Ответ: Нет, нельзя. При разрезании шара одним прямым разрезом в сечении всегда будет получаться только круг, но не квадрат, треугольник или другой многоугольник.

10 На рынок привезли 1 т фруктов: яблоки в ящиках по 48 кг, груши в ящиках по 20 кг, сливы в коробках по 14 кг и вишни в коробках по 10 кг. При этом яблок привезли в 2 раза больше, чем груш, а вишни столько же, сколько слив. Сколько фруктов каждого вида привезли на рынок?

Для решения задачи сначала переведем общую массу привезенных фруктов в килограммы: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

Введем переменные. Пусть на рынок привезли:

• $x$ кг груш.
• Так как яблок привезли в 2 раза больше, чем груш, то масса яблок составляет $2x$ кг.
• $y$ кг слив.
• Так как вишни привезли столько же, сколько слив, то масса вишни также составляет $y$ кг.

Суммарная масса всех фруктов равна 1000 кг. Составим уравнение:

$x + 2x + y + y = 1000$

$3x + 2y = 1000$

Теперь учтем условия, связанные с упаковкой. Масса каждого вида фруктов должна быть кратна весу одного ящика или коробки:

• Масса яблок ($2x$) должна быть кратна 48. Это значит, что $2x$ делится на 48, или $x$ делится на 24.
• Масса груш ($x$) должна быть кратна 20.
• Масса слив ($y$) должна быть кратна 14.
• Масса вишни ($y$) должна быть кратна 10.

Из этих условий следует, что:

1. Переменная $x$ должна быть кратна одновременно 20 и 24. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:

$\text{НОК}(20, 24) = \text{НОК}(2^2 \cdot 5, 2^3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Следовательно, $x$ должен быть кратен 120. Можно записать как $x = 120k$, где $k$ — натуральное число (количество партий по 120 кг).

2. Переменная $y$ должна быть кратна одновременно 14 и 10. Найдем НОК этих чисел:

$\text{НОК}(14, 10) = \text{НОК}(2 \cdot 7, 2 \cdot 5) = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Следовательно, $y$ должен быть кратен 70. Можно записать как $y = 70m$, где $m$ — натуральное число.

Подставим выражения для $x$ и $y$ в наше основное уравнение:

$3(120k) + 2(70m) = 1000$

$360k + 140m = 1000$

Разделим обе части уравнения на 20, чтобы упростить его:

$18k + 7m = 50$

Теперь подберем натуральные числа $k$ и $m$, которые удовлетворяют этому уравнению. Так как $k$ и $m$ должны быть больше нуля, проверим возможные значения для $k$:

• Если $k=1$, то $18 \cdot 1 + 7m = 50 \implies 7m = 32$. $32$ не делится на 7, решение не подходит.
• Если $k=2$, то $18 \cdot 2 + 7m = 50 \implies 36 + 7m = 50 \implies 7m = 14 \implies m=2$. Это решение подходит.
• Если $k \geq 3$, то $18k \geq 54$, что уже больше 50. Значит, других решений в натуральных числах нет.

Таким образом, мы нашли единственное решение: $k=2$ и $m=2$.

Теперь можем вычислить массу каждого вида фруктов:

Груши:
Масса груш $x = 120k = 120 \cdot 2 = 240$ кг.
Проверка: $240 \text{ кг} / 20 \text{ кг/ящик} = 12$ ящиков.
Ответ: привезли 240 кг груш.

Яблоки:
Масса яблок $2x = 2 \cdot 240 = 480$ кг.
Проверка: $480 \text{ кг} / 48 \text{ кг/ящик} = 10$ ящиков.
Ответ: привезли 480 кг яблок.

Сливы:
Масса слив $y = 70m = 70 \cdot 2 = 140$ кг.
Проверка: $140 \text{ кг} / 14 \text{ кг/коробка} = 10$ коробок.
Ответ: привезли 140 кг слив.

Вишни:
Масса вишни равна массе слив, то есть $y = 140$ кг.
Проверка: $140 \text{ кг} / 10 \text{ кг/коробка} = 14$ коробок.
Ответ: привезли 140 кг вишни.

1 Заполни пропуски в таблице.

Собственная скорость

$24 \text{ км/ч}$

$50 \text{ км/ч}$

Скорость течения реки

$3 \text{ км/ч}$

Скорость по течению

$52 \text{ км/ч}$

Скорость против течения

$19 \text{ км/ч}$

$34 \text{ км/ч}$

Для решения этой задачи воспользуемся следующими формулами, связывающими собственную скорость объекта ($V_{соб}$), скорость течения реки ($V_{теч}$), скорость по течению ($V_{по}$) и скорость против течения ($V_{против}$):
Скорость по течению: $V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$
Скорость против течения: $V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$
Из этих формул можно выразить другие величины:
$V_{теч} = V_{по} - V_{соб}$
$V_{теч} = V_{соб} - V_{против}$
$V_{соб} = V_{против} + V_{теч}$

Первый столбец (парусник)

В этом столбце известны собственная скорость и скорость против течения. Нам нужно найти скорость течения реки и скорость по течению.
Дано:
Собственная скорость: $V_{соб} = 24$ км/ч
Скорость против течения: $V_{против} = 19$ км/ч

1. Найдём скорость течения реки, вычтя из собственной скорости скорость против течения:
$V_{теч} = V_{соб} - V_{против} = 24 \text{ км/ч} - 19 \text{ км/ч} = 5$ км/ч.

2. Теперь найдём скорость по течению, прибавив к собственной скорости скорость течения:
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч} = 24 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 29$ км/ч.

Ответ: Скорость течения реки — 5 км/ч, скорость по течению — 29 км/ч.

Второй столбец (теплоход)

В этом столбце известны собственная скорость и скорость по течению. Нам нужно найти скорость течения реки и скорость против течения.
Дано:
Собственная скорость: $V_{соб} = 50$ км/ч
Скорость по течению: $V_{по} = 52$ км/ч

1. Найдём скорость течения реки, вычтя из скорости по течению собственную скорость:
$V_{теч} = V_{по} - V_{соб} = 52 \text{ км/ч} - 50 \text{ км/ч} = 2$ км/ч.

2. Теперь найдём скорость против течения, вычтя из собственной скорости скорость течения:
$V_{против} = V_{соб} - V_{теч} = 50 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 48$ км/ч.

Ответ: Скорость течения реки — 2 км/ч, скорость против течения — 48 км/ч.

Третий столбец (катер)

В этом столбце известны скорость течения реки и скорость против течения. Нам нужно найти собственную скорость и скорость по течению.
Дано:
Скорость течения реки: $V_{теч} = 3$ км/ч
Скорость против течения: $V_{против} = 34$ км/ч

1. Найдём собственную скорость, прибавив к скорости против течения скорость течения:
$V_{соб} = V_{против} + V_{теч} = 34 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 37$ км/ч.

2. Теперь найдём скорость по течению, прибавив к найденной собственной скорости скорость течения:
$V_{по} = V_{соб} + V_{теч} = 37 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 40$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость — 37 км/ч, скорость по течению — 40 км/ч.