Номер 10, страница 91, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 На рынок привезли 1 т фруктов: яблоки в ящиках по 48 кг, груши в ящиках по 20 кг, сливы в коробках по 14 кг и вишни в коробках по 10 кг. При этом яблок привезли в 2 раза больше, чем груш, а вишни столько же, сколько слив. Сколько фруктов каждого вида привезли на рынок?

Для решения задачи сначала переведем общую массу привезенных фруктов в килограммы: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

Введем переменные. Пусть на рынок привезли:

• $x$ кг груш.
• Так как яблок привезли в 2 раза больше, чем груш, то масса яблок составляет $2x$ кг.
• $y$ кг слив.
• Так как вишни привезли столько же, сколько слив, то масса вишни также составляет $y$ кг.

Суммарная масса всех фруктов равна 1000 кг. Составим уравнение:

$x + 2x + y + y = 1000$

$3x + 2y = 1000$

Теперь учтем условия, связанные с упаковкой. Масса каждого вида фруктов должна быть кратна весу одного ящика или коробки:

• Масса яблок ($2x$) должна быть кратна 48. Это значит, что $2x$ делится на 48, или $x$ делится на 24.
• Масса груш ($x$) должна быть кратна 20.
• Масса слив ($y$) должна быть кратна 14.
• Масса вишни ($y$) должна быть кратна 10.

Из этих условий следует, что:

1. Переменная $x$ должна быть кратна одновременно 20 и 24. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:

$\text{НОК}(20, 24) = \text{НОК}(2^2 \cdot 5, 2^3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Следовательно, $x$ должен быть кратен 120. Можно записать как $x = 120k$, где $k$ — натуральное число (количество партий по 120 кг).

2. Переменная $y$ должна быть кратна одновременно 14 и 10. Найдем НОК этих чисел:

$\text{НОК}(14, 10) = \text{НОК}(2 \cdot 7, 2 \cdot 5) = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Следовательно, $y$ должен быть кратен 70. Можно записать как $y = 70m$, где $m$ — натуральное число.

Подставим выражения для $x$ и $y$ в наше основное уравнение:

$3(120k) + 2(70m) = 1000$

$360k + 140m = 1000$

Разделим обе части уравнения на 20, чтобы упростить его:

$18k + 7m = 50$

Теперь подберем натуральные числа $k$ и $m$, которые удовлетворяют этому уравнению. Так как $k$ и $m$ должны быть больше нуля, проверим возможные значения для $k$:

• Если $k=1$, то $18 \cdot 1 + 7m = 50 \implies 7m = 32$. $32$ не делится на 7, решение не подходит.
• Если $k=2$, то $18 \cdot 2 + 7m = 50 \implies 36 + 7m = 50 \implies 7m = 14 \implies m=2$. Это решение подходит.
• Если $k \geq 3$, то $18k \geq 54$, что уже больше 50. Значит, других решений в натуральных числах нет.

Таким образом, мы нашли единственное решение: $k=2$ и $m=2$.

Теперь можем вычислить массу каждого вида фруктов:

Груши:
Масса груш $x = 120k = 120 \cdot 2 = 240$ кг.
Проверка: $240 \text{ кг} / 20 \text{ кг/ящик} = 12$ ящиков.
Ответ: привезли 240 кг груш.

Яблоки:
Масса яблок $2x = 2 \cdot 240 = 480$ кг.
Проверка: $480 \text{ кг} / 48 \text{ кг/ящик} = 10$ ящиков.
Ответ: привезли 480 кг яблок.

Сливы:
Масса слив $y = 70m = 70 \cdot 2 = 140$ кг.
Проверка: $140 \text{ кг} / 14 \text{ кг/коробка} = 10$ коробок.
Ответ: привезли 140 кг слив.

Вишни:
Масса вишни равна массе слив, то есть $y = 140$ кг.
Проверка: $140 \text{ кг} / 10 \text{ кг/коробка} = 14$ коробок.
Ответ: привезли 140 кг вишни.