Страница 90, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

6. Вычисли значения выражений.

$25 \cdot 4 \cdot 10$

$25 \cdot 4 : 10$

$25 + 4 \cdot 10$

$750 : 10 : 5$

$750 : (10 : 5)$

$750 : (10 \cdot 5)$

$800 : 800 \cdot 100$

$800 : (800 : 100)$

$(800 - 800) : 100$

$240 : 20 + 10$

$240 : (20 + 10)$

$(240 - 20) : 10$

25 · 4 · 10
В данном выражении все действия (умножение) имеют одинаковый приоритет, поэтому вычисляем по порядку слева направо. Сначала умножаем 25 на 4, получаем 100. Затем результат 100 умножаем на 10.
$25 \cdot 4 \cdot 10 = 100 \cdot 10 = 1000$.
Ответ: 1000

25 · 4 : 10
Действия умножения и деления имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо. Сначала умножаем 25 на 4, получаем 100. Затем результат 100 делим на 10.
$25 \cdot 4 : 10 = 100 : 10 = 10$.
Ответ: 10

25 + 4 · 10
Согласно порядку действий, сначала выполняется умножение, а затем сложение. Сначала умножаем 4 на 10, получаем 40. Затем к 25 прибавляем 40.
$25 + 4 \cdot 10 = 25 + 40 = 65$.
Ответ: 65

750 : 10 : 5
В данном выражении все действия (деление) имеют одинаковый приоритет, поэтому вычисляем по порядку слева направо. Сначала делим 750 на 10, получаем 75. Затем результат 75 делим на 5.
$750 : 10 : 5 = 75 : 5 = 15$.
Ответ: 15

750 : (10 : 5)
Первым действием выполняется операция в скобках. Делим 10 на 5, получаем 2. Затем 750 делим на полученный результат.
$750 : (10 : 5) = 750 : 2 = 375$.
Ответ: 375

750 : (10 · 5)
Первым действием выполняется операция в скобках. Умножаем 10 на 5, получаем 50. Затем 750 делим на полученный результат.
$750 : (10 \cdot 5) = 750 : 50 = 15$.
Ответ: 15

800 : 800 · 100
Действия деления и умножения имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо. Сначала делим 800 на 800, получаем 1. Затем результат 1 умножаем на 100.
$800 : 800 \cdot 100 = 1 \cdot 100 = 100$.
Ответ: 100

800 : (800 : 100)
Первым действием выполняется операция в скобках. Делим 800 на 100, получаем 8. Затем 800 делим на полученный результат.
$800 : (800 : 100) = 800 : 8 = 100$.
Ответ: 100

(800 − 800) : 100
Первым действием выполняется операция в скобках. Вычитаем 800 из 800, получаем 0. Затем 0 делим на 100.
$(800 - 800) : 100 = 0 : 100 = 0$.
Ответ: 0

240 : 20 + 10
Согласно порядку действий, сначала выполняется деление, а затем сложение. Сначала делим 240 на 20, получаем 12. Затем к 12 прибавляем 10.
$240 : 20 + 10 = 12 + 10 = 22$.
Ответ: 22

240 : (20 + 10)
Первым действием выполняется операция в скобках. Складываем 20 и 10, получаем 30. Затем 240 делим на полученный результат.
$240 : (20 + 10) = 240 : 30 = 8$.
Ответ: 8

(240 − 20) : 10
Первым действием выполняется операция в скобках. Вычитаем 20 из 240, получаем 220. Затем 220 делим на 10.
$(240 - 20) : 10 = 220 : 10 = 22$.
Ответ: 22

7. Выполни вычисления.

$106 \cdot 8$

$127 \cdot 5$

$208 \cdot 3$

$456 : 3$

$504 : 9$

$376 : 8$

$25 \cdot 4 \cdot 9$

$91 : 7 \cdot 8$

$68 : 4 \cdot 10$

$120 \cdot 5 : 3$

$560 : 8 \cdot 5$

$240 : 6 \cdot 7$

$720 : (360 : 9 - 20)$

$(570 : 3 - 100) \cdot 4$

$850 : 50 \cdot (210 : 7)$

106 · 8
Для вычисления произведения $106 \cdot 8$ можно умножить 106 на 8 по разрядам. Сначала умножаем сотни: $100 \cdot 8 = 800$. Затем умножаем единицы: $6 \cdot 8 = 48$. Складываем полученные результаты: $800 + 48 = 848$.
$106 \cdot 8 = (100 + 6) \cdot 8 = 100 \cdot 8 + 6 \cdot 8 = 800 + 48 = 848$.
Ответ: 848

127 · 5
Чтобы умножить 127 на 5, представим 127 в виде суммы разрядных слагаемых: $127 = 100 + 20 + 7$. Теперь умножим каждое слагаемое на 5 и сложим результаты.
$127 \cdot 5 = (100 + 20 + 7) \cdot 5 = 100 \cdot 5 + 20 \cdot 5 + 7 \cdot 5 = 500 + 100 + 35 = 635$.
Ответ: 635

208 · 3
Умножим 208 на 3, используя распределительное свойство умножения.
$208 \cdot 3 = (200 + 8) \cdot 3 = 200 \cdot 3 + 8 \cdot 3 = 600 + 24 = 624$.
Ответ: 624

456 : 3
Чтобы разделить 456 на 3, можно разложить 456 на сумму удобных слагаемых, которые делятся на 3. Например, $456 = 300 + 150 + 6$.
$456 : 3 = (300 + 150 + 6) : 3 = 300:3 + 150:3 + 6:3 = 100 + 50 + 2 = 152$.
Ответ: 152

504 : 9
Разделим 504 на 9. Представим 504 в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на 9, например, $504 = 450 + 54$.
$504 : 9 = (450 + 54) : 9 = 450:9 + 54:9 = 50 + 6 = 56$.
Ответ: 56

376 : 8
Для деления 376 на 8, представим 376 в виде суммы удобных слагаемых: $376 = 320 + 56$.
$376 : 8 = (320 + 56) : 8 = 320:8 + 56:8 = 40 + 7 = 47$.
Ответ: 47

25 · 4 · 9
В этом выражении удобно сначала перемножить 25 и 4, так как их произведение равно 100.
1) $25 \cdot 4 = 100$.
2) $100 \cdot 9 = 900$.
Таким образом, $(25 \cdot 4) \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$.
Ответ: 900

91 : 7 · 8
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) Сначала деление: $91 : 7 = 13$.
2) Затем умножение: $13 \cdot 8 = 104$.
Ответ: 104

68 : 4 · 10
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) Сначала деление: $68 : 4 = 17$.
2) Затем умножение: $17 \cdot 10 = 170$.
Ответ: 170

120 · 5 : 3
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) Сначала умножение: $120 \cdot 5 = 600$.
2) Затем деление: $600 : 3 = 200$.
Можно было изменить порядок действий для удобства: $120 : 3 \cdot 5 = 40 \cdot 5 = 200$.
Ответ: 200

560 : 8 · 5
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) Сначала деление: $560 : 8 = 70$.
2) Затем умножение: $70 \cdot 5 = 350$.
Ответ: 350

240 : 6 · 7
Выполняем действия по порядку, слева направо.
1) Сначала деление: $240 : 6 = 40$.
2) Затем умножение: $40 \cdot 7 = 280$.
Ответ: 280

720 : (360 : 9 - 20)
Согласно порядку действий, сначала выполняем вычисления в скобках. В скобках первым действием является деление.
1) $360 : 9 = 40$.
2) $40 - 20 = 20$.
Теперь выполним деление за скобками.
3) $720 : 20 = 36$.
Ответ: 36

(570 : 3 - 100) · 4
Сначала выполняем действия в скобках, начиная с деления.
1) $570 : 3 = 190$.
2) $190 - 100 = 90$.
Теперь результат, полученный в скобках, умножаем на 4.
3) $90 \cdot 4 = 360$.
Ответ: 360

850 : 50 · (210 : 7)
Порядок действий: сначала вычисление в скобках, затем остальные действия по порядку слева направо.
1) Выполняем деление в скобках: $210 : 7 = 30$.
2) Выполняем деление слева: $850 : 50 = 17$.
3) Выполняем умножение: $17 \cdot 30 = 510$.
Ответ: 510

8. Вычисли удобным способом.

$35 \cdot (2 \cdot 9)$

$720 : (6 \cdot 4)$

$8 \cdot (4 \cdot 25)$

$50 \cdot (7 \cdot 2)$

35 ⋅ (2 ⋅ 9)

Чтобы вычислить это выражение удобным способом, воспользуемся сочетательным свойством умножения: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Мы можем изменить порядок действий, чтобы получить числа, которые легче умножать.

Сгруппируем множители 35 и 2, так как их произведение — круглое число:

$(35 \cdot 2) \cdot 9 = 70 \cdot 9$

Теперь легко вычислить конечный результат:

$70 \cdot 9 = 630$

Ответ: 630

720 : (6 ⋅ 4)

Для удобного вычисления воспользуемся свойством деления числа на произведение: $a : (b \cdot c) = (a : b) : c$. Это позволяет разделить число 720 последовательно на каждый из множителей.

Сначала разделим 720 на 6:

$720 : 6 = 120$

Затем полученный результат разделим на 4:

$120 : 4 = 30$

Ответ: 30

8 ⋅ (4 ⋅ 25)

В данном случае самый удобный способ — сначала выполнить умножение в скобках, так как произведение 4 и 25 дает круглое число 100.

Вычислим произведение в скобках:

$4 \cdot 25 = 100$

Теперь умножим 8 на полученный результат, что очень просто:

$8 \cdot 100 = 800$

Ответ: 800

50 ⋅ (7 ⋅ 2)

Здесь удобнее всего использовать сочетательное и переместительное свойства умножения, чтобы сгруппировать 50 и 2.

Применим переместительное свойство внутри скобок: $7 \cdot 2 = 2 \cdot 7$.

$50 \cdot (2 \cdot 7)$

Теперь применим сочетательное свойство, чтобы умножить 50 на 2 в первую очередь:

$(50 \cdot 2) \cdot 7 = 100 \cdot 7$

Умножить на 100 очень легко:

$100 \cdot 7 = 700$

Ответ: 700

9. На одном складе было 7 ящиков с гвоздями, а на другом — 3 таких ящика. В каждом ящике было по 20 кг гвоздей. Объясни, что означают выражения.

$20 \cdot 7$

$20 \cdot 3$

$20 \cdot 7 + 20 \cdot 3$

$7 + 3$

$7 - 3$

$20 \cdot (7 + 3)$

$20 \cdot 7 - 20 \cdot 3$

$20 \cdot (7 - 3)$

В условии задачи даны следующие величины:

• Количество ящиков на первом складе: $7$
• Количество ящиков на втором складе: $3$
• Вес гвоздей в каждом ящике: $20$ кг

20 · 7
Это выражение означает, сколько всего килограммов гвоздей было на первом складе. Мы умножаем вес гвоздей в одном ящике ($20$ кг) на количество ящиков на первом складе ($7$).
$20 \cdot 7 = 140$ (кг)
Ответ: Общий вес гвоздей на первом складе.

20 · 3
Это выражение означает, сколько всего килограммов гвоздей было на втором складе. Мы умножаем вес гвоздей в одном ящике ($20$ кг) на количество ящиков на втором складе ($3$).
$20 \cdot 3 = 60$ (кг)
Ответ: Общий вес гвоздей на втором складе.

20 · 7 + 20 · 3
Это выражение показывает общую массу гвоздей на двух складах. Мы складываем массу гвоздей на первом складе ($20 \cdot 7$) и массу гвоздей на втором складе ($20 \cdot 3$).
$140 + 60 = 200$ (кг)
Ответ: Общий вес гвоздей на двух складах.

7 + 3
Это выражение показывает, сколько всего ящиков с гвоздями было на двух складах вместе. Мы складываем количество ящиков на первом складе ($7$) и на втором ($3$).
$7 + 3 = 10$ (ящиков)
Ответ: Общее количество ящиков на двух складах.

7 – 3
Это выражение показывает, на сколько ящиков с гвоздями больше на первом складе, чем на втором. Мы вычитаем количество ящиков на втором складе ($3$) из количества ящиков на первом ($7$).
$7 - 3 = 4$ (ящика)
Ответ: На сколько ящиков больше на первом складе, чем на втором.

20 · (7 + 3)
Это выражение также показывает общую массу гвоздей на двух складах. Сначала мы находим общее количество ящиков ($7 + 3$), а затем умножаем его на массу гвоздей в одном ящике ($20$ кг). Это другой способ найти ответ на тот же вопрос, что и в выражении $20 \cdot 7 + 20 \cdot 3$.
$20 \cdot 10 = 200$ (кг)
Ответ: Общий вес гвоздей на двух складах.

20 · 7 – 20 · 3
Это выражение показывает, на сколько килограммов гвоздей больше на первом складе, чем на втором. Мы вычитаем массу гвоздей на втором складе ($20 \cdot 3$) из массы гвоздей на первом складе ($20 \cdot 7$).
$140 - 60 = 80$ (кг)
Ответ: На сколько килограммов гвоздей больше на первом складе, чем на втором.

20 · (7 – 3)
Это выражение также показывает, на сколько килограммов гвоздей больше на первом складе, чем на втором. Сначала мы находим разницу в количестве ящиков ($7 - 3$), а затем умножаем её на массу гвоздей в одном ящике ($20$ кг). Это другой способ найти ответ на тот же вопрос, что и в выражении $20 \cdot 7 - 20 \cdot 3$.
$20 \cdot 4 = 80$ (кг)
Ответ: На сколько килограммов гвоздей больше на первом складе, чем на втором.

10. Длина комнаты 6 м, а ширина 5 м. На паркетный пол для этой комнаты пошло 270 одинаковых квадратных плиток. Сколько таких же квадратных плиток пойдёт на паркет для другой комнаты, если её длина 5 м, а ширина 4 м?

Для решения этой задачи сначала необходимо найти площадь первой комнаты, для которой известны и размеры, и количество плиток. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину.

1. Найдём площадь первой комнаты:$S_1 = 6 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 30 \text{ м}^2$

2. Теперь мы можем определить, сколько плиток приходится на один квадратный метр. Для этого разделим общее количество плиток на площадь первой комнаты:$270 \text{ плиток} \div 30 \text{ м}^2 = 9 \text{ плиток/м}^2$

3. Далее найдём площадь второй комнаты, используя её размеры:$S_2 = 5 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 20 \text{ м}^2$

4. Зная, что на 1 м² уходит 9 плиток, рассчитаем необходимое количество плиток для второй комнаты. Для этого умножим площадь второй комнаты на количество плиток на квадратный метр:$20 \text{ м}^2 \times 9 \text{ плиток/м}^2 = 180 \text{ плиток}$

Ответ: на паркет для другой комнаты пойдёт 180 таких же квадратных плиток.

$587$ ( ) $600$

$412$ ( ) $421$

$1000$ ( ) $999$

$360 \div 3$ ( ) $100$

$306 \div 3$ ( ) $100$

$630 \div 3$ ( ) $100$

$205 \times 4 \div 10$ ( ) $100$

$250 \times 4 \div 10$ ( ) $100$

$240 \times 4 \div 10$ ( ) $100$

587 ... 600
Для сравнения чисел 587 и 600 посмотрим на разряд сотен. В числе 587 — 5 сотен, а в числе 600 — 6 сотен. Так как $5 < 6$, то и число 587 меньше, чем 600.
Ответ: $587 < 600$

412 ... 421
При сравнении чисел 412 и 421 мы видим, что количество сотен у них одинаковое (по 4). Поэтому сравним разряд десятков. В числе 412 — 1 десяток, а в числе 421 — 2 десятка. Так как $1 < 2$, то число 412 меньше, чем 421.
Ответ: $412 < 421$

1 000 ... 999
Число 1 000 — четырехзначное, а число 999 — трехзначное. Любое четырехзначное число всегда больше любого трехзначного числа.
Ответ: $1000 > 999$

360 : 3 ... 100
Сначала вычислим значение левой части: $360 : 3 = 120$. Теперь сравним полученный результат с числом 100. Так как $120 > 100$, то и исходное выражение больше 100.
Ответ: $360 : 3 > 100$

306 : 3 ... 100
Сначала вычислим значение левой части: $306 : 3 = 102$. Теперь сравним полученный результат с числом 100. Так как $102 > 100$, то и исходное выражение больше 100.
Ответ: $306 : 3 > 100$

630 : 3 ... 100
Сначала вычислим значение левой части: $630 : 3 = 210$. Теперь сравним полученный результат с числом 100. Так как $210 > 100$, то и исходное выражение больше 100.
Ответ: $630 : 3 > 100$

205 ⋅ 4 : 10 ... 100
Вычислим значение выражения в левой части, выполняя действия по порядку:
1. $205 \cdot 4 = 820$
2. $820 : 10 = 82$
Теперь сравним результат 82 с числом 100. Так как $82 < 100$, то и исходное выражение меньше 100.
Ответ: $205 \cdot 4 : 10 < 100$

250 ⋅ 4 : 10 ... 100
Вычислим значение выражения в левой части, выполняя действия по порядку:
1. $250 \cdot 4 = 1000$
2. $1000 : 10 = 100$
Теперь сравним результат 100 с числом 100. Они равны.
Ответ: $250 \cdot 4 : 10 = 100$

240 ⋅ 4 : 10 ... 100
Вычислим значение выражения в левой части, выполняя действия по порядку:
1. $240 \cdot 4 = 960$
2. $960 : 10 = 96$
Теперь сравним результат 96 с числом 100. Так как $96 < 100$, то и исходное выражение меньше 100.
Ответ: $240 \cdot 4 : 10 < 100$

12. Поезд за 8 ч прошёл 352 км, а пароход за 6 ч — 132 км. Во сколько раз скорость поезда больше скорости парохода?

Для решения задачи необходимо сначала найти скорость поезда и скорость парохода, а затем сравнить их.

1. Вычисление скорости поезда
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Поезд прошёл 352 км за 8 часов.

$v_{поезда} = \frac{S}{t} = \frac{352 \text{ км}}{8 \text{ ч}} = 44 \text{ км/ч}$

2. Вычисление скорости парохода
Пароход прошёл 132 км за 6 часов. Вычислим его скорость.

$v_{парохода} = \frac{S}{t} = \frac{132 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 22 \text{ км/ч}$

3. Сравнение скоростей
Чтобы узнать, во сколько раз скорость поезда больше скорости парохода, необходимо разделить скорость поезда на скорость парохода.

$\frac{v_{поезда}}{v_{парохода}} = \frac{44 \text{ км/ч}}{22 \text{ км/ч}} = 2$

Ответ: скорость поезда больше скорости парохода в 2 раза.

13. На станцию привезли 140 мешков ржи и в 3 раза больше мешков пшеницы. Часть этого зерна погрузили в 2 вагона, по 270 мешков в каждый вагон. Сколько мешков зерна осталось?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько действий по порядку.

1. Сначала найдем, сколько мешков пшеницы привезли на станцию. В условии сказано, что их было в 3 раза больше, чем мешков ржи. Для этого умножим количество мешков ржи на 3.

$140 \times 3 = 420$ (мешков пшеницы).

2. Теперь вычислим общее количество мешков зерна (ржи и пшеницы), которое привезли на станцию. Для этого сложим количество мешков ржи и пшеницы.

$140 + 420 = 560$ (всего мешков зерна).

3. Далее определим, сколько мешков зерна погрузили в вагоны. Погрузили 2 вагона по 270 мешков в каждый.

$2 \times 270 = 540$ (мешков погрузили).

4. Наконец, чтобы найти, сколько мешков зерна осталось, нужно из общего количества мешков вычесть то количество, которое уже погрузили.

$560 - 540 = 20$ (мешков).

Ответ: осталось 20 мешков зерна.

14. Выполни деление с остатком. Сделай проверку.

$36 : 10$

$527 : 10$

$745 : 100$

$920 : 46$

$97 : 24$

$153 : 8$

$608 : 100$

$428 : 75$

36 : 10
Чтобы найти неполное частное, определим, сколько раз число 10 содержится в числе 36. Ближайшее к 36 число, которое делится на 10 без остатка, это 30.
$30 : 10 = 3$. Это неполное частное.
Чтобы найти остаток, вычтем из делимого 36 произведение делителя (10) и неполного частного (3).
$36 - (10 \times 3) = 36 - 30 = 6$.
Получаем: $36 : 10 = 3$ (остаток $6$).
Проверка:
Умножим неполное частное на делитель и прибавим остаток. Результат должен быть равен делимому.
$(3 \times 10) + 6 = 30 + 6 = 36$.
$36 = 36$. Решение верное.
Ответ: 3 (ост. 6).

97 : 24
Подберем, сколько раз 24 помещается в 97.
$24 \times 1 = 24$
$24 \times 2 = 48$
$24 \times 3 = 72$
$24 \times 4 = 96$
$24 \times 5 = 120$ (это больше, чем 97).
Значит, неполное частное равно 4.
Найдем остаток: $97 - 96 = 1$.
Получаем: $97 : 24 = 4$ (остаток $1$).
Проверка:
$(4 \times 24) + 1 = 96 + 1 = 97$.
$97 = 97$. Решение верное.
Ответ: 4 (ост. 1).

527 : 10
Чтобы разделить 527 на 10, найдем наибольшее число до 527, которое делится на 10 без остатка. Это 520.
$520 : 10 = 52$. Неполное частное равно 52.
Найдем остаток: $527 - 520 = 7$.
Получаем: $527 : 10 = 52$ (остаток $7$).
Проверка:
$(52 \times 10) + 7 = 520 + 7 = 527$.
$527 = 527$. Решение верное.
Ответ: 52 (ост. 7).

153 : 8
Выполним деление.
Делим 15 на 8, получаем 1. $1 \times 8 = 8$. Остаток $15 - 8 = 7$.
Сносим 3, получаем 73. Делим 73 на 8, получаем 9. $9 \times 8 = 72$. Остаток $73 - 72 = 1$.
Неполное частное равно 19.
Остаток равен 1.
Получаем: $153 : 8 = 19$ (остаток $1$).
Проверка:
$(19 \times 8) + 1 = 152 + 1 = 153$.
$153 = 153$. Решение верное.
Ответ: 19 (ост. 1).

745 : 100
Найдем, сколько раз 100 содержится в 745. Ближайшее число, кратное 100, это 700.
$700 : 100 = 7$. Неполное частное равно 7.
Найдем остаток: $745 - 700 = 45$.
Получаем: $745 : 100 = 7$ (остаток $45$).
Проверка:
$(7 \times 100) + 45 = 700 + 45 = 745$.
$745 = 745$. Решение верное.
Ответ: 7 (ост. 45).

608 : 100
Найдем, сколько раз 100 содержится в 608. Ближайшее число, кратное 100, это 600.
$600 : 100 = 6$. Неполное частное равно 6.
Найдем остаток: $608 - 600 = 8$.
Получаем: $608 : 100 = 6$ (остаток $8$).
Проверка:
$(6 \times 100) + 8 = 600 + 8 = 608$.
$608 = 608$. Решение верное.
Ответ: 6 (ост. 8).

920 : 46
Выполним деление. Заметим, что $46 \times 2 = 92$. Следовательно, $46 \times 20 = 920$.
Деление выполняется без остатка.
Частное равно 20, остаток равен 0.
Получаем: $920 : 46 = 20$ (остаток $0$).
Проверка:
$(20 \times 46) + 0 = 920 + 0 = 920$.
$920 = 920$. Решение верное.
Ответ: 20 (ост. 0).

428 : 75
Подберем, сколько раз 75 помещается в 428.
$75 \times 5 = 375$.
$75 \times 6 = 450$ (это больше, чем 428).
Значит, неполное частное равно 5.
Найдем остаток: $428 - 375 = 53$.
Получаем: $428 : 75 = 5$ (остаток $53$).
Проверка:
$(5 \times 75) + 53 = 375 + 53 = 428$.
$428 = 428$. Решение верное.
Ответ: 5 (ост. 53).

1 Катер идёт по реке с постоянной скоростью. Объясни, когда он затратит больше времени: на путь по течению реки или против течения.

По течению

Против течения

Для того чтобы определить, когда катер затратит больше времени, необходимо сравнить его скорость при движении по течению и против течения. Время, необходимое для преодоления расстояния, обратно пропорционально скорости движения. Формула для расчёта времени: $t = \frac{S}{v}$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Обозначим собственную скорость катера (скорость в стоячей воде) как $v_{к}$, а скорость течения реки — как $v_{т}$. Расстояние, которое катер проходит в обе стороны, одинаково и равно $S$.

1. Движение по течению:
Когда катер идёт по течению, река помогает ему двигаться, и его скорость относительно берега складывается из собственной скорости катера и скорости течения.
Скорость по течению: $v_{по\;теч.} = v_{к} + v_{т}$.
Время, затраченное на путь по течению: $t_{по\;теч.} = \frac{S}{v_{к} + v_{т}}$.

2. Движение против течения:
Когда катер идёт против течения, река мешает его движению, и его скорость относительно берега равна разности собственной скорости катера и скорости течения.
Скорость против течения: $v_{против\;теч.} = v_{к} - v_{т}$.
Время, затраченное на путь против течения: $t_{против\;теч.} = \frac{S}{v_{к} - v_{т}}$.

3. Сравнение:
Сравним скорости: так как скорость течения $v_{т}$ всегда больше нуля, то знаменатель в первой формуле больше знаменателя во второй: $v_{к} + v_{т} > v_{к} - v_{т}$.
Это означает, что скорость движения по течению всегда больше скорости движения против течения.
Поскольку время обратно пропорционально скорости, то чем меньше скорость, тем больше времени требуется на преодоление того же расстояния. Так как скорость против течения меньше, то времени на этот путь будет затрачено больше.
Сравнивая выражения для времени, мы видим, что у дробей $t_{по\;теч.} = \frac{S}{v_{к} + v_{т}}$ и $t_{против\;теч.} = \frac{S}{v_{к} - v_{т}}$ одинаковый числитель $S$. Значит, та дробь будет больше, у которой знаменатель меньше. Так как $v_{к} - v_{т} < v_{к} + v_{т}$, то $t_{против\;теч.} > t_{по\;теч.}$.

Ответ: Катер затратит больше времени на путь против течения, так как его скорость в этом случае будет наименьшей.

2 Расстояние от пункта А до пункта В яхта преодолела за 3 ч 20 мин, а расстояние от пункта В до пункта А — за 2 ч 50 мин. В каком направлении течёт река: от А к В или от В к А, если известно, что скорость яхты не менялась?

Для решения этой задачи необходимо сравнить время, затраченное яхтой на путь в каждом направлении. Скорость движения объекта по реке зависит от направления течения.

Обозначим собственную скорость яхты (в стоячей воде) как $V_{яхты}$, а скорость течения реки как $V_{реки}$.

Когда яхта движется по течению, её скорость складывается со скоростью течения, и итоговая скорость равна $V_{по течению} = V_{яхты} + V_{реки}$.

Когда яхта движется против течения, скорость течения вычитается из её собственной скорости, и итоговая скорость равна $V_{против течения} = V_{яхты} - V_{реки}$.

Очевидно, что $V_{по течению} > V_{против течения}$. Расстояние $S$ между пунктами А и В одинаково в обоих направлениях. Так как время движения $t$ обратно пропорционально скорости $V$ (при постоянном расстоянии $S = V \cdot t$), то на путь по течению будет затрачено меньше времени, чем на тот же путь против течения.

Сравним время движения яхты:

• Время из А в В: $t_{А \to В} = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин}$
• Время из В в А: $t_{В \to А} = 2 \text{ ч } 50 \text{ мин}$

Поскольку $2 \text{ ч } 50 \text{ мин} < 3 \text{ ч } 20 \text{ мин}$, путь из пункта В в пункт А был пройден быстрее. Это означает, что в этом направлении скорость яхты была выше, то есть она двигалась по течению.

Следовательно, река течёт в направлении от пункта В к пункту А.

Ответ: река течёт в направлении от В к А.

3 Скорость моторной лодки 35 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью лодка будет двигаться по течению реки? против течения реки?

26 Скорость судна (катера, теплохода, яхты, моторной лодки и др.) в стоячей воде называют собственной скоростью этого судна.

При движении по течению реки к собственной скорости судна нужно прибавить скорость течения реки. При движении против течения нужно из собственной скорости судна вычесть скорость течения реки.

В задаче даны собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) и скорость течения реки. Чтобы найти скорость лодки по течению и против течения, воспользуемся следующими правилами:

• Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения.
• Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения.

Дано:

• Собственная скорость лодки ($V_{\text{собственная}}$) = 35 км/ч.
• Скорость течения реки ($V_{\text{течения}}$) = 2 км/ч.

по течению реки

Чтобы найти скорость лодки, когда она движется по течению, мы должны сложить ее собственную скорость и скорость течения реки.

$V_{\text{по течению}} = V_{\text{собственная}} + V_{\text{течения}}$

$35 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 37 \text{ км/ч}$

Ответ: 37 км/ч.

против течения реки

Чтобы найти скорость лодки, когда она движется против течения, мы должны вычесть скорость течения реки из собственной скорости лодки.

$V_{\text{против течения}} = V_{\text{собственная}} - V_{\text{течения}}$

$35 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 33 \text{ км/ч}$

Ответ: 33 км/ч.

4. Может ли плот самостоятельно двигаться против течения реки? Объясни свой ответ. А по течению? Скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$. На сколько километров река отнесёт плот за $1 \text{ ч}$? за $2 \text{ ч}$? за $5 \text{ ч}$?

Может ли плот самостоятельно двигаться против течения реки? Объясни свой ответ.

Нет, плот не может самостоятельно двигаться против течения реки. Плот не имеет собственного источника движения (мотора, паруса, вёсел), поэтому его собственная скорость, то есть скорость в стоячей воде, равна $0$ км/ч. Течение реки будет сносить плот в направлении своего движения. Чтобы двигаться против течения, объект должен развивать собственную скорость, превышающую скорость течения.
Ответ: Нет, не может.

А по течению?

Да, по течению плот двигаться может. В этом случае его будет нести само течение, и скорость плота относительно берегов будет равна скорости течения реки.
Ответ: Да, может.

На сколько километров река отнесёт плот за 1 ч? за 2 ч? за 5 ч?

Скорость течения реки, а значит и скорость плота, составляет $v = 2$ км/ч. Расстояние $S$, которое пройдёт плот, можно найти по формуле $S = v \cdot t$, где $t$ – время движения.
Рассчитаем расстояние для каждого промежутка времени:
1) За 1 час: $S = 2 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 2$ км.
2) За 2 часа: $S = 2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 4$ км.
3) За 5 часов: $S = 2 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 10$ км.
Ответ: за 1 час река отнесёт плот на 2 км, за 2 часа — на 4 км, за 5 часов — на 10 км.

Собственная скорость теплохода 48 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч.

1) Сколько километров пройдёт теплоход по течению реки за 4 ч?

2) Сколько километров пройдёт теплоход против течения реки за 5 ч?

Для решения задачи используем данные: собственная скорость теплохода $V_{соб} = 48$ км/ч, скорость течения реки $V_{теч} = 3$ км/ч.

1) Сколько километров пройдёт теплоход по течению реки за 4 ч?

Сначала определим скорость теплохода при движении по течению. Она равна сумме собственной скорости теплохода и скорости течения реки:
$V_{по \, течению} = V_{соб} + V_{теч} = 48 \, км/ч + 3 \, км/ч = 51 \, км/ч$.
Теперь, зная скорость и время движения (4 часа), найдём расстояние по формуле $S = V \times t$ :
$S = 51 \, км/ч \times 4 \, ч = 204 \, км$.
Ответ: 204 км.

2) Сколько километров пройдёт теплоход против течения реки за 5 ч?

Сначала определим скорость теплохода при движении против течения. Она равна разности собственной скорости теплохода и скорости течения реки:
$V_{против \, течения} = V_{соб} - V_{теч} = 48 \, км/ч - 3 \, км/ч = 45 \, км/ч$.
Теперь, зная скорость и время движения (5 часов), найдём расстояние:
$S = 45 \, км/ч \times 5 \, ч = 225 \, км$.
Ответ: 225 км.

6 Выполни действия.

$(8960 \div 70 + 202) \cdot 3$

$10000 - 62400 \div 400 \cdot 28$

$50500 - (28 \cdot 300 + 1600) - 6570 \div 90 \cdot 126$

(8 960 : 70 + 202) · 3
Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (деление, затем сложение), а потом умножение.
1) Выполняем деление в скобках: $8960 : 70 = 128$
2) Выполняем сложение в скобках: $128 + 202 = 330$
3) Выполняем умножение результата из скобок на 3: $330 \cdot 3 = 990$
Ответ: 990

10 000 - 62 400 : 400 · 28
В этом примере сначала выполняются деление и умножение слева направо, а затем вычитание.
1) Выполняем деление: $62400 : 400 = 156$
2) Выполняем умножение: $156 \cdot 28 = 4368$
3) Выполняем вычитание: $10000 - 4368 = 5632$
Ответ: 5632

50 500 - (28 · 300 + 1 600) - 6 570 : 90 · 126
Порядок действий: сначала вычисляем выражение в скобках, затем выполняем деление и умножение вне скобок, и в конце — вычитание слева направо.
1) Вычисляем в скобках. Сначала умножение: $28 \cdot 300 = 8400$
2) Затем сложение в скобках: $8400 + 1600 = 10000$
3) Выполняем деление: $6570 : 90 = 73$
4) Выполняем умножение: $73 \cdot 126 = 9198$
5) Теперь выполняем вычитание по порядку: $50500 - 10000 = 40500$
6) Завершаем вычисление: $40500 - 9198 = 31302$
Ответ: 31302