Страница 100, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 (Устно.) В одном километре 10 тысяч дециметров. Сколько дециметров в 4 км? в 7 км? в 9 км?

Для решения данной задачи необходимо использовать информацию о том, что в одном километре содержится 10 тысяч (10 000) дециметров. Чтобы найти количество дециметров в нескольких километрах, нужно умножить количество километров на 10 000.

в 4 км?

Чтобы найти, сколько дециметров в 4 километрах, умножим 4 на 10 000.

$4 \times 10 000 = 40 000$ (дециметров).

Ответ: 40 000 дециметров.

в 7 км?

Чтобы найти, сколько дециметров в 7 километрах, умножим 7 на 10 000.

$7 \times 10 000 = 70 000$ (дециметров).

Ответ: 70 000 дециметров.

в 9 км?

Чтобы найти, сколько дециметров в 9 километрах, умножим 9 на 10 000.

$9 \times 10 000 = 90 000$ (дециметров).

Ответ: 90 000 дециметров.

2 Рассмотри таблицы и записи под ними. Объясни, как получаются числа из десятков тысяч, единиц тысяч, сотен, десятков и отдельных единиц.

Числа в нашей системе счисления являются позиционными, то есть значение каждой цифры зависит от её места (разряда) в записи числа. Число получается путем сложения значений, которые каждая цифра представляет в своём разряде. Рассмотрим, как это работает для каждого разряда.

Десятки тысяч

Это пятый разряд, если считать справа налево. Цифра, стоящая в этом разряде, показывает количество десятков тысяч. Чтобы найти её значение, цифру нужно умножить на 10 000. Например, в числе 56 789 цифра 5 находится в разряде десятков тысяч и обозначает $5 \times 10000 = 50000$.

Единицы тысяч

Это четвёртый разряд справа. Цифра в этом разряде показывает количество тысяч. Её значение получают, умножая цифру на 1 000. В числе 56 789 цифра 6 находится в разряде единиц тысяч и обозначает $6 \times 1000 = 6000$.

Сотни

Это третий разряд справа. Цифра в этом разряде показывает количество сотен. Её значение получают, умножая цифру на 100. В числе 56 789 цифра 7 находится в разряде сотен и обозначает $7 \times 100 = 700$.

Десятки

Это второй разряд справа. Цифра в этом разряде показывает количество десятков. Её значение получают, умножая цифру на 10. В числе 56 789 цифра 8 находится в разряде десятков и обозначает $8 \times 10 = 80$.

Отдельные единицы

Это первый, самый правый разряд. Цифра в этом разряде показывает количество отдельных единиц. Её значение равно самой цифре (или произведению цифры на 1). В числе 56 789 цифра 9 находится в разряде единиц и обозначает $9 \times 1 = 9$.

Чтобы получить итоговое число, все эти значения необходимо сложить. Этот процесс называется представлением числа в виде суммы разрядных слагаемых.
Для нашего примера, числа 56 789, это выглядит так:
$50000 + 6000 + 700 + 80 + 9 = 56789$

Ответ: Чтобы получить число из десятков тысяч, единиц тысяч, сотен, десятков и отдельных единиц, нужно каждую цифру умножить на значение её разряда (10 000 для десятков тысяч, 1 000 для единиц тысяч, 100 для сотен, 10 для десятков и 1 для единиц), а затем сложить все полученные результаты.

7 С одной автостоянки одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля. Через сколько часов расстояние между ними будет $510 \text{ км}$, если скорость первого автомобиля $45 \text{ км/ч}$, а скорость второго на $12 \text{ км/ч}$ больше?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий: сначала найти скорость второго автомобиля, затем общую скорость, с которой автомобили удаляются друг от друга, и после этого рассчитать время.

1. Найдём скорость второго автомобиля.

Из условия известно, что скорость первого автомобиля ($v_1$) равна $45 \text{ км/ч}$. Скорость второго автомобиля ($v_2$) на $12 \text{ км/ч}$ больше. Чтобы найти скорость второго автомобиля, нужно к скорости первого прибавить $12 \text{ км/ч}$.

$v_2 = 45 + 12 = 57 \text{ (км/ч)}$

2. Найдём скорость удаления автомобилей.

Поскольку автомобили выехали одновременно в противоположных направлениях, расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления, $v_{уд}$), равна сумме их скоростей.

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 45 + 57 = 102 \text{ (км/ч)}$

3. Найдём время, через которое расстояние между автомобилями станет 510 км.

Время ($t$) можно найти по формуле $t = S / v$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость. В нашем случае $S = 510 \text{ км}$, а скорость — это скорость удаления $v_{уд}$.

$t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{510}{102} = 5 \text{ (часов)}$

Ответ: через 5 часов.

8 Начерти две окружности с центром в точке O так, чтобы радиус одной окружности был 35 мм, а радиус другой — 2 см. Как расположены эти окружности? Имеют ли они общие точки?

По условию задачи необходимо рассмотреть две окружности с общим центром в точке О. Обозначим радиус первой окружности как $R_1$, а второй — как $R_2$.

Дано: $R_1 = 35$ мм. $R_2 = 2$ см.

Чтобы сравнить радиусы и определить взаимное расположение окружностей, необходимо привести их к единой единице измерения. Переведем сантиметры в миллиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

$R_2 = 2 \text{ см} = 2 \times 10 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$.

Теперь мы можем сравнить величины радиусов: $R_1 = 35 \text{ мм}$ $R_2 = 20 \text{ мм}$

Очевидно, что $35 \text{ мм} > 20 \text{ мм}$, следовательно, $R_1 > R_2$.

Как расположены эти окружности?

Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. Так как радиусы данных окружностей различны ($R_1 \ne R_2$), одна окружность находится внутри другой. Окружность с меньшим радиусом ($R_2 = 20$ мм) целиком расположена внутри окружности с большим радиусом ($R_1 = 35$ мм).
Ответ: окружности концентрические, причем окружность радиусом 2 см лежит внутри окружности радиусом 35 мм.

Имеют ли они общие точки?

Общие точки у двух концентрических окружностей могут быть только в том случае, если их радиусы равны (тогда они совпадают). В нашем случае радиусы различны. Для любой точки, лежащей на первой окружности, расстояние до центра О составляет $R_1 = 35$ мм. Для любой точки, лежащей на второй окружности, расстояние до центра О составляет $R_2 = 20$ мм. Поскольку $35 \text{ мм} \ne 20 \text{ мм}$, не существует точки, которая могла бы принадлежать обеим окружностям одновременно. Таким образом, окружности не пересекаются и не касаются.
Ответ: нет, у этих окружностей нет общих точек.

9 Для ремонта школы привезли 900 белых и красных кирпичей, одинаковых по массе. Масса всех красных кирпичей 1 900 кг, а масса белых 1 700 кг. Найди количество красных и количество белых кирпичей в отдельности.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдем общую массу всех кирпичей.

Сложим массу красных кирпичей и массу белых кирпичей, чтобы найти их общую массу.

$1900 + 1700 = 3600$ (кг)

Ответ: общая масса всех кирпичей составляет 3600 кг.

2. Найдем массу одного кирпича.

В условии сказано, что все кирпичи одинаковы по массе. Общее количество кирпичей — 900. Разделим общую массу всех кирпичей на их количество.

$3600 \text{ кг} \div 900 \text{ шт.} = 4$ (кг)

Ответ: масса одного кирпича равна 4 кг.

3. Найдем количество красных кирпичей.

Разделим общую массу красных кирпичей на массу одного кирпича.

$1900 \text{ кг} \div 4 \text{ кг} = 475$ (шт.)

Ответ: привезли 475 красных кирпичей.

4. Найдем количество белых кирпичей.

Разделим общую массу белых кирпичей на массу одного кирпича.

$1700 \text{ кг} \div 4 \text{ кг} = 425$ (шт.)

Ответ: привезли 425 белых кирпичей.

10 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$НИТКА + НИТКА = ТКАНЬ$

Данный ребус представляет собой математическое равенство, где каждая буква заменяет одну цифру от 0 до 9. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. Первые цифры в числах не могут быть нулём.

Запишем ребус в виде столбика:

 Н И Т К А+ Н И Т К А----------- Т К А Н Ь

Это эквивалентно уравнению: $2 \cdot (\text{НИТКА}) = \text{ТКАНЬ}$.

Поскольку при удвоении пятизначного числа "НИТКА" получается пятизначное число "ТКАНЬ", это означает, что при сложении в самом левом разряде не происходит переноса единицы в старший разряд. Математически это означает, что $2 \cdot Н < 10$. Так как Н — первая цифра числа, $Н \neq 0$. Следовательно, буква Н может обозначать только цифры 1, 2, 3 или 4.

Распишем сложение по разрядам, вводя переменные $c_1, c_2, c_3, c_4$ для переносов из младшего разряда в старший (справа налево). Эти переменные могут принимать значения 0 или 1.

1. Разряд единиц: $2 \cdot А = Ь + 10c_1$
2. Разряд десятков: $2 \cdot К + c_1 = Н + 10c_2$
3. Разряд сотен: $2 \cdot Т + c_2 = А + 10c_3$
4. Разряд тысяч: $2 \cdot И + c_3 = К + 10c_4$
5. Разряд десятков тысяч: $2 \cdot Н + c_4 = Т$

Будем последовательно перебирать возможные значения для Н.

1. Пусть Н = 1.

Из уравнения 5: $2 \cdot 1 + c_4 = Т \Rightarrow Т = 2 + c_4$. Так как $c_4$ может быть 0 или 1, то Т может быть 2 или 3.

• а) Предположим, $c_4=0$, тогда $Т=2$.
  Из уравнения 3: $2 \cdot 2 + c_2 = А + 10c_3 \Rightarrow 4 + c_2 = А + 10c_3$. Поскольку А — это цифра (А ≤ 9), то $c_3$ должно быть 0. Отсюда $А = 4 + c_2$.
  - Если $c_2=0$, то $А=4$. Тогда из уравнения 2: $2 \cdot К + c_1 = 1 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 2К + c_1 = 1$. Единственное решение: $К=0$, $c_1=1$. Теперь из уравнения 4: $2 \cdot И + c_3 = К + 10c_4 \Rightarrow 2 \cdot И + 0 = 0 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 2И = 0 \Rightarrow И=0$. Но у нас уже $К=0$, а разные буквы должны обозначать разные цифры. Значит, этот вариант не подходит.
  - Если $c_2=1$, то $А=5$. Тогда из уравнения 2: $2 \cdot К + c_1 = 1 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 2К + c_1 = 11$. Единственное решение: $К=5$, $c_1=1$. Но у нас уже $А=5$. Этот вариант также не подходит.
• б) Предположим, $c_4=1$, тогда $Т=3$.
  Из уравнения 3: $2 \cdot 3 + c_2 = А + 10c_3 \Rightarrow 6 + c_2 = А + 10c_3$. Отсюда $c_3=0$ и $А = 6 + c_2$.
  - Если $c_2=0$, то $А=6$. Тогда из уравнения 2: $2 \cdot К + c_1 = 1 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 2К + c_1 = 1$. Единственное решение: $К=0$, $c_1=1$. Теперь из уравнения 4: $2 \cdot И + c_3 = К + 10c_4 \Rightarrow 2 \cdot И + 0 = 0 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 2И = 10 \Rightarrow И=5$.
  На данный момент мы имеем: $Н=1, И=5, Т=3, К=0, А=6$. Все цифры разные. Осталось найти Ь из уравнения 1: $2 \cdot А = Ь + 10c_1 \Rightarrow 2 \cdot 6 = Ь + 10 \cdot 1 \Rightarrow 12 = Ь + 10 \Rightarrow Ь=2$. Получили полный набор уникальных цифр: $Н=1, И=5, Т=3, К=0, А=6, Ь=2$.

Проверим найденное решение:
НИТКА + НИТКА = 15306 + 15306 = 30612
ТКАНЬ = 30612
Равенство выполняется.

Дальнейший перебор для $Н=2, 3, 4$ не даёт решений. Например, для $Н=2$ получается $Т=4$ или $Т=5$. Оба случая приводят к противоречиям (либо к одинаковым цифрам для разных букв, либо к нецелым решениям для букв, либо к значениям, выходящим за пределы одной цифры). Аналогично для $Н=3$ и $Н=4$.

Таким образом, ребус имеет единственное решение.

Расшифровка ребуса:

• А = 6
• Ь = 2
• И = 5
• К = 0
• Н = 1
• Т = 3

Пример в цифрах: $15306 + 15306 = 30612$.

Ответ: $15306 + 15306 = 30612$.

1 Сколько квадратных метров в $1/2$ части $1 \text{ км}^2$?

Для того чтобы ответить на вопрос, сколько квадратных метров в одной второй части 1 км², нужно выполнить два шага: сначала перевести квадратные километры в квадратные метры, а затем найти половину от полученного значения.

1. Перевод квадратных километров в квадратные метры.

Мы знаем, что в одном километре содержится 1000 метров.

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Квадратный километр ($1 \text{ км}^2$) — это площадь квадрата со стороной 1 км. Чтобы найти эту площадь в квадратных метрах, нужно умножить длину на ширину в метрах:

$1 \text{ км}^2 = 1 \text{ км} \times 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1\;000\;000 \text{ м}^2$

Итак, один квадратный километр равен одному миллиону квадратных метров.

2. Нахождение одной второй части.

Теперь нам нужно найти одну вторую ($ \frac{1}{2} $) от $1\;000\;000 \text{ м}^2$. Для этого разделим это число на 2:

$\frac{1\;000\;000 \text{ м}^2}{2} = 500\;000 \text{ м}^2$

Таким образом, в одной второй части 1 км² содержится 500 000 квадратных метров.

Ответ: 500 000 м².

2 Сколько квадратных метров в $\frac{1}{2}$ части 1 га?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала узнать, сколько квадратных метров в одном гектаре (га), а затем найти половину (одну вторую часть) от этой величины.

1. Один гектар равен площади квадрата со стороной 100 метров. Вычислим эту площадь в квадратных метрах:

$1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10000 \text{ м}^2$

2. Теперь найдём одну вторую часть от 10 000 квадратных метров. для этого нужно разделить 10 000 на 2:

$\frac{1}{2} \text{ от } 10000 \text{ м}^2 = 10000 \div 2 = 5000 \text{ м}^2$

Таким образом, в одной второй части 1 гектара содержится 5000 квадратных метров.

Ответ: 5000 м².

3 Вычисли площадь школьного участка, если здание школы занимает $2000 \text{ м}^2$, сад и спортивная площадка занимают $2 \text{ га } 4500 \text{ м}^2$, а двор со служебными постройками — $2300 \text{ м}^2$.

Для того чтобы вычислить общую площадь школьного участка, необходимо сложить площади всех его частей: здания школы, сада со спортивной площадкой и двора со служебными постройками.

1. Приведем все величины к единой единице измерения.

Площади указаны в квадратных метрах ($м^2$) и гектарах ($га$). Переведем все в квадратные метры. Мы знаем, что $1 \, га = 10 000 \, м^2$.

• Площадь здания школы: $2 000 \, м^2$.
• Площадь сада и спортивной площадки: $2 \, га \, 4 500 \, м^2$. Переведем в $м^2$:
  $2 \times 10 000 \, м^2 + 4 500 \, м^2 = 20 000 \, м^2 + 4 500 \, м^2 = 24 500 \, м^2$.
• Площадь двора со служебными постройками: $2 300 \, м^2$.

2. Вычислим общую площадь.

Теперь сложим все полученные значения:

$2 000 \, м^2 + 24 500 \, м^2 + 2 300 \, м^2 = 28 800 \, м^2$.

При желании, можно перевести результат обратно в гектары и ары. Так как $1 \, га = 100 \, а = 10 000 \, м^2$, то:

$28 800 \, м^2 = 2 \, га \, 8 800 \, м^2 = 2 \, га \, 88 \, а$.

Ответ: $28 800 \, м^2$ (или $2 \, га \, 88 \, а$).

3 га 82 а 3 082 а 2 га 9 050 $\text{м}^2$ 209 а

50 га 500 $\text{м}^2$ 505 а 6 га 108 $\text{м}^2$ 60 108 $\text{м}^2$

3 га 82 а O 3 082 а

Чтобы сравнить эти два значения, нужно привести их к одной единице измерения. Переведем гектары (га) в ары (а).
Мы знаем, что 1 гектар равен 100 арам: $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
Переведем 3 га 82 а в ары:
$3 \text{ га} = 3 \cdot 100 \text{ а} = 300 \text{ а}$.
$3 \text{ га } 82 \text{ а} = 300 \text{ а} + 82 \text{ а} = 382 \text{ а}$.
Теперь сравним полученное значение с 3 082 а:
$382 \text{ а} < 3 082 \text{ а}$.
Следовательно, 3 га 82 а < 3 082 а.
Ответ: 3 га 82 а < 3 082 а

2 га 9 050 м² O 209 а

Для сравнения приведем оба значения к одной единице измерения, например, к квадратным метрам (м²).
Мы знаем, что $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Переведем 2 га 9 050 м² в квадратные метры:
$2 \text{ га} = 2 \cdot 10 000 \text{ м}^2 = 20 000 \text{ м}^2$.
$2 \text{ га } 9 050 \text{ м}^2 = 20 000 \text{ м}^2 + 9 050 \text{ м}^2 = 29 050 \text{ м}^2$.
Теперь переведем 209 а в квадратные метры:
$209 \text{ а} = 209 \cdot 100 \text{ м}^2 = 20 900 \text{ м}^2$.
Сравним полученные значения:
$29 050 \text{ м}^2 > 20 900 \text{ м}^2$.
Следовательно, 2 га 9 050 м² > 209 а.
Ответ: 2 га 9 050 м² > 209 а

50 га 500 м² O 505 а

Для сравнения приведем оба значения к одной единице измерения, например, к арам (а).
Нам известны следующие соотношения: $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$.
Переведем 50 га 500 м² в ары:
$50 \text{ га} = 50 \cdot 100 \text{ а} = 5 000 \text{ а}$.
$500 \text{ м}^2 = 500 \div 100 \text{ а} = 5 \text{ а}$.
$50 \text{ га } 500 \text{ м}^2 = 5 000 \text{ а} + 5 \text{ а} = 5 005 \text{ а}$.
Теперь сравним 5 005 а и 505 а:
$5 005 \text{ а} > 505 \text{ а}$.
Следовательно, 50 га 500 м² > 505 а.
Ответ: 50 га 500 м² > 505 а

6 га 108 м² O 60 108 м²

Чтобы сравнить значения, переведем 6 га 108 м² в квадратные метры (м²).
Известно, что $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$.
Переведем 6 га в квадратные метры:
$6 \text{ га} = 6 \cdot 10 000 \text{ м}^2 = 60 000 \text{ м}^2$.
$6 \text{ га } 108 \text{ м}^2 = 60 000 \text{ м}^2 + 108 \text{ м}^2 = 60 108 \text{ м}^2$.
Теперь сравним полученное значение с 60 108 м²:
$60 108 \text{ м}^2 = 60 108 \text{ м}^2$.
Следовательно, 6 га 108 м² = 60 108 м².
Ответ: 6 га 108 м² = 60 108 м²

5 Один автомобиль проехал 195 км, а другой — 187 км, причём первый из них израсходовал бензина на 920 г больше, чем второй. Сколько бензина израсходовал каждый автомобиль, если на 1 км пути они расходовали бензина поровну?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти расход бензина на 1 км, а затем рассчитать общее количество бензина для каждого автомобиля.

1. Найдём разницу в расстоянии, которое проехал первый и второй автомобиль. Эта разница и является причиной разницы в расходе бензина.
$195 - 187 = 8$ (км) — на столько больше проехал первый автомобиль.

2. Согласно условию, на эти 8 км первый автомобиль израсходовал на 920 г бензина больше. Так как расход на 1 км у автомобилей одинаковый, мы можем его вычислить:
$920 \text{ г} / 8 \text{ км} = 115$ (г/км) — расход бензина на 1 км.

3. Теперь, зная расход бензина на 1 км, мы можем найти, сколько бензина потратил каждый автомобиль.

Сколько бензина израсходовал первый автомобиль
Умножим расстояние, пройденное первым автомобилем, на расход на 1 км:
$195 \times 115 = 22425$ (г).
Это равно 22 кг 425 г.
Ответ: первый автомобиль израсходовал 22425 г бензина.

Сколько бензина израсходовал второй автомобиль
Умножим расстояние, пройденное вторым автомобилем, на расход на 1 км:
$187 \times 115 = 21505$ (г).
Это равно 21 кг 505 г.
Ответ: второй автомобиль израсходовал 21505 г бензина.