Страница 107, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

1 Рассмотри рисунки и объясни, где правильно наложен чертёжный угольник для определения вида угла. Объясни ошибки.

Чтобы правильно определить вид угла с помощью чертёжного угольника, необходимо выполнить два условия:

1. Совместить вершину прямого угла ($90^\circ$) угольника с вершиной измеряемого угла.
2. Совместить одну из сторон прямого угла угольника с одной из сторон измеряемого угла.

После этого нужно посмотреть, где проходит вторая сторона измеряемого угла:

• Если она проходит внутри прямого угла угольника — угол острый (меньше $90^\circ$).
• Если она совпадает со второй стороной прямого угла угольника — угол прямой (равен $90^\circ$).
• Если она проходит снаружи прямого угла угольника — угол тупой (больше $90^\circ$).

Рассмотрим каждый рисунок:

1 На этом рисунке к вершине угла приложен острый угол угольника, а не прямой. Это не позволяет сравнить измеряемый угол с прямым углом и определить его вид.
Ошибка: используется неправильный угол угольника.
Ответ: Неправильно.

2 Здесь угольник расположен рядом с углом, но его вершина не совмещена с вершиной измеряемого угла, и его сторона не совмещена со стороной угла. Такое положение не позволяет провести сравнение.
Ошибка: ни вершина, ни сторона угольника не совмещены с вершиной и стороной измеряемого угла.
Ответ: Неправильно.

3 В этом случае угольник приложен правильно. Вершина его прямого угла совмещена с вершиной измеряемого угла, и одна из сторон прямого угла совмещена со стороной измеряемого угла. Вторая сторона измеряемого угла проходит внутри прямого угла угольника. Это означает, что измеряемый угол является острым, так как он меньше $90^\circ$.
Ответ: Правильно.

4 На этом рисунке вершина измеряемого угла не совмещена с вершиной прямого угла угольника. Вершина измеряемого угла лежит на стороне угольника, что не позволяет корректно сравнить углы.
Ошибка: вершины углов не совмещены.
Ответ: Неправильно.

3 Вычисли.

$8 \text{ км } 320 \text{ м } - 3 \text{ км } 659 \text{ м}$

$12 \text{ га } 6 \text{ а } + 7 \text{ га } 14 \text{ а}$

$20 \text{ р. } 15 \text{ к. } - 9 \text{ р. } 68 \text{ к.}$

$3 \text{ км}^2 500 \text{ м}^2 - 18 \text{ а}$

8 км 320 м – 3 км 659 м

Для решения этой задачи необходимо вычесть одну величину из другой. Проще всего это сделать, переведя все значения в наименьшую единицу измерения, в данном случае — в метры (м), или вычитать по частям, занимая из старшего разряда при необходимости.

Способ 1: Перевод в метры.
Зная, что в одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), переведем исходные значения:
$8 \text{ км} \ 320 \text{ м} = 8 \times 1000 \text{ м} + 320 \text{ м} = 8320 \text{ м}$
$3 \text{ км} \ 659 \text{ м} = 3 \times 1000 \text{ м} + 659 \text{ м} = 3659 \text{ м}$
Теперь выполним вычитание:
$8320 \text{ м} - 3659 \text{ м} = 4661 \text{ м}$
Переведем результат обратно в километры и метры:
$4661 \text{ м} = 4000 \text{ м} + 661 \text{ м} = 4 \text{ км} \ 661 \text{ м}$

Способ 2: Вычитание в столбик.
Запишем числа одно под другим. Так как 320 м меньше 659 м, "займем" 1 км из 8 км. 1 км = 1000 м.
$8 \text{ км} \ 320 \text{ м} = 7 \text{ км} \ (1000 + 320) \text{ м} = 7 \text{ км} \ 1320 \text{ м}$
Теперь вычитаем:
$7 \text{ км} \ 1320 \text{ м} - 3 \text{ км} \ 659 \text{ м} = (7-3) \text{ км} \ (1320-659) \text{ м} = 4 \text{ км} \ 661 \text{ м}$

Ответ: 4 км 661 м

20 р. 15 к. – 9 р. 68 к.

Задача на вычитание денежных единиц. В одном рубле 100 копеек ($1 \text{ р.} = 100 \text{ к.}$).

Способ 1: Перевод в копейки.
$20 \text{ р.} \ 15 \text{ к.} = 20 \times 100 \text{ к.} + 15 \text{ к.} = 2015 \text{ к.}$
$9 \text{ р.} \ 68 \text{ к.} = 9 \times 100 \text{ к.} + 68 \text{ к.} = 968 \text{ к.}$
Выполним вычитание:
$2015 \text{ к.} - 968 \text{ к.} = 1047 \text{ к.}$
Переведем результат обратно в рубли и копейки:
$1047 \text{ к.} = 1000 \text{ к.} + 47 \text{ к.} = 10 \text{ р.} \ 47 \text{ к.}$

Способ 2: Вычитание в столбик.
Так как 15 к. меньше 68 к., "займем" 1 р. из 20 р. 1 р. = 100 к.
$20 \text{ р.} \ 15 \text{ к.} = 19 \text{ р.} \ (100 + 15) \text{ к.} = 19 \text{ р.} \ 115 \text{ к.}$
Теперь вычитаем:
$19 \text{ р.} \ 115 \text{ к.} - 9 \text{ р.} \ 68 \text{ к.} = (19-9) \text{ р.} \ (115-68) \text{ к.} = 10 \text{ р.} \ 47 \text{ к.}$

Ответ: 10 р. 47 к.

12 га 6 а + 7 га 14 а

Это задача на сложение единиц площади. В одном гектаре 100 аров ($1 \text{ га} = 100 \text{ а}$).

Можно сложить гектары с гектарами, а ары с арами:
Складываем гектары: $12 \text{ га} + 7 \text{ га} = 19 \text{ га}$
Складываем ары: $6 \text{ а} + 14 \text{ а} = 20 \text{ а}$
Объединяем результат: $19 \text{ га} \ 20 \text{ а}$

Ответ: 19 га 20 а

3 км² 500 м² – 18 а

Это задача на вычитание единиц площади. Для ее решения необходимо привести все величины к одной единице измерения, например, к квадратным метрам (м²).

Вспомним соотношения единиц площади:
$1 \text{ км²} = 1\;000\;000 \text{ м²}$
$1 \text{ а} = 100 \text{ м²}$
Переведем все значения в квадратные метры:
$3 \text{ км²} \ 500 \text{ м²} = 3 \times 1\;000\;000 \text{ м²} + 500 \text{ м²} = 3\;000\;500 \text{ м²}$
$18 \text{ а} = 18 \times 100 \text{ м²} = 1800 \text{ м²}$
Теперь выполним вычитание:
$3\;000\;500 \text{ м²} - 1800 \text{ м²} = 2\;998\;700 \text{ м²}$
Для удобства представим результат в более крупных единицах. Разделим полученное число на $1\;000\;000$, чтобы найти количество квадратных километров:
$2\;998\;700 \text{ м²} = 2 \text{ км²}$ и $998\;700 \text{ м²}$ в остатке.

Ответ: 2 км² 998 700 м²

4 Отрезок длиной 90 мм разделили сначала на 6 равных частей, а затем каждую из них разделили на 3 равные части. На сколько равных частей разделили весь отрезок? Чему равна длина одной $1/15$ части этого отрезка? восьми $8/15$?

Сделай к задаче чертёж и реши её.

Сначала выполним чертёж к задаче. На нём изображён отрезок длиной 90 мм, который сначала разделен на 6 больших частей (отмечены длинными насечками), а затем каждая из этих частей разделена ещё на 3 маленькие части (отмечены короткими насечками).

На сколько равных частей разделили весь отрезок?

Сначала отрезок разделили на 6 равных частей. Затем каждую из этих 6 частей разделили ещё на 3 равные части. Чтобы найти общее количество получившихся маленьких частей, нужно умножить количество первоначальных частей на количество частей в каждом последующем делении.
$6 \times 3 = 18$ (частей).
Ответ: Весь отрезок разделили на 18 равных частей.

Чему равна длина одной пятнадцатой части этого отрезка?

Чтобы найти длину одной пятнадцатой части ($1/15$) отрезка, нужно его общую длину (90 мм) разделить на 15.
$90 \text{ мм} \div 15 = 6 \text{ мм}$.
Ответ: Длина одной пятнадцатой части отрезка равна 6 мм.

восьми пятнадцатых?

Чтобы найти длину восьми пятнадцатых частей ($8/15$) отрезка, нужно длину одной пятнадцатой части (которую мы нашли в предыдущем пункте) умножить на 8.
$6 \text{ мм} \times 8 = 48 \text{ мм}$.
Ответ: Длина восьми пятнадцатых частей отрезка равна 48 мм.

5 Составь задачу по чертежу и реши её.

$64 \text{ км/ч}$

$59 \text{ км/ч}$

$?$

Составь и реши три задачи, обратные данной.

Составь задачу по чертежу и реши её.

Условие задачи:
Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два грузовика. Скорость первого грузовика (зеленого) $v_1 = 64$ км/ч, а скорость второго грузовика (оранжевого) $v_2 = 59$ км/ч. Они встретились через $t = 5$ часов (на схеме 5 отрезков до флажка, обозначающего место встречи). Какое расстояние было между пунктами?

Решение:
Чтобы найти общее расстояние, нужно найти скорость сближения грузовиков и умножить её на время в пути до встречи. Скорость сближения — это сумма скоростей объектов, движущихся навстречу друг другу.

1) Найдем скорость сближения грузовиков:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 64 + 59 = 123$ (км/ч)

2) Найдем расстояние между пунктами, умножив скорость сближения на время до встречи:
$S = v_{сбл} \times t = 123 \times 5 = 615$ (км)

Ответ: расстояние между пунктами было 615 км.

Составь и реши три задачи, обратные данной.

Обратная задача 1 (находим время)

Условие: Из двух пунктов, расстояние между которыми 615 км, навстречу друг другу одновременно выехали два грузовика. Скорость первого грузовика 64 км/ч, а скорость второго — 59 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:
1) Найдем скорость сближения грузовиков:
$v_{сбл} = 64 + 59 = 123$ (км/ч)

2) Найдем время до встречи, разделив общее расстояние на скорость сближения:
$t = S / v_{сбл} = 615 / 123 = 5$ (ч)

Ответ: грузовики встретятся через 5 часов.

Обратная задача 2 (находим скорость первого грузовика)

Условие: Из двух пунктов, расстояние между которыми 615 км, навстречу друг другу одновременно выехали два грузовика и встретились через 5 часов. Скорость второго грузовика была 59 км/ч. С какой скоростью ехал первый грузовик?

Решение:
1) Найдем общую скорость сближения грузовиков, разделив расстояние на время:
$v_{сбл} = S / t = 615 / 5 = 123$ (км/ч)

2) Найдем скорость первого грузовика, вычтя из скорости сближения скорость второго грузовика:
$v_1 = v_{сбл} - v_2 = 123 - 59 = 64$ (км/ч)

Ответ: скорость первого грузовика 64 км/ч.

Обратная задача 3 (находим скорость второго грузовика)

Условие: Из двух пунктов, расстояние между которыми 615 км, навстречу друг другу одновременно выехали два грузовика и встретились через 5 часов. Скорость первого грузовика была 64 км/ч. С какой скоростью ехал второй грузовик?

Решение:
1) Найдем общую скорость сближения грузовиков, разделив расстояние на время:
$v_{сбл} = S / t = 615 / 5 = 123$ (км/ч)

2) Найдем скорость второго грузовика, вычтя из скорости сближения скорость первого грузовика:
$v_2 = v_{сбл} - v_1 = 123 - 64 = 59$ (км/ч)

Ответ: скорость второго грузовика 59 км/ч.

6 Туристы заметили, что трёхлитровую банку можно наполнить водой из родника за 50 с. Сколько воды вытекает из этого родника за 1 ч? за 1 сут.?

Для решения задачи сначала определим, сколько воды вытекает из родника за одну секунду. Это называется скоростью потока.

Дано, что трёхлитровая банка ($3$ л) наполняется за $50$ секунд. Значит, скорость потока равна:

$3 \text{ л} \div 50 \text{ с} = 0,06 \text{ л/с}$

Теперь, зная скорость потока, мы можем рассчитать объем воды за любой промежуток времени.

Сколько воды вытекает из этого родника за 1 ч?

Сначала переведём 1 час в секунды. В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд.

$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин} = 3600 \text{ с}$

Теперь умножим скорость потока на количество секунд в часе, чтобы найти общий объём воды:

$0,06 \text{ л/с} \times 3600 \text{ с} = 216 \text{ л}$

Ответ: 216 литров.

Сколько воды вытекает из этого родника за 1 сут.?

В одних сутках 24 часа. Мы уже знаем, что за 1 час вытекает 216 литров воды. Чтобы найти, сколько воды вытечет за сутки, нужно умножить часовой объём на 24.

$216 \text{ л/ч} \times 24 \text{ ч} = 5184 \text{ л}$

Ответ: 5184 литра.

7 Вычисли среднее арифметическое:

1) 379 и 401;

2) 57, 48 и 39;

3) 6 150 и 6 240;

4) 5 м 7 дм, 4 м 8 дм и 3 м 9 дм.

Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить полученную сумму на количество этих чисел.

1) Для чисел 379 и 401:

$ \frac{379 + 401}{2} = \frac{780}{2} = 390 $
Ответ: 390.

2) Для чисел 57, 48 и 39:

$ \frac{57 + 48 + 39}{3} = \frac{144}{3} = 48 $
Ответ: 48.

3) Для чисел 6 150 и 6 240:

$ \frac{6150 + 6240}{2} = \frac{12390}{2} = 6195 $
Ответ: 6195.

4) Для величин 5 м 7 дм, 4 м 8 дм и 3 м 9 дм:

Сначала переведём все величины в одну единицу измерения, например в дециметры (дм), зная, что 1 м = 10 дм.
5 м 7 дм = $5 \cdot 10 + 7 = 57$ дм
4 м 8 дм = $4 \cdot 10 + 8 = 48$ дм
3 м 9 дм = $3 \cdot 10 + 9 = 39$ дм
Теперь найдём их среднее арифметическое:
$ \frac{57 + 48 + 39}{3} = \frac{144}{3} = 48 $ дм
Переведём ответ обратно в метры и дециметры: 48 дм = 4 м 8 дм.
Ответ: 4 м 8 дм.

8. С участка площадью 4 а собрали 370 кг свёклы, а с участка площадью 5 а — 440 кг свёклы. Сколько килограммов свёклы собрали в среднем с 1 а?

Чтобы определить, сколько килограммов свёклы собрали в среднем с 1 ара (а), нужно найти общую массу собранного урожая и общую площадь, с которой он был собран, а затем разделить общую массу на общую площадь.

1. Найдём общую площадь двух участков.

Складываем площади первого и второго участков:

$4 \text{ а} + 5 \text{ а} = 9 \text{ а}$

Общая площадь двух участков составляет 9 а.

2. Найдём общую массу свёклы, собранной с двух участков.

Складываем массу свёклы, собранной с каждого участка:

$370 \text{ кг} + 440 \text{ кг} = 810 \text{ кг}$

Общая масса собранной свёклы равна 810 кг.

3. Рассчитаем, сколько килограммов свёклы собрали в среднем с 1 ара.

Для этого разделим общую массу свёклы на общую площадь:

$810 \text{ кг} \div 9 \text{ а} = 90 \text{ кг/а}$

Ответ: в среднем с 1 а собрали 90 кг свёклы.

9 Какие цифры надо поставить вместо пропусков в делимом, частном и остатке, чтобы в результате деления получился наибольший из возможных остатков?

$6\square : 17 = \square \text{ (ост. } \square\square\text{)}$

$2\square4 : 51 = \square \text{ (ост. } \square\square\text{)}$

$4\square9 : 46 = \square \text{ (ост. } \square\square\text{)}$

Чтобы в результате деления получился наибольший из возможных остатков, остаток должен быть на единицу меньше делителя. Это следует из определения деления с остатком, где остаток всегда строго меньше делителя. Таким образом, для делителя $d$ наибольший возможный остаток равен $d - 1$.

6 ☐ : 17 = ☐ (ост. ☐☐)

1. Находим наибольший возможный остаток. Делитель равен 17, значит, наибольший остаток будет $17 - 1 = 16$.
2. Теперь нужно найти делимое вида 6☐, которое при делении на 17 даст частное $q$ и остаток 16. Воспользуемся формулой: $делимое = делитель \cdot частное + остаток$.
$6☐ = 17 \cdot q + 16$.
3. Подберём частное $q$ так, чтобы результат был в промежутке от 60 до 69.
- Если $q = 2$, то $17 \cdot 2 + 16 = 34 + 16 = 50$. (Не подходит)
- Если $q = 3$, то $17 \cdot 3 + 16 = 51 + 16 = 67$. (Подходит)
- Если $q = 4$, то $17 \cdot 4 + 16 = 68 + 16 = 84$. (Не подходит)
Таким образом, пропущенная цифра в делимом — 7, а частное равно 3.
Проверка: $67 \div 17 = 3$ (остаток $67 - 17 \cdot 3 = 67 - 51 = 16$).
Ответ: 67 : 17 = 3 (ост. 16)

2 ☐ 4 : 51 = ☐ (ост. ☐☐)

1. Находим наибольший возможный остаток. Делитель равен 51, значит, наибольший остаток будет $51 - 1 = 50$.
2. Ищем делимое вида 2☐4, которое при делении на 51 даст частное $q$ и остаток 50.
$2☐4 = 51 \cdot q + 50$.
3. Подберём частное $q$.
- Если $q = 3$, то $51 \cdot 3 + 50 = 153 + 50 = 203$. (Не подходит, последняя цифра 3, а не 4)
- Если $q = 4$, то $51 \cdot 4 + 50 = 204 + 50 = 254$. (Подходит, так как имеет вид 2☐4)
- Если $q = 5$, то $51 \cdot 5 + 50 = 255 + 50 = 305$. (Не подходит, первая цифра 3, а не 2)
Следовательно, пропущенная цифра в делимом — 5, а частное равно 4.
Проверка: $254 \div 51 = 4$ (остаток $254 - 51 \cdot 4 = 254 - 204 = 50$).
Ответ: 254 : 51 = 4 (ост. 50)

4 ☐ 9 : 46 = ☐ (ост. ☐☐)

1. Находим наибольший возможный остаток. Делитель равен 46, значит, наибольший остаток будет $46 - 1 = 45$.
2. Ищем делимое вида 4☐9, которое при делении на 46 даст частное $q$ и остаток 45.
$4☐9 = 46 \cdot q + 45$.
3. Подберём частное $q$. Частное должно быть однозначным, так как для него в условии один пропуск.
- Если $q = 8$, то $46 \cdot 8 + 45 = 368 + 45 = 413$. (Не подходит, последняя цифра 3, а не 9)
- Если $q = 9$, то $46 \cdot 9 + 45 = 414 + 45 = 459$. (Подходит, так как имеет вид 4☐9)
- Если $q = 10$, то частное будет двузначным, что не соответствует условию.
Значит, пропущенная цифра в делимом — 5, а частное равно 9.
Проверка: $459 \div 46 = 9$ (остаток $459 - 46 \cdot 9 = 459 - 414 = 45$).
Ответ: 459 : 46 = 9 (ост. 45)