Страница 112, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Дорофеев, Миракова

6 Прочитай числа, записанные в таблице. Объясни, сколько в каждом числе единиц первого класса и сколько единиц второго класса.

Первое число — 275 624 (двести семьдесят пять тысяч шестьсот двадцать четыре).
Второй класс (класс тысяч) представлен цифрами 2, 7, 5. Эти цифры образуют число 275. Таким образом, в этом числе 275 единиц второго класса (275 тысяч).
Первый класс (класс единиц) представлен цифрами 6, 2, 4. Эти цифры образуют число 624. Таким образом, в этом числе 624 единицы первого класса.
Число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых по классам: $275 \times 1000 + 624 = 275 624$.
Ответ: в числе 275 624 содержится 275 единиц второго класса и 624 единицы первого класса.

Второе число — 391 408 (триста девяносто одна тысяча четыреста восемь).
Второй класс (класс тысяч) представлен цифрами 3, 9, 1. Эти цифры образуют число 391. Таким образом, в этом числе 391 единица второго класса (391 тысяча).
Первый класс (класс единиц) представлен цифрами 4, 0, 8. Эти цифры образуют число 408. Таким образом, в этом числе 408 единиц первого класса.
Число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых по классам: $391 \times 1000 + 408 = 391 408$.
Ответ: в числе 391 408 содержится 391 единица второго класса и 408 единиц первого класса.

Третье число — 760 005 (семьсот шестьдесят тысяч пять).
Второй класс (класс тысяч) представлен цифрами 7, 6, 0. Эти цифры образуют число 760. Таким образом, в этом числе 760 единиц второго класса (760 тысяч).
Первый класс (класс единиц) представлен цифрами 0, 0, 5. Эти цифры образуют число 5. Таким образом, в этом числе 5 единиц первого класса.
Число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых по классам: $760 \times 1000 + 5 = 760 005$.
Ответ: в числе 760 005 содержится 760 единиц второго класса и 5 единиц первого класса.

Четвертое число — 402 090 (четыреста две тысячи девяносто).
Второй класс (класс тысяч) представлен цифрами 4, 0, 2. Эти цифры образуют число 402. Таким образом, в этом числе 402 единицы второго класса (402 тысячи).
Первый класс (класс единиц) представлен цифрами 0, 9, 0. Эти цифры образуют число 90. Таким образом, в этом числе 90 единиц первого класса.
Число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых по классам: $402 \times 1000 + 90 = 402 090$.
Ответ: в числе 402 090 содержится 402 единицы второго класса и 90 единиц первого класса.

Пятое число — 100 000 (сто тысяч).
Второй класс (класс тысяч) представлен цифрами 1, 0, 0. Эти цифры образуют число 100. Таким образом, в этом числе 100 единиц второго класса (100 тысяч).
Первый класс (класс единиц) представлен цифрами 0, 0, 0. Это означает, что единицы первого класса отсутствуют, то есть их 0.
Число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых по классам: $100 \times 1000 + 0 = 100 000$.
Ответ: в числе 100 000 содержится 100 единиц второго класса и 0 единиц первого класса.

7 Запиши цифрами число, которое содержит:

1) 234 единицы второго класса и 109 единиц первого класса;

2) 630 единиц второго класса и 481 единицу первого класса;

3) 300 единиц второго класса и 200 единиц первого класса;

4) 75 единиц второго класса и 8 единиц первого класса.

Для того чтобы записать число по его классовому составу, необходимо понимать структуру классов в десятичной системе счисления. Числа группируются по три разряда (цифры) в классы, начиная справа:

• Первый класс (класс единиц) включает в себя разряды единиц, десятков и сотен.
• Второй класс (класс тысяч) включает в себя разряды единиц тысяч, десятков тысяч и сотен тысяч.

Чтобы составить искомое число, мы записываем цифры второго класса (тысяч), а затем справа дописываем цифры первого класса (единиц). Важно помнить, что каждый класс (кроме самого старшего) должен содержать три цифры. Если в классе единиц указано число с меньшим количеством цифр, его необходимо дополнить нулями слева до трехзначного представления.

1) 234 единицы второго класса и 109 единиц первого класса;
Число состоит из 234 тысяч и 109 единиц. Записываем сначала количество единиц второго класса — 234, а затем количество единиц первого класса — 109.
В виде суммы разрядных слагаемых это можно записать так: $234 \times 1000 + 109 = 234000 + 109 = 234109$.
Получается число 234 109.
Ответ: 234 109.

2) 630 единиц второго класса и 481 единицу первого класса;
Число состоит из 630 тысяч и 481 единицы. Записываем сначала 630, а затем 481.
Математически: $630 \times 1000 + 481 = 630000 + 481 = 630481$.
Получается число 630 481.
Ответ: 630 481.

3) 300 единиц второго класса и 200 единиц первого класса;
Число состоит из 300 тысяч и 200 единиц. Записываем сначала 300, а затем 200.
Математически: $300 \times 1000 + 200 = 300000 + 200 = 300200$.
Получается число 300 200.
Ответ: 300 200.

4) 75 единиц второго класса и 8 единиц первого класса.
Число состоит из 75 тысяч и 8 единиц. В классе единиц должно быть три цифры, поэтому 8 мы представляем как 008. Сначала записываем 75, а затем 008.
Математически: $75 \times 1000 + 8 = 75000 + 8 = 75008$.
Получается число 75 008.
Ответ: 75 008.

8 На ремонт кровли пятиэтажного дома израсходовали 550 000 р., а четырёхэтажного — на 138 000 р. меньше. Сколько всего денег израсходовали на ремонт кровли обоих домов?

Для того чтобы найти общую сумму, потраченную на ремонт кровли обоих домов, необходимо сначала вычислить стоимость ремонта кровли четырёхэтажного дома, а затем сложить её со стоимостью ремонта пятиэтажного дома.

1. Вычислим стоимость ремонта кровли четырёхэтажного дома.

Известно, что на ремонт пятиэтажного дома израсходовали 550 000 рублей, а на ремонт четырёхэтажного — на 138 000 рублей меньше. Чтобы найти стоимость ремонта четырёхэтажного дома, нужно из стоимости ремонта пятиэтажного вычесть 138 000.

$550000 - 138000 = 412000$ (рублей)

2. Вычислим, сколько всего денег израсходовали на ремонт кровли обоих домов.

Теперь сложим стоимость ремонта кровли пятиэтажного дома и стоимость ремонта кровли четырёхэтажного дома, которую мы нашли в первом действии.

$550000 + 412000 = 962000$ (рублей)

Ответ: на ремонт кровли обоих домов израсходовали 962 000 рублей.

9 Выпиши обозначения острых углов каждого треугольника.

Острые углы:

Треугольник ASD: $ \angle A, \angle S $

Треугольник KFL: $ \angle K, \angle F $

Треугольник BMQ: $ \angle M, \angle Q $

Есть ли на чертеже хотя бы один прямой угол; хотя бы один тупой угол? Если есть, запиши его обозначение.

Прямой угол:

$ \angle L $

Тупой угол:

$ \angle D, \angle B $

Выпиши обозначения острых углов каждого треугольника.

Острый угол — это угол, который меньше прямого, то есть его градусная мера меньше $90^\circ$.

1. В треугольнике ASD (желтый) все три угла являются острыми, так как каждый из них на вид меньше $90^\circ$.
Ответ: A, S, D.

2. В треугольнике KFL (синий) угол F выглядит как прямой, то есть равный $90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому два других угла, K и L, должны быть острыми.
Ответ: K, L.

3. В треугольнике BMQ (розовый) угол M на вид больше $90^\circ$, то есть он тупой. В тупоугольном треугольнике два других угла всегда острые.
Ответ: B, Q.

Есть ли на чертеже хотя бы один прямой угол; хотя бы один тупой угол? Если есть, запиши его обозначение.

Да, на чертеже присутствуют и прямой, и тупой углы.
Прямой угол (угол, равный $90^\circ$) — это угол F в треугольнике KFL.
Тупой угол (угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$) — это угол M в треугольнике BMQ.
Ответ: Прямой угол — F, тупой угол — M.

3 Собственная скорость катера $20 \, \text{км/ч}$, а скорость течения реки $2 \, \text{км/ч}$. Сколько времени затратит катер на путь по этой реке между двумя городами, если расстояние между ними равно $198 \, \text{км}$? Рассмотри два варианта:

1) катер движется по течению реки;

2) катер движется против течения реки.

Для решения этой задачи необходимо определить скорость катера в каждом из двух случаев, а затем, зная расстояние, вычислить время в пути по формуле $t = S/V$, где $S$ — расстояние, $V$ — скорость, $t$ — время.

Исходные данные:

• Собственная скорость катера: $V_{собст} = 20$ км/ч
• Скорость течения реки: $V_{теч} = 2$ км/ч
• Расстояние: $S = 198$ км

1) катер движется по течению реки

При движении по течению скорость катера равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки. Найдем скорость катера по течению ($V_{по}$):

$V_{по} = V_{собст} + V_{теч} = 20 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 22 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем время, которое катер затратит на путь:

$t = S / V_{по} = 198 \text{ км} / 22 \text{ км/ч} = 9 \text{ ч}$

Ответ: 9 часов.

2) катер движется против течения реки

При движении против течения скорость катера равна разности его собственной скорости и скорости течения реки. Найдем скорость катера против течения ($V_{против}$):

$V_{против} = V_{собст} - V_{теч} = 20 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

Теперь рассчитаем время, которое катер затратит на путь:

$t = S / V_{против} = 198 \text{ км} / 18 \text{ км/ч} = 11 \text{ ч}$

Ответ: 11 часов.

4 Рассмотри таблицу и объясни, что означает каждое выражение, записанное под ней.

$56 + 63$

$63 - 56$

$56 \cdot 2$

$63 \cdot 3$

$63 \cdot 3 - 56 \cdot 2$

56 + 63 — это сумма скоростей поезда и автомобиля. Данное выражение может означать скорость сближения (если они движутся навстречу) или скорость удаления (если они движутся в противоположных направлениях).
$56 \text{ км/ч} + 63 \text{ км/ч} = 119 \text{ км/ч}$.
Ответ: $119$ км/ч.

63 - 56 — это разность скоростей автомобиля и поезда. Это выражение показывает, на сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости поезда.
$63 \text{ км/ч} - 56 \text{ км/ч} = 7 \text{ км/ч}$.
Ответ: $7$ км/ч.

56 · 2 — это произведение скорости поезда на время его движения. Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время ($S = v \cdot t$). Значит, это выражение означает расстояние, которое проехал поезд.
$56 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 112 \text{ км}$.
Ответ: $112$ км.

63 · 3 — это произведение скорости автомобиля на время его движения. По формуле $S = v \cdot t$, это выражение означает расстояние, которое проехал автомобиль.
$63 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 189 \text{ км}$.
Ответ: $189$ км.

63 · 3 - 56 · 2 — это разность расстояний, пройденных автомобилем и поездом. Выражение показывает, на сколько километров больше проехал автомобиль, чем поезд.
$189 \text{ км} - 112 \text{ км} = 77 \text{ км}$.
Ответ: $77$ км.

6 м 8 см O 680 см

12 р. 3 к. O 1 023 к.

7 га 90 $м^2$ O 709 а

34 050 м O 34 км 50 м

20 004 кг O 20 ц 4 кг

5 200 $дм^2$ O 502 $м^2$

2 ч 15 мин O 75 мин

31 дм 7 см O 317 см

7 га 8 а O 7 800 $м^2$

6 Начерти в тетради отрезок, который составляет: $\frac{5}{8}$ отрезка AB; $\frac{3}{4}$ отрезка AB; $\frac{1}{2}$ отрезка AB.

Для выполнения этого задания необходимо сначала определить длину исходного отрезка AB. Поскольку она не задана, мы можем выбрать удобное для вычислений значение. В задании даны дроби со знаменателями 4, 2 и 8. Наименьшее общее кратное этих чисел — 8. Поэтому примем длину отрезка AB равной 8 сантиметрам (или 8 клеткам в тетради), чтобы было легко делить его на части.

Итак, пусть длина отрезка AB = 8 см.

$\frac{3}{4}$ отрезка AB

Чтобы найти длину отрезка, составляющего $\frac{3}{4}$ от AB, необходимо длину AB разделить на знаменатель дроби (4) и полученный результат умножить на числитель (3).

1. Найдем, чему равна $\frac{1}{4}$ отрезка AB:

$8 \text{ см} \div 4 = 2 \text{ см}$.

2. Теперь вычислим длину $\frac{3}{4}$ отрезка AB, умножив длину одной части на 3:

$2 \text{ см} \times 3 = 6 \text{ см}$.

Таким образом, искомый отрезок должен иметь длину 6 см.

Ответ: начертите отрезок длиной 6 см.

$\frac{1}{2}$ отрезка AB

Чтобы найти $\frac{1}{2}$ отрезка AB, нужно его длину разделить на 2 (знаменатель) и умножить на 1 (числитель), то есть найти половину его длины.

Вычислим половину длины отрезка AB:

$8 \text{ см} \div 2 = 4 \text{ см}$.

Таким образом, искомый отрезок должен иметь длину 4 см.

Ответ: начертите отрезок длиной 4 см.

$\frac{5}{8}$ отрезка AB

Чтобы найти длину отрезка, составляющего $\frac{5}{8}$ от AB, необходимо длину AB разделить на знаменатель дроби (8) и полученный результат умножить на числитель (5).

1. Найдем, чему равна $\frac{1}{8}$ отрезка AB:

$8 \text{ см} \div 8 = 1 \text{ см}$.

2. Теперь вычислим длину $\frac{5}{8}$ отрезка AB, умножив длину одной части на 5:

$1 \text{ см} \times 5 = 5 \text{ см}$.

Таким образом, искомый отрезок должен иметь длину 5 см.

Ответ: начертите отрезок длиной 5 см.

7. Мастерская сшила 8 одинаковых пальто и несколько одинаковых костюмов, израсходовав 61 м материи. На каждое пальто расходовали по 3 м 25 см материи, а на каждый костюм — на 25 см больше материи, чем на пальто. Сколько костюмов сшила мастерская?

Для решения задачи выполним последовательно несколько действий. Сначала для удобства вычислений переведем все величины в сантиметры.

В 1 метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).

• Общий расход материи: $61 \text{ м} = 61 \times 100 \text{ см} = 6100 \text{ см}$.
• Расход материи на одно пальто: $3 \text{ м } 25 \text{ см} = 3 \times 100 \text{ см} + 25 \text{ см} = 325 \text{ см}$.

1. Вычислим, сколько всего материи ушло на пошив 8 пальто.

Для этого умножим количество пальто на расход материи на одно пальто:

$8 \times 325 \text{ см} = 2600 \text{ см}$

2. Определим, сколько материи расходовали на один костюм.

Согласно условию, на каждый костюм уходило на 25 см больше материи, чем на пальто:

$325 \text{ см} + 25 \text{ см} = 350 \text{ см}$

3. Найдем, сколько всего материи ушло на пошив всех костюмов.

Для этого вычтем из общего расхода материи тот объем, что пошел на пальто:

$6100 \text{ см} - 2600 \text{ см} = 3500 \text{ см}$

4. Узнаем, сколько костюмов сшила мастерская.

Для этого разделим общий расход материи на костюмы на расход для одного костюма:

$3500 \text{ см} \div 350 \text{ см} = 10$

Ответ: мастерская сшила 10 костюмов.

8 Расставь скобки так, чтобы записи стали верными.

$50 \cdot 8 - 6 : 2 = 250$

$50 \cdot 8 - 6 : 2 = 50$

$50 \cdot 8 - 6 : 2 = 197$

Чтобы равенства стали верными, необходимо правильно расставить скобки, которые изменяют порядок выполнения действий. Помним, что действия в скобках выполняются в первую очередь. В остальном стандартный порядок: сначала умножение и деление (слева направо), а затем сложение и вычитание (слева направо).

Проанализируем выражение. Чтобы получить в итоге 250, нужно $50$ умножить на $5$. Пятерку можно получить из части выражения $8 - 6 : 2$. Для этого сначала нужно выполнить деление, а потом вычитание. Это соответствует стандартному порядку действий, но чтобы подчеркнуть, что эти операции должны быть выполнены до умножения на 50, заключим их в скобки.

Расставим скобки следующим образом: $50 \cdot (8 - 6 : 2)$.

Проверим по действиям:

1. Первое действие в скобках — деление: $6 : 2 = 3$.

2. Второе действие в скобках — вычитание: $8 - 3 = 5$.

3. Последнее действие — умножение: $50 \cdot 5 = 250$.

Равенство $250 = 250$ верно.

Ответ: $50 \cdot (8 - 6 : 2) = 250$.

Чтобы получить 50, можно, например, $100$ разделить на $2$. $100$ можно получить, умножив $50$ на $2$. Двойку, в свою очередь, можно получить, вычтя из $8$ число $6$. Чтобы изменить стандартный порядок действий и выполнить вычитание перед умножением, поставим скобки вокруг $8 - 6$.

Расставим скобки следующим образом: $50 \cdot (8 - 6) : 2$.

Проверим по действиям:

1. Первое действие в скобках: $8 - 6 = 2$.

2. Далее выполняем действия по порядку слева направо, сначала умножение: $50 \cdot 2 = 100$.

3. Затем деление: $100 : 2 = 50$.

Равенство $50 = 50$ верно.

Ответ: $50 \cdot (8 - 6) : 2 = 50$.

Чтобы получить 197, можно попробовать разделить какое-то число на 2. Это число должно быть $197 \cdot 2 = 394$. Число 394 можно получить из выражения $50 \cdot 8 - 6$. Чтобы сначала выполнить умножение и вычитание, а только потом деление, заключим их в скобки.

Расставим скобки следующим образом: $(50 \cdot 8 - 6) : 2$.

Проверим по действиям:

1. Первое действие в скобках — умножение: $50 \cdot 8 = 400$.

2. Второе действие в скобках — вычитание: $400 - 6 = 394$.

3. Последнее действие — деление: $394 : 2 = 197$.

Равенство $197 = 197$ верно.

Ответ: $(50 \cdot 8 - 6) : 2 = 197$.

9 (Старинная задача.)

Нагруженные осёл и мул идут очень медленно. Осёл жалуется на непосильную ношу, а мул отвечает: «Что ты жалуешься? Если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в 2 раза тяжелее твоей. А если ты возьмёшь один мой мешок, то наши ноши будут равны». По скольку мешков несли осёл и мул?

Для решения этой старинной задачи введём переменные и составим систему уравнений. Пусть $o$ — это количество мешков, которое изначально нёс осёл, а $м$ — количество мешков, которое нёс мул.

Рассмотрим первое условие, которое озвучил мул: «Если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в 2 раза тяжелее твоей». В этом случае у осла останется $o - 1$ мешок, а у мула станет $м + 1$ мешок. Математически это условие можно записать в виде уравнения:

$м + 1 = 2(o - 1)$

Теперь рассмотрим второе условие: «А если ты возьмёшь один мой мешок, то наши ноши будут равны». В этом случае у осла станет $o + 1$ мешок, а у мула останется $м - 1$ мешок. Это даёт нам второе уравнение:

$o + 1 = м - 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} м + 1 = 2(o - 1) \\ o + 1 = м - 1 \end{cases} $

Проще всего начать решение со второго уравнения. Выразим $м$ через $o$:

$o + 1 = м - 1$

$м = o + 1 + 1$

$м = o + 2$

Теперь подставим это выражение для $м$ в первое уравнение системы:

$(o + 2) + 1 = 2(o - 1)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $o$:

$o + 3 = 2o - 2$

$3 + 2 = 2o - o$

$o = 5$

Мы нашли, что осёл нёс 5 мешков. Теперь найдём количество мешков, которое нёс мул, подставив значение $o$ в выражение $м = o + 2$:

$м = 5 + 2$

$м = 7$

Таким образом, мул нёс 7 мешков.

Проверка:

1. Если мул (7 мешков) возьмёт один мешок у осла (5 мешков), у мула станет $7+1=8$ мешков, а у осла останется $5-1=4$ мешка. 8 ровно в 2 раза больше 4. Условие выполняется.

2. Если осёл (5 мешков) возьмёт один мешок у мула (7 мешков), у осла станет $5+1=6$ мешков, а у мула останется $7-1=6$ мешков. Их ноши станут равны. Условие выполняется.

Ответ: Осёл нёс 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.