Номер 10, страница 100, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Расшифруй ребус. (Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными — разные.)

$НИТКА + НИТКА = ТКАНЬ$

Данный ребус представляет собой математическое равенство, где каждая буква заменяет одну цифру от 0 до 9. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные. Первые цифры в числах не могут быть нулём.

Запишем ребус в виде столбика:

 Н И Т К А+ Н И Т К А----------- Т К А Н Ь

Это эквивалентно уравнению: $2 \cdot (\text{НИТКА}) = \text{ТКАНЬ}$.

Поскольку при удвоении пятизначного числа "НИТКА" получается пятизначное число "ТКАНЬ", это означает, что при сложении в самом левом разряде не происходит переноса единицы в старший разряд. Математически это означает, что $2 \cdot Н < 10$. Так как Н — первая цифра числа, $Н \neq 0$. Следовательно, буква Н может обозначать только цифры 1, 2, 3 или 4.

Распишем сложение по разрядам, вводя переменные $c_1, c_2, c_3, c_4$ для переносов из младшего разряда в старший (справа налево). Эти переменные могут принимать значения 0 или 1.

1. Разряд единиц: $2 \cdot А = Ь + 10c_1$
2. Разряд десятков: $2 \cdot К + c_1 = Н + 10c_2$
3. Разряд сотен: $2 \cdot Т + c_2 = А + 10c_3$
4. Разряд тысяч: $2 \cdot И + c_3 = К + 10c_4$
5. Разряд десятков тысяч: $2 \cdot Н + c_4 = Т$

Будем последовательно перебирать возможные значения для Н.

1. Пусть Н = 1.

Из уравнения 5: $2 \cdot 1 + c_4 = Т \Rightarrow Т = 2 + c_4$. Так как $c_4$ может быть 0 или 1, то Т может быть 2 или 3.

• а) Предположим, $c_4=0$, тогда $Т=2$.
  Из уравнения 3: $2 \cdot 2 + c_2 = А + 10c_3 \Rightarrow 4 + c_2 = А + 10c_3$. Поскольку А — это цифра (А ≤ 9), то $c_3$ должно быть 0. Отсюда $А = 4 + c_2$.
  - Если $c_2=0$, то $А=4$. Тогда из уравнения 2: $2 \cdot К + c_1 = 1 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 2К + c_1 = 1$. Единственное решение: $К=0$, $c_1=1$. Теперь из уравнения 4: $2 \cdot И + c_3 = К + 10c_4 \Rightarrow 2 \cdot И + 0 = 0 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 2И = 0 \Rightarrow И=0$. Но у нас уже $К=0$, а разные буквы должны обозначать разные цифры. Значит, этот вариант не подходит.
  - Если $c_2=1$, то $А=5$. Тогда из уравнения 2: $2 \cdot К + c_1 = 1 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 2К + c_1 = 11$. Единственное решение: $К=5$, $c_1=1$. Но у нас уже $А=5$. Этот вариант также не подходит.
• б) Предположим, $c_4=1$, тогда $Т=3$.
  Из уравнения 3: $2 \cdot 3 + c_2 = А + 10c_3 \Rightarrow 6 + c_2 = А + 10c_3$. Отсюда $c_3=0$ и $А = 6 + c_2$.
  - Если $c_2=0$, то $А=6$. Тогда из уравнения 2: $2 \cdot К + c_1 = 1 + 10 \cdot 0 \Rightarrow 2К + c_1 = 1$. Единственное решение: $К=0$, $c_1=1$. Теперь из уравнения 4: $2 \cdot И + c_3 = К + 10c_4 \Rightarrow 2 \cdot И + 0 = 0 + 10 \cdot 1 \Rightarrow 2И = 10 \Rightarrow И=5$.
  На данный момент мы имеем: $Н=1, И=5, Т=3, К=0, А=6$. Все цифры разные. Осталось найти Ь из уравнения 1: $2 \cdot А = Ь + 10c_1 \Rightarrow 2 \cdot 6 = Ь + 10 \cdot 1 \Rightarrow 12 = Ь + 10 \Rightarrow Ь=2$. Получили полный набор уникальных цифр: $Н=1, И=5, Т=3, К=0, А=6, Ь=2$.

Проверим найденное решение:
НИТКА + НИТКА = 15306 + 15306 = 30612
ТКАНЬ = 30612
Равенство выполняется.

Дальнейший перебор для $Н=2, 3, 4$ не даёт решений. Например, для $Н=2$ получается $Т=4$ или $Т=5$. Оба случая приводят к противоречиям (либо к одинаковым цифрам для разных букв, либо к нецелым решениям для букв, либо к значениям, выходящим за пределы одной цифры). Аналогично для $Н=3$ и $Н=4$.

Таким образом, ребус имеет единственное решение.

Расшифровка ребуса:

• А = 6
• Ь = 2
• И = 5
• К = 0
• Н = 1
• Т = 3

Пример в цифрах: $15306 + 15306 = 30612$.

Ответ: $15306 + 15306 = 30612$.