Номер 10, страница 98, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

10 Докажи, что площадь зелёной фигуры равна площади жёлтой фигуры.

Для доказательства того, что площадь зелёной фигуры равна площади жёлтой фигуры, можно воспользоваться несколькими способами. Примем площадь одной клетки сетки за 1 квадратную единицу (кв. ед.).

1. Вся фигура целиком расположена внутри большого квадрата со стороной 6 клеток. Общая площадь этого квадрата составляет $S_{общая} = 6 \times 6 = 36$ кв. ед.

2. Жёлтая фигура состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, расположенных в углах большого квадрата.

3. Катеты каждого такого треугольника равны 3 клеткам.

4. Площадь одного жёлтого треугольника вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ кв. ед.

5. Общая площадь жёлтой фигуры равна сумме площадей четырёх треугольников: $S_{жёлтая} = 4 \times S_{треуг} = 4 \times 4.5 = 18$ кв. ед.

6. Зелёная фигура (повёрнутый квадрат) занимает всю оставшуюся площадь большого квадрата. Её площадь можно найти, вычтя из общей площади площадь жёлтой фигуры.

7. Площадь зелёной фигуры: $S_{зелёная} = S_{общая} - S_{жёлтая} = 36 - 18 = 18$ кв. ед.

8. Сравнивая полученные площади, мы видим, что $S_{зелёная} = 18$ кв. ед. и $S_{жёлтая} = 18$ кв. ед.

1. Вычислим площадь жёлтой фигуры. Как было показано в первом способе, жёлтая фигура состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников с катетами 3. Её общая площадь равна: $S_{жёлтая} = 4 \times (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) = 4 \times 4.5 = 18$ кв. ед.

2. Вычислим площадь зелёной фигуры. Зелёная фигура — это квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны ($S = a^2$). Мы можем найти квадрат стороны, не вычисляя саму сторону, с помощью теоремы Пифагора.

3. Сторона зелёного квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого можно построить по линиям сетки. Например, для стороны, соединяющей вершины в точках (3,0) и (0,3), катеты такого треугольника равны 3 и 3.

4. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (стороны $a$ зелёного квадрата) равен сумме квадратов катетов: $a^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$.

5. Площадь зелёной фигуры и есть квадрат её стороны: $S_{зелёная} = a^2 = 18$ кв. ед.

6. Сравнив результаты, мы снова убеждаемся, что $S_{зелёная} = 18$ кв. ед. и $S_{жёлтая} = 18$ кв. ед.

Ответ: Площадь зелёной фигуры равна 18 кв. ед., и площадь жёлтой фигуры также равна 18 кв. ед. Следовательно, их площади равны, что и требовалось доказать.