Страница 110, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

1. 1) Зная свойства диагоналей прямоугольника, можно построить прямоугольник на нелинованной бумаге, используя только циркуль и линейку.

Начерти любую окружность и проведи в ней 2 любых диаметра. Соедини концы диаметров отрезками.

Проверь, что получился прямоугольник.

2) Начерти в тетради любой прямоугольник, проведи в нём диагонали. Начерти окружность с центром в точке пересечения диагоналей. Объясни, почему окружность проходит через все вершины прямоугольника.

1)

Следуя инструкции, мы чертим окружность с центром в точке О. Затем проводим через центр О два произвольных диаметра, назовем их AC и BD. После этого соединяем концы диаметров отрезками, получая четырехугольник ABCD.

Теперь докажем, что полученный четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Диагоналями четырехугольника ABCD являются отрезки AC и BD.

1. Так как AC и BD являются диаметрами одной и той же окружности, их длины равны: $AC = BD$.
2. Диаметры любой окружности пересекаются в ее центре. В нашем случае, точка О является центром окружности и точкой пересечения диагоналей. Точка О также является серединой каждого диаметра. Следовательно, диагонали AC и BD делят друг друга пополам в точке пересечения O: $AO = OC = BO = OD$ (все эти отрезки равны радиусу окружности).

Мы получили четырехугольник, диагонали которого равны и точкой пересечения делятся пополам.

• Согласно свойству параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Согласно свойству прямоугольника, если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Следовательно, построенный четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: Построенная фигура является прямоугольником, потому что ее диагонали (диаметры окружности) равны и точкой пересечения (центром окружности) делятся пополам, что является основным свойством прямоугольника.

2)

Рассмотрим произвольный прямоугольник, назовем его ABCD. Проведем в нем диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке О.

Основными свойствами диагоналей прямоугольника являются:

1. Диагонали прямоугольника равны: $AC = BD$.
2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка O является серединой как для диагонали AC, так и для диагонали BD.

Из второго свойства следует, что $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Так как $AC = BD$, то и их половины равны: $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$.

Отсюда мы получаем, что все четыре отрезка, соединяющие центр О с вершинами прямоугольника, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$.

Это означает, что все вершины прямоугольника A, B, C и D находятся на одинаковом расстоянии от точки О. По определению, окружность — это множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки, называемой центром.

Таким образом, если мы начертим окружность с центром в точке О и радиусом, равным этому расстоянию (например, $R = AO$), то она обязательно пройдет через все четыре вершины прямоугольника.

Ответ: Окружность проходит через все вершины прямоугольника, потому что точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех его вершин. Это следует из того, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.