Страница 131, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

557 а) Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $\frac{22}{37}$, чтобы получить число, равное $0,5$?

б) Некоторое число вычли из числителя, прибавили к знаменателю дроби $\frac{7}{9}$ и после сокращения получили $\frac{1}{3}$. Какое это число?

а) Обозначим искомое число через $x$. Согласно условию, если вычесть это число из числителя и знаменателя дроби $\frac{22}{37}$, то получится число, равное 0,5. Составим и решим уравнение:

$\frac{22 - x}{37 - x} = 0,5$

Представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

$\frac{22 - x}{37 - x} = \frac{1}{2}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot (22 - x) = 1 \cdot (37 - x)$

Раскроем скобки:

$44 - 2x = 37 - x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть уравнения, а свободные члены — в левую, меняя знаки на противоположные:

$44 - 37 = 2x - x$

$7 = x$

Таким образом, из числителя и знаменателя нужно вычесть число 7.

Проверка: $\frac{22 - 7}{37 - 7} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 7

б) Обозначим искомое число через $x$. По условию, это число вычли из числителя дроби $\frac{7}{9}$ и прибавили к ее знаменателю. После этого получили дробь $\frac{1}{3}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{7 - x}{9 + x} = \frac{1}{3}$

Воспользуемся основным свойством пропорции:

$3 \cdot (7 - x) = 1 \cdot (9 + x)$

Раскроем скобки:

$21 - 3x = 9 + x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть уравнения, а свободные члены — в левую:

$21 - 9 = x + 3x$

$12 = 4x$

Найдем $x$:

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Таким образом, искомое число равно 3.

Проверка: $\frac{7 - 3}{9 + 3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Ответ: 3

557 a) Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $ \frac{22}{37} $, чтобы получить число, равное $ 0,5 $?

б) Некоторое число вычли из числителя, прибавили к знаменателю дроби $ \frac{7}{9} $ и после сокращения получили $ \frac{1}{3} $. Какое это число?

558. Упрости выражения и найди их значения:

а) $5(a - 1) - (2a + 3)$, если $a = -\frac{2}{3}$;

б) $-2(1 - 3b) + 4(2 - b)$, если $b = -0,2$;

в) $4\frac{1}{7} - (x + 1\frac{9}{14}) + 2x$, если $x = -1,5$;

г) $1\frac{1}{3} + 2y - (2\frac{3}{4} - y)$, если $y = -\frac{1}{9}$.

а) $5(a - 1) - (2a + 3)$, если $a = -\frac{2}{3}$

Сначала упростим выражение. Для этого раскроем скобки, учитывая знаки:

$5(a - 1) - (2a + 3) = 5 \cdot a - 5 \cdot 1 - 2a - 3 = 5a - 5 - 2a - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной 'a' и свободные члены):

$(5a - 2a) + (-5 - 3) = 3a - 8$

Подставим значение $a = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:

$3 \cdot (-\frac{2}{3}) - 8 = -2 - 8 = -10$

Ответ: $-10$

б) $-2(1 - 3b) + 4(2 - b)$, если $b = -0,2$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$-2(1 - 3b) + 4(2 - b) = -2 \cdot 1 - 2 \cdot (-3b) + 4 \cdot 2 + 4 \cdot (-b) = -2 + 6b + 8 - 4b$

Приведем подобные слагаемые:

$(6b - 4b) + (-2 + 8) = 2b + 6$

Подставим значение $b = -0,2$ в полученное выражение:

$2 \cdot (-0,2) + 6 = -0,4 + 6 = 5,6$

Ответ: $5,6$

в) $4\frac{1}{7} - (x + 1\frac{9}{14}) + 2x$, если $x = -1,5$

Раскроем скобки в выражении:

$4\frac{1}{7} - x - 1\frac{9}{14} + 2x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-x + 2x) + (4\frac{1}{7} - 1\frac{9}{14})$

Упростим каждую группу. Для вычитания смешанных дробей приведем их к общему знаменателю $14$:

$x + (4\frac{2}{14} - 1\frac{9}{14}) = x + (3\frac{16}{14} - 1\frac{9}{14}) = x + 2\frac{7}{14} = x + 2\frac{1}{2}$

Подставим значение $x = -1,5$. Представим $2\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби $2,5$ для удобства вычисления:

$-1,5 + 2,5 = 1$

Ответ: $1$

г) $1\frac{1}{3} + 2y - (2\frac{3}{4} - y)$, если $y = -\frac{1}{9}$

Упростим выражение, начав с раскрытия скобок:

$1\frac{1}{3} + 2y - 2\frac{3}{4} + y$

Приведем подобные слагаемые:

$(2y + y) + (1\frac{1}{3} - 2\frac{3}{4}) = 3y + (\frac{4}{3} - \frac{11}{4}) = 3y + (\frac{16}{12} - \frac{33}{12}) = 3y - \frac{17}{12}$

Теперь подставим значение $y = -\frac{1}{9}$ в упрощенное выражение:

$3 \cdot (-\frac{1}{9}) - \frac{17}{12} = -\frac{3}{9} - \frac{17}{12} = -\frac{1}{3} - \frac{17}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю $12$:

$-\frac{4}{12} - \frac{17}{12} = -\frac{21}{12} = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4}$

Ответ: $-1\frac{3}{4}$

558 Упрости выражения и найди их значения:

а) $5(a - 1) - (2a + 3)$, если $a = -\frac{2}{3}$;

б) $-2(1 - 3b) + 4(2 - b)$, если $b = -0,2$;

в) $4\frac{1}{7} - (x + 1\frac{9}{14}) + 2x$, если $x = -1,5$;

г) $1\frac{1}{3} + 2y - (2\frac{3}{4} - y)$, если $y = -\frac{1}{9}$.

D 559 В произведениях Ж. Верна встречаются такие строки:

а) «Аэростат нёсся вперёд со скоростью 90 миль в час...»

б) «Туземцы были ростом от 5 футов 4 дюймов до 5 футов 7 дюймов».

в) «Аппарат, напоминавший огромного кита, был длиной приблизительно в 250 футов и возвышался на 10–12 футов над уровнем моря...»

г) «Было решено ограничить дневные переходы 25–30 милями».

Переведи выделенные величины в метрическую систему, если:

$1 \text{ миля} = 1852 \text{ м}$

$1 \text{ фут} = 32,5 \text{ см}$

$1 \text{ дюйм} = 2 \text{ см } 7 \text{ мм}$

а)

В данном пункте необходимо перевести скорость 90 миль в час в метрическую систему. Наиболее подходящей единицей измерения будет километр в час (км/ч).
Исходные данные для перевода:
1 миля = 1852 м
1 км = 1000 м
Сначала переведём 90 миль в метры:
$90 \text{ миль} = 90 \times 1852 \text{ м} = 166680 \text{ м}$
Теперь переведём полученное расстояние в километры:
$166680 \text{ м} = \frac{166680}{1000} \text{ км} = 166,68 \text{ км}$
Так как временной интервал (1 час) не меняется, скорость составляет 166,68 км/ч.
Ответ: 166,68 км/ч.

б)

Здесь нужно перевести диапазон роста: от 5 футов 4 дюймов до 5 футов 7 дюймов. Переведём эти величины в сантиметры.
Исходные данные для перевода:
1 фут = 32,5 см
1 дюйм = 2 см 7 мм = 2,7 см
1. Вычислим нижнюю границу роста (5 футов 4 дюйма):
$5 \text{ футов} = 5 \times 32,5 \text{ см} = 162,5 \text{ см}$
$4 \text{ дюйма} = 4 \times 2,7 \text{ см} = 10,8 \text{ см}$
Суммарная высота: $162,5 \text{ см} + 10,8 \text{ см} = 173,3 \text{ см}$
2. Вычислим верхнюю границу роста (5 футов 7 дюймов):
$5 \text{ футов} = 5 \times 32,5 \text{ см} = 162,5 \text{ см}$
$7 \text{ дюймов} = 7 \times 2,7 \text{ см} = 18,9 \text{ см}$
Суммарная высота: $162,5 \text{ см} + 18,9 \text{ см} = 181,4 \text{ см}$
Таким образом, рост туземцев был в диапазоне от 173,3 см до 181,4 см.
Ответ: от 173,3 см до 181,4 см.

в)

Необходимо перевести в метры две величины: длину аппарата в 250 футов и высоту его полёта в 10–12 футов.
Исходные данные для перевода:
1 фут = 32,5 см
1 м = 100 см
1. Найдём длину аппарата:
$250 \text{ футов} = 250 \times 32,5 \text{ см} = 8125 \text{ см}$
Переведём в метры:
$8125 \text{ см} = \frac{8125}{100} \text{ м} = 81,25 \text{ м}$
2. Найдём диапазон высоты полёта:
$10 \text{ футов} = 10 \times 32,5 \text{ см} = 325 \text{ см} = 3,25 \text{ м}$
$12 \text{ футов} = 12 \times 32,5 \text{ см} = 390 \text{ см} = 3,9 \text{ м}$
Ответ: длина аппарата приблизительно 81,25 м, а возвышался он на 3,25–3,9 м над уровнем моря.

г)

Нужно перевести диапазон расстояния дневных переходов 25–30 миль в километры.
Исходные данные для перевода:
1 миля = 1852 м
1 км = 1000 м
1. Вычислим нижнюю границу расстояния:
$25 \text{ миль} = 25 \times 1852 \text{ м} = 46300 \text{ м}$
$46300 \text{ м} = \frac{46300}{1000} \text{ км} = 46,3 \text{ км}$
2. Вычислим верхнюю границу расстояния:
$30 \text{ миль} = 30 \times 1852 \text{ м} = 55560 \text{ м}$
$55560 \text{ м} = \frac{55560}{1000} \text{ км} = 55,56 \text{ км}$
Ответ: дневные переходы было решено ограничить 46,3–55,56 км.

D 559 В произведениях Ж.Верна встречаются такие строки:

а) «Аэростат несся вперед со скоростью 45 миль в час...»

б) «Туземцы были ростом от 5 футов 4 дюймов до 5 футов 7 дюймов».

в) «Аппарат, напоминавший огромного кита, был длиной приблизительно в 250 футов и возвышался на 10 – 12 футов над уровнем моря...»

г) «Было решено ограничить дневные переходы 15 – 18 милями».

Переведи выделенные величины в метрическую систему, если:

$1 \text{ миля} = 4448 \text{ м}$; $1 \text{ фут} = 32,5 \text{ см}$; $1 \text{ дюйм} = 2 \text{ см } 7 \text{ мм}$.

560 Заполни пропуски и прочитай полученные равенства:

а) $3\text{ м }8\text{ см } = \text{...}\text{ см}$;

б) $3\text{ дм }8\text{ см } = \text{...}\text{ дм}$;

в) $3\text{ км }8\text{ м } = \text{...}\text{ км}$;

$3\text{ м}^2 8\text{ см}^2 = \text{...}\text{ см}^2$;

$3\text{ дм}^2 8\text{ см}^2 = \text{...}\text{ дм}^2$;

$3\text{ км}^2 8\text{ м}^2 = \text{...}\text{ км}^2$;

$3\text{ м}^3 8\text{ см}^3 = \text{...}\text{ см}^3$;

$3\text{ дм}^3 8\text{ см}^3 = \text{...}\text{ дм}^3$;

$3\text{ км}^3 8\text{ м}^3 = \text{...}\text{ км}^3$.

3 м 8 см = ... см
Для перевода метров в сантиметры, используем соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Сначала переведем метры в сантиметры: $3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
Затем добавим оставшиеся сантиметры: $300 \text{ см} + 8 \text{ см} = 308 \text{ см}$.
Полученное равенство: 3 м 8 см = 308 см (три метра восемь сантиметров равны тремстам восьми сантиметрам).
Ответ: 308 см.

3 м² 8 см² = ... см²
Для перевода квадратных метров в квадратные сантиметры, используем соотношение $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$.
Переведем квадратные метры: $3 \text{ м}^2 = 3 \times 10000 \text{ см}^2 = 30000 \text{ см}^2$.
Добавим квадратные сантиметры: $30000 \text{ см}^2 + 8 \text{ см}^2 = 30008 \text{ см}^2$.
Полученное равенство: 3 м² 8 см² = 30008 см² (три квадратных метра восемь квадратных сантиметров равны тридцати тысячам восьми квадратным сантиметрам).
Ответ: 30008 см².

3 м³ 8 см³ = ... см³
Для перевода кубических метров в кубические сантиметры, используем соотношение $1 \text{ м}^3 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 1000000 \text{ см}^3$.
Переведем кубические метры: $3 \text{ м}^3 = 3 \times 1000000 \text{ см}^3 = 3000000 \text{ см}^3$.
Добавим кубические сантиметры: $3000000 \text{ см}^3 + 8 \text{ см}^3 = 3000008 \text{ см}^3$.
Полученное равенство: 3 м³ 8 см³ = 3000008 см³ (три кубических метра восемь кубических сантиметров равны трем миллионам восьми кубическим сантиметрам).
Ответ: 3000008 см³.

3 дм 8 см = ... дм
Для перевода сантиметров в дециметры, используем соотношение $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, откуда $1 \text{ см} = 0,1 \text{ дм}$.
Переведем сантиметры в дециметры: $8 \text{ см} = 8 \div 10 \text{ дм} = 0,8 \text{ дм}$.
Сложим с дециметрами: $3 \text{ дм} + 0,8 \text{ дм} = 3,8 \text{ дм}$.
Полученное равенство: 3 дм 8 см = 3,8 дм (три дециметра восемь сантиметров равны трем целым восьми десятым дециметра).
Ответ: 3,8 дм.

3 дм² 8 см² = ... дм²
Для перевода квадратных сантиметров в квадратные дециметры, используем соотношение $1 \text{ дм}^2 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$, откуда $1 \text{ см}^2 = 0,01 \text{ дм}^2$.
Переведем квадратные сантиметры: $8 \text{ см}^2 = 8 \div 100 \text{ дм}^2 = 0,08 \text{ дм}^2$.
Сложим с квадратными дециметрами: $3 \text{ дм}^2 + 0,08 \text{ дм}^2 = 3,08 \text{ дм}^2$.
Полученное равенство: 3 дм² 8 см² = 3,08 дм² (три квадратных дециметра восемь квадратных сантиметров равны трем целым восьми сотым квадратного дециметра).
Ответ: 3,08 дм².

3 дм³ 8 см³ = ... дм³
Для перевода кубических сантиметров в кубические дециметры, используем соотношение $1 \text{ дм}^3 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$, откуда $1 \text{ см}^3 = 0,001 \text{ дм}^3$.
Переведем кубические сантиметры: $8 \text{ см}^3 = 8 \div 1000 \text{ дм}^3 = 0,008 \text{ дм}^3$.
Сложим с кубическими дециметрами: $3 \text{ дм}^3 + 0,008 \text{ дм}^3 = 3,008 \text{ дм}^3$.
Полученное равенство: 3 дм³ 8 см³ = 3,008 дм³ (три кубических дециметра восемь кубических сантиметров равны трем целым восьми тысячным кубического дециметра).
Ответ: 3,008 дм³.

3 км 8 м = ... км
Для перевода метров в километры, используем соотношение $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, откуда $1 \text{ м} = 0,001 \text{ км}$.
Переведем метры в километры: $8 \text{ м} = 8 \div 1000 \text{ км} = 0,008 \text{ км}$.
Сложим с километрами: $3 \text{ км} + 0,008 \text{ км} = 3,008 \text{ км}$.
Полученное равенство: 3 км 8 м = 3,008 км (три километра восемь метров равны трем целым восьми тысячным километра).
Ответ: 3,008 км.

3 км² 8 м² = ... км²
Для перевода квадратных метров в квадратные километры, используем соотношение $1 \text{ км}^2 = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1000000 \text{ м}^2$, откуда $1 \text{ м}^2 = 0,000001 \text{ км}^2$.
Переведем квадратные метры: $8 \text{ м}^2 = 8 \div 1000000 \text{ км}^2 = 0,000008 \text{ км}^2$.
Сложим с квадратными километрами: $3 \text{ км}^2 + 0,000008 \text{ км}^2 = 3,000008 \text{ км}^2$.
Полученное равенство: 3 км² 8 м² = 3,000008 км² (три квадратных километра восемь квадратных метров равны трем целым восьми миллионным квадратного километра).
Ответ: 3,000008 км².

3 км³ 8 м³ = ... км³
Для перевода кубических метров в кубические километры, используем соотношение $1 \text{ км}^3 = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 10^9 \text{ м}^3$, откуда $1 \text{ м}^3 = 10^{-9} \text{ км}^3$.
Переведем кубические метры: $8 \text{ м}^3 = 8 \div 1000000000 \text{ км}^3 = 0,000000008 \text{ км}^3$.
Сложим с кубическими километрами: $3 \text{ км}^3 + 0,000000008 \text{ км}^3 = 3,000000008 \text{ км}^3$.
Полученное равенство: 3 км³ 8 м³ = 3,000000008 км³ (три кубических километра восемь кубических метров равны трем целым восьми миллиардным кубического километра).
Ответ: 3,000000008 км³.

560 Заполни пропуски и прочитай полученные равенства:

а) $3 \text{ м } 8 \text{ см } = \text{... см};$

$3 \text{ м}^2 8 \text{ см}^2 = \text{... см}^2;$

$3 \text{ м}^3 8 \text{ см}^3 = \text{... см}^3;$

б) $3 \text{ дм } 8 \text{ см } = \text{... дм};$

$3 \text{ дм}^2 8 \text{ см}^2 = \text{... дм}^2;$

$3 \text{ дм}^3 8 \text{ см}^3 = \text{... дм}^3;$

в) $3 \text{ км } 8 \text{ м } = \text{... км};$

$3 \text{ км}^2 8 \text{ м}^2 = \text{... км}^2;$

$3 \text{ км}^3 8 \text{ м}^3 = \text{... км}^3.$

561 Выполни действия:

а) $7 \text{ м } 25 \text{ мм } - 72,5 \text{ см};$

б) $9 \text{ км } 48 \text{ м } + 3,52 \text{ км } - 556 \text{ м};$

в) $(8 \text{ см}^2 5 \text{ мм}^2) \cdot 24 + 680 \text{ мм}^2;$

г) $0,02 \text{ дм}^3 - 2,7 \text{ см}^3 : 0,25.$

а) Для выполнения вычислений необходимо привести все величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести все в сантиметры (см).
В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), а в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), следовательно, $1 \text{ мм} = 0,1 \text{ см}$.
Переведем 7 м 25 мм в сантиметры:
$7 \text{ м } 25 \text{ мм} = 7 \cdot 100 \text{ см} + 25 \cdot 0,1 \text{ см} = 700 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 702,5 \text{ см}$.
Теперь выполним вычитание:
$702,5 \text{ см} - 72,5 \text{ см} = 630 \text{ см}$.
Ответ: 630 см.

б) Приведем все величины к одной единице измерения, например, к метрам (м).
В одном километре 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$).
Переведем значения в метры:
$9 \text{ км } 48 \text{ м} = 9 \cdot 1000 \text{ м} + 48 \text{ м} = 9048 \text{ м}$.
$3,52 \text{ км} = 3,52 \cdot 1000 \text{ м} = 3520 \text{ м}$.
Теперь выполним действия по порядку:
$9048 \text{ м} + 3520 \text{ м} - 556 \text{ м} = 12568 \text{ м} - 556 \text{ м} = 12012 \text{ м}$.
Этот результат можно также выразить как 12 км 12 м.
Ответ: 12012 м.

в) Приведем все величины к квадратным миллиметрам (мм²), чтобы упростить вычисления.
Поскольку $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $1 \text{ см}^2 = 10 \text{ мм} \cdot 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$.
Переведем 8 см² 5 мм² в мм²:
$8 \text{ см}^2 \text{ } 5 \text{ мм}^2 = 8 \cdot 100 \text{ мм}^2 + 5 \text{ мм}^2 = 800 \text{ мм}^2 + 5 \text{ мм}^2 = 805 \text{ мм}^2$.
Теперь выполним действия, соблюдая порядок (сначала умножение, потом сложение):
1) $805 \text{ мм}^2 \cdot 24 = 19320 \text{ мм}^2$.
2) $19320 \text{ мм}^2 + 680 \text{ мм}^2 = 20000 \text{ мм}^2$.
Результат можно перевести в квадратные сантиметры для удобства: $20000 \text{ мм}^2 = 20000 : 100 \text{ см}^2 = 200 \text{ см}^2$.
Ответ: 200 см².

г) Для выполнения действий приведем все объемные величины к кубическим сантиметрам (см³).
Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, значит $1 \text{ дм}^3 = 10^3 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
Переведем 0,02 дм³ в см³:
$0,02 \text{ дм}^3 = 0,02 \cdot 1000 \text{ см}^3 = 20 \text{ см}^3$.
Теперь выполним действия согласно их порядку (сначала деление, затем вычитание):
1) Выполним деление: $2,7 \text{ см}^3 : 0,25$. Деление на 0,25 равносильно умножению на 4 (так как $0,25 = \frac{1}{4}$).
$2,7 : 0,25 = 2,7 \cdot 4 = 10,8$.
Следовательно, $2,7 \text{ см}^3 : 0,25 = 10,8 \text{ см}^3$.
2) Выполним вычитание:
$20 \text{ см}^3 - 10,8 \text{ см}^3 = 9,2 \text{ см}^3$.
Ответ: 9,2 см³.

561 Выполни действия:

a) $7 \text{ м } 25 \text{ мм} - 72,5 \text{ см}$;

в) $8 \text{ см}^2 5 \text{ мм}^2 \cdot 24 + 680 \text{ мм}^2$;

б) $9 \text{ км } 48 \text{ м} + 3,52 \text{ км} - 556 \text{ м}$;

г) $0,02 \text{ дм}^3 - 2,7 \text{ см}^3 : 0,25$.

562 Поле имеет форму прямоугольника. При проведении землеустройства длину поля увеличили на $5 \\%$, а ширину – на треть. На сколько процентов увеличилась площадь поля?

Пусть первоначальная длина поля была $L$, а ширина — $W$. Тогда его площадь $S$ была равна произведению длины на ширину:

$S = L \cdot W$

После проведения землеустройства длина поля была увеличена на 5%. Новая длина $L_1$ стала равна:

$L_1 = L + 0.05 \cdot L = 1.05 \cdot L$

Ширину поля увеличили на треть. Новая ширина $W_1$ стала равна:

$W_1 = W + \frac{1}{3} \cdot W = (1 + \frac{1}{3}) \cdot W = \frac{4}{3} \cdot W$

Новая площадь поля $S_1$ равна произведению новой длины и новой ширины:

$S_1 = L_1 \cdot W_1 = (1.05 \cdot L) \cdot (\frac{4}{3} \cdot W)$

Мы можем сгруппировать множители, чтобы выразить новую площадь через старую:

$S_1 = (1.05 \cdot \frac{4}{3}) \cdot (L \cdot W) = (1.05 \cdot \frac{4}{3}) \cdot S$

Теперь вычислим, во сколько раз увеличилась площадь. Для этого найдем значение коэффициента $1.05 \cdot \frac{4}{3}$. Представим десятичную дробь 1.05 в виде обыкновенной:

$1.05 = \frac{105}{100} = \frac{21}{20}$

Теперь перемножим дроби:

$\frac{21}{20} \cdot \frac{4}{3} = \frac{21 \cdot 4}{20 \cdot 3} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 4}{5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{7}{5} = 1.4$

Таким образом, новая площадь $S_1$ связана со старой площадью $S$ следующим соотношением:

$S_1 = 1.4 \cdot S$

Это означает, что новая площадь составляет 140% от первоначальной ($1.4 \cdot 100\% = 140\%$). Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, нужно из процентного значения новой площади вычесть процентное значение старой площади (100%):

$140\% - 100\% = 40\%$

Ответ: площадь поля увеличилась на 40%.

562 Поле имеет форму прямоугольника. При проведении землеустройства длину поля увеличили на 5%, а ширину – на треть. На сколько процентов увеличилась площадь поля?

563 Измерения одного прямоугольного параллелепипеда равны 0,4 м, 25 см и 1,5 дм, а измерения другого параллелепипеда – 0,3 м, 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объём? Какой имеет большую площадь поверхности?

Для того чтобы сравнить объемы и площади поверхностей параллелепипедов, необходимо привести все их измерения к единой единице. Переведем все размеры в сантиметры (см), учитывая, что 1 м = 100 см и 1 дм = 10 см.

Размеры первого параллелепипеда в см:
$a_1 = 0,4 \text{ м} = 40 \text{ см}$
$b_1 = 25 \text{ см}$
$c_1 = 1,5 \text{ дм} = 15 \text{ см}$

Размеры второго параллелепипеда в см:
$a_2 = 0,3 \text{ м} = 30 \text{ см}$
$b_2 = 2 \text{ дм} = 20 \text{ см}$
$c_2 = 26 \text{ см}$

Какой из этих параллелепипедов имеет больший объём?

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

1. Найдём объём первого параллелепипеда ($V_1$):
$V_1 = 40 \cdot 25 \cdot 15 = 1000 \cdot 15 = 15000 \text{ см}^3$.

2. Найдём объём второго параллелепипеда ($V_2$):
$V_2 = 30 \cdot 20 \cdot 26 = 600 \cdot 26 = 15600 \text{ см}^3$.

3. Сравним объёмы: $15600 \text{ см}^3 > 15000 \text{ см}^3$, значит, $V_2 > V_1$.

Ответ: второй параллелепипед имеет больший объём.

Какой имеет большую площадь поверхности?

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$.

1. Найдём площадь поверхности первого параллелепипеда ($S_1$):
$S_1 = 2(40 \cdot 25 + 25 \cdot 15 + 40 \cdot 15) = 2(1000 + 375 + 600) = 2 \cdot 1975 = 3950 \text{ см}^2$.

2. Найдём площадь поверхности второго параллелепипеда ($S_2$):
$S_2 = 2(30 \cdot 20 + 20 \cdot 26 + 30 \cdot 26) = 2(600 + 520 + 780) = 2 \cdot 1900 = 3800 \text{ см}^2$.

3. Сравним площади: $3950 \text{ см}^2 > 3800 \text{ см}^2$, значит, $S_1 > S_2$.

Ответ: первый параллелепипед имеет большую площадь поверхности.

563 Измерения одного прямоугольного параллелепипеда равны 0,4 м, 25 см и 1,5 дм, а измерения другого параллелепипеда – 0,3 м, 2 дм и 26 см. Какой из этих параллелепипедов имеет больший объем? Какой имеет большую площадь поверхности?

564 Докажи, что $ |x| < 0.1 $, если

$x = -10.045 : 4.9 + 5.1 : \left(\left(9\frac{11}{14} - 12\frac{1}{7}\right) : \left(-3\frac{1}{7}\right) - 7.5 \cdot \left(-\frac{6}{25}\right)\right)$

Для того чтобы доказать, что $|x| < 0,1$, необходимо сначала вычислить значение $x$. Вычисления будем производить по действиям, соблюдая порядок их выполнения.

Исходное выражение: $x = -10,045 : 4,9 + 5,1 : ((9\frac{11}{14} - 12\frac{1}{7}) : (-3\frac{1}{7}) - 7,5 \cdot (-\frac{6}{25}))$.

1. Вычислим разность в первых внутренних скобках:

$9\frac{11}{14} - 12\frac{1}{7} = 9\frac{11}{14} - 12\frac{2}{14} = \frac{9 \cdot 14 + 11}{14} - \frac{12 \cdot 14 + 2}{14} = \frac{137}{14} - \frac{170}{14} = \frac{137 - 170}{14} = -\frac{33}{14}$.

2. Выполним деление результата первого действия на $-3\frac{1}{7}$:

$-\frac{33}{14} : (-3\frac{1}{7}) = -\frac{33}{14} : (-\frac{22}{7}) = \frac{33}{14} \cdot \frac{7}{22} = \frac{3 \cdot 11 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{3}{4}$.

3. Выполним умножение в больших скобках:

$7,5 \cdot (-\frac{6}{25}) = \frac{15}{2} \cdot (-\frac{6}{25}) = -\frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 25} = -\frac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)}{2 \cdot (5 \cdot 5)} = -\frac{9}{5} = -1,8$.

4. Найдем значение всего выражения в больших скобках, выполнив вычитание:

$\frac{3}{4} - (-\frac{9}{5}) = \frac{3}{4} + \frac{9}{5} = \frac{3 \cdot 5}{20} + \frac{9 \cdot 4}{20} = \frac{15 + 36}{20} = \frac{51}{20}$.

5. Теперь, зная значение выражения в больших скобках, можем продолжить вычисление $x$:

$x = -10,045 : 4,9 + 5,1 : \frac{51}{20}$.

6. Выполним первое деление в основном выражении:

$-10,045 : 4,9 = -100,45 : 49 = -2,05$.

7. Выполним второе деление в основном выражении:

$5,1 : \frac{51}{20} = \frac{51}{10} : \frac{51}{20} = \frac{51}{10} \cdot \frac{20}{51} = \frac{20}{10} = 2$.

8. Выполним сложение, чтобы найти окончательное значение $x$:

$x = -2,05 + 2 = -0,05$.

9. Проверим истинность неравенства $|x| < 0,1$:

Мы вычислили, что $x = -0,05$. Найдем модуль этого числа:

$|x| = |-0,05| = 0,05$.

Теперь сравним полученное значение с $0,1$:

$0,05 < 0,1$.

Неравенство является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате вычислений получено $x = -0,05$. Модуль этого числа $|x| = 0,05$. Так как $0,05 < 0,1$, утверждение доказано.

564 Докажи, что $|x| < 0.1|$, если:

$x = -10.045 : 4.9 + 5.1 : \left(\left(9\frac{11}{14} - 12\frac{1}{7}\right) : \left(-3\frac{1}{7}\right) - 7.5 \cdot \left(-\frac{6}{25}\right)\right)$.