Номер 1232, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1232, страница 236.

1232. Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то х⁴ + 2x³z − 2xz³ − z⁴ − 4x²y² + 4y²z² = 0.

По условию задачи, y является средним арифметическим x и z. Это можно записать в виде формулы:
$y = \frac{x+z}{2}$

Необходимо доказать, что при выполнении этого условия справедливо равенство:
$x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - 4x^2y^2 + 4y^2z^2 = 0$

Для доказательства преобразуем левую часть этого равенства. Сначала сгруппируем слагаемые:
$(x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4) + (-4x^2y^2 + 4y^2z^2)$

Преобразуем первую группу слагаемых, вынося общие множители:
$x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 = (x^4 - z^4) + (2x^3z - 2xz^3)$
Используем формулу разности квадратов и выносим общий множитель $2xz$:
$= (x^2 - z^2)(x^2 + z^2) + 2xz(x^2 - z^2)$
Вынесем общий множитель $(x^2 - z^2)$ за скобки:
$= (x^2 - z^2)(x^2 + z^2 + 2xz)$
Заметим, что выражение во второй скобке является полным квадратом суммы $(x+z)$:
$= (x^2 - z^2)(x+z)^2$

Теперь преобразуем вторую группу слагаемых, вынеся общий множитель $-4y^2$:
$-4x^2y^2 + 4y^2z^2 = -4y^2(x^2 - z^2)$

Подставим преобразованные группы обратно в выражение для левой части равенства:
$(x^2 - z^2)(x+z)^2 - 4y^2(x^2 - z^2)$

Теперь используем исходное условие $y = \frac{x+z}{2}$. Подставим это в полученное выражение:
$(x^2 - z^2)(x+z)^2 - 4\left(\frac{x+z}{2}\right)^2(x^2 - z^2)$
Возведем в квадрат дробь во втором слагаемом:
$= (x^2 - z^2)(x+z)^2 - 4 \cdot \frac{(x+z)^2}{4} \cdot (x^2 - z^2)$
Сократим множитель 4:
$= (x^2 - z^2)(x+z)^2 - (x+z)^2(x^2 - z^2)$
Полученные выражения являются одинаковыми, поэтому их разность равна нулю:
$= 0$

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна нулю при заданном условии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.