Номер 1231, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1231, страница 236.

1231. Докажите, что не существует целых коэффициентов а, b, с и d таких, что значение многочлена ах² + bх² + сх + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.

Пусть дан многочлен $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, где по условию коэффициенты $a, b, c, d$ являются целыми числами ($a, b, c, d \in \mathbb{Z}$).

Согласно условию задачи, нам даны два значения многочлена в целых точках:

• $P(19) = a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d = 1$
• $P(62) = a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d = 2$

Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что такие целые коэффициенты $a, b, c$ и $d$ всё-таки существуют.

Рассмотрим разность значений многочлена в точках $x=62$ и $x=19$.

С одной стороны, эта разность равна: $P(62) - P(19) = 2 - 1 = 1$.

С другой стороны, выразим эту же разность через общую формулу многочлена:

$P(62) - P(19) = (a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d) - (a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d)$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых коэффициентах:

$P(62) - P(19) = a(62^3 - 19^3) + b(62^2 - 19^2) + c(62 - 19)$

Воспользуемся важным свойством многочленов с целыми коэффициентами: для любых двух целых чисел $k$ и $m$, разность значений многочлена $P(k) - P(m)$ всегда делится нацело на разность аргументов $(k - m)$. Это свойство следует из того факта, что для любого натурального $n$ выражение $(k^n - m^n)$ делится на $(k - m)$, так как имеет место тождество $k^n - m^n = (k - m)(k^{n-1} + k^{n-2}m + \dots + m^{n-1})$.

Применительно к нашей задаче, это означает, что разность $P(62) - P(19)$ должна делиться нацело на $(62 - 19)$.

Вычислим значение делителя:

$62 - 19 = 43$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что значение $P(62) - P(19)$ должно быть кратно 43.

Однако, как мы посчитали ранее, $P(62) - P(19) = 1$.

Мы получили противоречие: число 1 должно делиться нацело на 43, что является неверным утверждением.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании таких целых коэффициентов $a, b, c, d$ было ошибочным. Следовательно, таких коэффициентов не существует, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.