Номер 1226, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1226, страница 236.

1226. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Нам нужно доказать, что разность их кубов при делении на 6 даёт остаток 1. Запишем эту разность и преобразуем её, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 \cdot 1 + 3n \cdot 1^2 + 1^3) - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1$.

Теперь нам нужно доказать, что выражение $3n^2 + 3n + 1$ при делении на 6 даёт в остатке 1. Это эквивалентно тому, что выражение $(3n^2 + 3n + 1) - 1 = 3n^2 + 3n$ делится на 6 нацело.

Вынесем общий множитель за скобки в выражении $3n^2 + 3n$:

$3n^2 + 3n = 3n(n+1)$.

Чтобы доказать, что число $3n(n+1)$ делится на 6, нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

1. Выражение $3n(n+1)$ содержит множитель 3, следовательно, оно всегда делится на 3 при любом натуральном $n$.

2. Рассмотрим произведение $n(n+1)$. Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Среди двух последовательных натуральных чисел одно всегда является чётным. Произведение чётного числа на любое другое натуральное число всегда является чётным, то есть делится на 2. Следовательно, $n(n+1)$ всегда делится на 2.

Поскольку выражение $3n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на $2 \cdot 3 = 6$.

Таким образом, мы доказали, что $3n(n+1)$ делится на 6. Это означает, что $3n(n+1)$ можно представить в виде $6k$, где $k$ — некоторое натуральное число (поскольку $n \ge 1$).

Тогда исходная разность кубов равна:

$(n+1)^3 - n^3 = 3n(n+1) + 1 = 6k + 1$.

Это по определению означает, что разность кубов двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность кубов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ равна $(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1 = 3n(n+1) + 1$. Произведение $n(n+1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел, поэтому оно всегда чётно (делится на 2). Следовательно, выражение $3n(n+1)$ делится и на 3, и на 2, а значит, делится на 6. Таким образом, разность кубов можно представить в виде $6k+1$, где $k$ — натуральное число. Это означает, что при делении на 6 остаток всегда равен 1.