Номер 1219, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1219, страница 235.

1219. Докажите, что значение выражения 96⁷ − 22⁵ − 48⁶ кратно 10.

Чтобы доказать, что значение выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ кратно 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра числа — это его остаток от деления на 10. Найдем последнюю цифру каждого члена выражения по отдельности.

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Последняя цифра числа 96 равна 6. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6 (например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и так далее). Следовательно, последняя цифра числа $96^7$ равна 6.

Последняя цифра числа 22 равна 2. Последние цифры степеней числа 2 циклически повторяются: $2^1 \to 2$, $2^2 \to 4$, $2^3 \to 8$, $2^4 \to 6$, $2^5 \to 2$. Длина цикла равна 4. Поскольку показатель степени равен 5, последняя цифра $22^5$ будет такой же, как у $2^1$, то есть 2.

Последняя цифра числа 48 равна 8. Последние цифры степеней числа 8 также циклически повторяются: $8^1 \to 8$, $8^2 \to 4$, $8^3 \to 2$, $8^4 \to 6$, $8^5 \to 8$. Длина цикла равна 4. Поскольку показатель степени равен 6, последняя цифра $48^6$ будет такой же, как у $8^2$ (так как остаток от деления 6 на 4 равен 2), то есть 4.

Теперь найдем последнюю цифру всего выражения, выполнив действия с найденными последними цифрами: $6 - 2 - 4 = 0$.

Поскольку последняя цифра значения выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ равна 0, то само число делится на 10 без остатка, то есть кратно 10, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения кратно 10, так как его последняя цифра равна 0.