Страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1206. Докажите, что сумма 1³ + 2³ + ... + 99³ делится на 100.

Требуется доказать, что сумма $S = 1^3 + 2^3 + ... + 99^3$ делится на 100. Для этого можно воспользоваться одним из двух способов.

Сумма кубов первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле: $S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

В нашем случае $n = 99$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти искомую сумму $S$: $S = \left(\frac{99(99+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{99 \cdot 100}{2}\right)^2 = (99 \cdot 50)^2$

Раскроем квадрат: $S = 99^2 \cdot 50^2 = 99^2 \cdot 2500$

Поскольку $2500 = 25 \cdot 100$, мы можем переписать выражение для суммы следующим образом: $S = 99^2 \cdot (25 \cdot 100) = (99^2 \cdot 25) \cdot 100$

Так как множитель $(99^2 \cdot 25)$ является целым числом, то вся сумма $S$ представляет собой произведение целого числа на 100. Это по определению означает, что сумма $S$ делится на 100 без остатка. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим сумму $S = 1^3 + 2^3 + ... + 98^3 + 99^3$ и сгруппируем слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. $S = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + ... + (49^3 + 51^3) + 50^3$

Всего в сумме 99 слагаемых. Мы можем составить 49 таких пар, и одно слагаемое, $50^3$, останется в центре без пары.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для анализа каждой пары. Общий вид пары: $k^3 + (100-k)^3$, где $k$ пробегает значения от 1 до 49. $k^3 + (100-k)^3 = (k + (100-k))(k^2 - k(100-k) + (100-k)^2) = 100 \cdot (k^2 - 100k + k^2 + (100-k)^2)$

Поскольку первый множитель равен 100, каждая такая пара делится на 100. Сумма 49 слагаемых, каждое из которых делится на 100, также делится на 100.

Теперь рассмотрим оставшееся слагаемое $50^3$: $50^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125000 = 1250 \cdot 100$

Это число также делится на 100.

Исходная сумма $S$ является суммой двух частей: суммы 49 пар и числа $50^3$. Поскольку обе эти части делятся на 100, их сумма, то есть $S$, также делится на 100. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Сумма равна $\left(\frac{99 \cdot 100}{2}\right)^2 = (99 \cdot 50)^2 = 99^2 \cdot 2500$. Так как $2500 = 25 \cdot 100$, то вся сумма делится на 100.

1207. Число а составляет 80% числа b, а число с составляет 140% числа b. Найдите числа а, b и с, если число с больше а на 72.

Для решения задачи составим и решим систему уравнений, исходя из условий.

1. Выразим числа a и c через число b. Для этого представим проценты в виде десятичных дробей:

80% = $80/100 = 0.8$

140% = $140/100 = 1.4$

Таким образом, получаем первые два уравнения:

$a = 0.8b$

$c = 1.4b$

2. По условию, число c больше числа a на 72. Запишем это в виде третьего уравнения:

$c - a = 72$

3. Теперь подставим выражения для a и c из первых двух уравнений в третье:

$1.4b - 0.8b = 72$

4. Решим полученное уравнение относительно b:

$0.6b = 72$

$b = 72 / 0.6$

$b = 120$

5. Мы нашли значение b. Теперь можем найти значения a и c, подставив b = 120 в первые два уравнения:

$a = 0.8 \cdot 120 = 96$

$c = 1.4 \cdot 120 = 168$

6. Проверим, выполняется ли условие, что c больше a на 72:

$168 - 96 = 72$

Условие выполняется, значит, задача решена верно.

Ответ: $a = 96$, $b = 120$, $c = 168$.

1208. Число а составляет 75% числа b и 40% числа с. Число с на 42 больше числа b. Найдите числа а и b.

Для решения данной задачи необходимо составить и решить систему уравнений, основанную на условиях задачи.

1. Из условия "Число $a$ составляет 75% числа $b$" получаем первое уравнение. Переведем проценты в десятичную дробь: $75\% = 0,75$.
$a = 0,75 \cdot b$

2. Из условия "Число $a$ ... и 40% числа $c$" получаем второе уравнение. Переведем проценты в десятичную дробь: $40\% = 0,4$.
$a = 0,4 \cdot c$

3. Из условия "Число $c$ на 42 больше числа $b$" получаем третье уравнение:
$c = b + 42$

Теперь у нас есть система уравнений. Так как левые части первого и второго уравнений равны ($a$), мы можем приравнять их правые части:
$0,75b = 0,4c$

В полученное уравнение подставим выражение для $c$ из третьего уравнения ($c = b + 42$):
$0,75b = 0,4(b + 42)$

Теперь решим это уравнение относительно переменной $b$. Сначала раскроем скобки:
$0,75b = 0,4b + 0,4 \cdot 42$
$0,75b = 0,4b + 16,8$

Перенесем все слагаемые с $b$ в левую часть уравнения:
$0,75b - 0,4b = 16,8$
$0,35b = 16,8$

Найдем $b$, разделив обе части на 0,35:
$b = \frac{16,8}{0,35}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$b = \frac{1680}{35} = 48$

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти значение $a$, используя первое уравнение $a = 0,75b$:
$a = 0,75 \cdot 48$
Так как $0,75 = \frac{3}{4}$, вычисление будет проще:
$a = \frac{3}{4} \cdot 48 = 3 \cdot \frac{48}{4} = 3 \cdot 12 = 36$

Мы нашли искомые числа.
Ответ: $a = 36$, $b = 48$.

1209. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?

Пусть искомое двузначное число состоит из $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10a + b$. Сумма его цифр равна $a + b$.

По условию задачи, число в 4 раза больше суммы его цифр. Составим на основе этого условия уравнение:
$10a + b = 4 \cdot (a + b)$

Теперь решим это уравнение относительно $a$ и $b$:
$10a + b = 4a + 4b$
Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть, а с $b$ — в правую:
$10a - 4a = 4b - b$
$6a = 3b$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$2a = b$

Мы получили соотношение, связывающее цифры искомого числа: цифра единиц ($b$) в два раза больше цифры десятков ($a$).
Зная, что $a$ — это цифра от 1 до 9 (поскольку число двузначное), а $b$ — цифра от 0 до 9, найдем все возможные пары:
- Если $a = 1$, то $b = 2 \cdot 1 = 2$. Получается число 12. Проверим: $12 = 4 \cdot (1+2) = 4 \cdot 3$. Это верное равенство.
- Если $a = 2$, то $b = 2 \cdot 2 = 4$. Получается число 24. Проверим: $24 = 4 \cdot (2+4) = 4 \cdot 6$. Это верное равенство.
- Если $a = 3$, то $b = 2 \cdot 3 = 6$. Получается число 36. Проверим: $36 = 4 \cdot (3+6) = 4 \cdot 9$. Это верное равенство.
- Если $a = 4$, то $b = 2 \cdot 4 = 8$. Получается число 48. Проверим: $48 = 4 \cdot (4+8) = 4 \cdot 12$. Это верное равенство.
- Если мы возьмем $a = 5$, то $b = 2 \cdot 5 = 10$. Так как $b$ должно быть цифрой (т.е. $b \le 9$), это и все последующие значения для $a$ не подходят.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют четыре числа.

Ответ: 12, 24, 36, 48.

1210. Делится ли число $\underset{81 раз}{\underbrace{111 ...1 }}$ на 81?

Для того чтобы число делилось на 81, оно должно быть делимо на 9, и частное от этого деления также должно быть делимо на 9, поскольку $81 = 9 \times 9$.

Обозначим данное число, состоящее из 81 единицы, как $N$.

Проверка делимости N на 9

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.Сумма цифр числа $N$ равна:$S = \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{81 \text{ раз}} = 81$.Поскольку сумма цифр (81) делится на 9 ($81 : 9 = 9$), то и само число $N$ делится на 9.

Проверка делимости на 81

Теперь необходимо проверить, делится ли на 9 частное $N/9$. Для этого представим число $N$ в виде произведения. Сгруппируем единицы в блоки по 9 цифр. Так как всего в числе 81 цифра, получится $81 / 9 = 9$ таких блоков.

$N = \underbrace{11...1}_{81} = (\underbrace{11...1}_{9}) \times (10^0 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72})$.

Обозначим сомножители как $A$ и $B$:$A = \underbrace{11...1}_{9}$$B = 1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72}$Таким образом, $N = A \times B$.

Рассмотрим каждый сомножитель на предмет делимости на 9.

1. Сомножитель $A = \underbrace{11...1}_{9}$. Сумма его цифр равна $1 \times 9 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и число $A$ делится на 9.

2. Сомножитель $B$ является суммой 9 слагаемых. Проверим его делимость на 9 с помощью теории сравнений.Известно, что $10$ при делении на $9$ дает в остатке $1$, что записывается как $10 \equiv 1 \pmod{9}$.Любая натуральная степень числа 10 также будет сравнима с 1 по модулю 9: $10^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{9}$.Следовательно, каждое слагаемое в выражении для $B$ сравнимо с 1 по модулю 9:$B = 1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72} \equiv \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{9 \text{ слагаемых}} \pmod{9}$.$B \equiv 9 \pmod{9}$, что равносильно $B \equiv 0 \pmod{9}$.Это означает, что сомножитель $B$ также делится на 9.

Поскольку $N = A \times B$, где и $A$, и $B$ делятся на 9, то их произведение $N$ делится на $9 \times 9 = 81$.

Ответ: да, делится.

1211. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.

Пусть $p$ — простое число, а $r$ — остаток от деления $p$ на 30. Согласно определению деления с остатком, мы можем записать:

$p = 30k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, и $0 \le r < 30$.

Нам нужно доказать, что $r$ является простым числом или единицей.

Разложим число 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $p$ является одним из простых делителей числа 30.

Это простые числа 2, 3 и 5.

• Если $p = 2$, то $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r = 2$. Число 2 — простое.
• Если $p = 3$, то $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r = 3$. Число 3 — простое.
• Если $p = 5$, то $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r = 5$. Число 5 — простое.

В этом случае утверждение выполняется.

Случай 2: $p$ — простое число, большее 5.

Если $p > 5$, то $p$ не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Это означает, что число $p$ взаимно просто с числом 30, то есть их наибольший общий делитель равен 1: $НОД(p, 30) = 1$.

Из равенства $p = 30k + r$ и свойства наибольшего общего делителя ($НОД(a, b) = НОД(a \pm nb, b)$) следует, что $НОД(p, 30) = НОД(30k+r, 30) = НОД(r, 30)$. Поскольку $НОД(p, 30) = 1$, то и $НОД(r, 30) = 1$.

Это означает, что остаток $r$ (где $0 \le r < 30$) не делится на 2, 3 и 5. Осталось проверить, являются ли все такие числа $r$ простыми или единицей.

Если $r=0$, то $НОД(0, 30) = 30 \ne 1$, так что $r \ne 0$.

Если $r=1$, то $НОД(1, 30) = 1$. Единица — одно из искомых значений.

Если $r > 1$, то для проверки его на простоту достаточно проверить делимость на простые числа, не превосходящие $\sqrt{r}$. Так как $r < 30$, то $\sqrt{r} < \sqrt{30} \approx 5.47$. Значит, достаточно проверить делимость на простые числа 2, 3 и 5. Но мы уже установили, что $r$ на них не делится. Следовательно, любое такое число $r > 1$ является простым.

Числа $r$ в диапазоне $1 \le r < 30$, которые взаимно просты с 30, это:1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.Как мы видим, 1 является единицей, а все остальные числа в этом списке — простые.

Таким образом, и во втором случае все возможные остатки являются либо единицей, либо простыми числами.

Объединяя оба случая, мы доказали, что остаток от деления любого простого числа на 30 всегда является простым числом или единицей.

Ответ: Утверждение доказано. Для простого числа $p$ и его остатка $r$ при делении на 30 имеем $p = 30k + r$. Если $p \in \{2, 3, 5\}$, то остатки равны 2, 3, 5 соответственно, и являются простыми. Если $p > 5$, то $p$ взаимно просто с 30, а значит и остаток $r$ взаимно прост с 30. Числа $r < 30$, взаимно простые с $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, не делятся на 2, 3 и 5. Кроме единицы, все такие числа (7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) являются простыми. Таким образом, остаток от деления простого числа на 30 всегда является простым числом или единицей.

1212. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.

Пусть искомое двузначное число равно $x$. Поскольку число двузначное, оно находится в диапазоне $10 \le x \le 99$.

Когда к числу $x$ слева приписывают единицу, эта единица оказывается в разряде тысяч, а само число $x$ смещается на одну позицию вправо, то есть умножается на 10. Когда справа приписывают единицу, она занимает разряд единиц. Таким образом, новое четырехзначное число можно записать в виде выражения:$1 \cdot 1000 + x \cdot 10 + 1 = 1000 + 10x + 1 = 1001 + 10x$.

По условию задачи, это новое число в 23 раза больше первоначального числа $x$. Составим и решим уравнение:

$1001 + 10x = 23x$

Перенесем все члены с $x$ в правую часть уравнения:

$1001 = 23x - 10x$

$1001 = 13x$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1001}{13}$

$x = 77$

Искомое число — 77. Оно является двузначным.

Проверим решение. Первоначальное число — 77. Приписав к нему единицы слева и справа, получим число 1771. Разделим новое число на первоначальное:

$\frac{1771}{77} = 23$

Условие задачи выполняется.

Ответ: 77.

1213. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

Пусть первоначальное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно определению двузначного числа, $a$ может принимать значения от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

В задаче говорится, что одну цифру зачеркнули. Это приводит к двум возможным сценариям.

Если зачеркнуть цифру единиц $b$, то оставшееся число будет равно $a$. По условию, первоначальное число в 31 раз больше нового. Составим уравнение:

$10a + b = 31a$

Упростим его, чтобы выразить $b$ через $a$:

$b = 31a - 10a$

$b = 21a$

Теперь проверим, существуют ли цифры $a$ и $b$, удовлетворяющие этому равенству. Так как $a$ — цифра десятков, её наименьшее возможное значение равно 1.Если $a = 1$, то $b = 21 \cdot 1 = 21$.Полученное значение для $b$ больше 9, что невозможно, так как $b$ должна быть одной цифрой. Если $a$ будет больше 1, то и $b$ будет еще больше. Следовательно, в этом случае решений нет.

Если зачеркнуть цифру десятков $a$, то оставшееся число будет равно $b$. Снова составим уравнение по условию задачи:

$10a + b = 31b$

Упростим уравнение, чтобы выразить $a$ через $b$:

$10a = 31b - b$

$10a = 30b$

$a = 3b$

Теперь подберем возможные значения для цифры $b$. Важно отметить, что новое число $b$ не может быть равно 0, так как в этом случае первоначальное число было бы $31 \times 0 = 0$, что не является двузначным числом. Значит, $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.

• При $b=1$, получаем $a = 3 \cdot 1 = 3$. Первоначальное число — 31. Зачеркиваем цифру десятков (3), получаем 1. Проверка: $31 = 31 \times 1$. Это верное решение.
• При $b=2$, получаем $a = 3 \cdot 2 = 6$. Первоначальное число — 62. Зачеркиваем цифру десятков (6), получаем 2. Проверка: $62 = 31 \times 2$. Это верное решение.
• При $b=3$, получаем $a = 3 \cdot 3 = 9$. Первоначальное число — 93. Зачеркиваем цифру десятков (9), получаем 3. Проверка: $93 = 31 \times 3$. Это верное решение.
• При $b=4$, получаем $a = 3 \cdot 4 = 12$. Это значение для $a$ не является цифрой, так как оно больше 9. Для всех $b \geq 4$ значение $a$ также будет больше 9.

Таким образом, мы нашли три числа, которые удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Задача имеет три решения: в числе 31 зачеркнули цифру 3; в числе 62 зачеркнули цифру 6; в числе 93 зачеркнули цифру 9.

1214. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.

Пусть искомое трёхзначное число можно представить в виде $8bc$, где $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $800 + 10b + c$.

Можно также обозначить двузначное число, образованное последними двумя цифрами, как $x$. То есть $x = 10b + c$. Тогда первоначальное число равно $800 + x$.

Если переставить первую цифру 8 на последнее место, то получится новое число, у которого цифра $b$ станет цифрой сотен, $c$ — цифрой десятков, а 8 — цифрой единиц. Вид нового числа — $bc8$. Его значение можно выразить как $100b + 10c + 8$.

Используя обозначение $x = 10b + c$, значение нового числа можно записать как $10 \cdot (10b + c) + 8 = 10x + 8$.

По условию задачи, новое число на 18 больше первоначального. Составим уравнение:

$(10x + 8) = (800 + x) + 18$

Теперь решим это уравнение:

$10x + 8 = 818 + x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные — в правой:

$10x - x = 818 - 8$

$9x = 810$

$x = \frac{810}{9}$

$x = 90$

Мы нашли, что двузначное число, образованное второй и третьей цифрами, равно 90. Это означает, что $b=9$ и $c=0$.

Следовательно, первоначальное число — это 890.

Проверка:
Первоначальное число: 890.
Новое число (после перестановки цифры 8 в конец): 908.
Разница: $908 - 890 = 18$.
Условие выполнено, так как число увеличилось на 18.

Ответ: 890.

1215. Постройте график уравнения:

а) (х − 2)(у + 3) = 0;
б) х² + ху = 0.

а)

Рассмотрим уравнение $(x-2)(y+3) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 2 = 0$ или $y + 3 = 0$.

Из первого уравнения получаем $x = 2$. Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси OY и проходящая через точку $(2, 0)$.

Из второго уравнения получаем $y = -3$. Графиком этого уравнения является горизонтальная прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0, -3)$.

Таким образом, графиком исходного уравнения является объединение (совокупность) этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в точке $(2, -3)$ прямых, заданных уравнениями $x=2$ и $y=-3$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 + xy = 0$.

Для построения графика преобразуем уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + y) = 0$.

Это уравнение также распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x + y = 0$.

Уравнение $x = 0$ задает ось ординат (ось OY).

Уравнение $x + y = 0$ можно переписать в виде $y = -x$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов.

Следовательно, графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых, пересекающихся в начале координат: ось OY ($x=0$) и прямая $y=-x$.

1216. Постройте график уравнения:

а) у + у = х;
б) у = х |у|.

а) Чтобы построить график уравнения $y + |y| = x$, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака переменной $y$.

1. Пусть $y \ge 0$. В этом случае $|y| = y$. Подставим это в исходное уравнение:

$y + y = x$

$2y = x$

$y = \frac{1}{2}x$

Это уравнение задает прямую линию. Условие $y \ge 0$ для этой прямой эквивалентно условию $\frac{1}{2}x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Таким образом, частью графика является луч, выходящий из начала координат $(0,0)$ и проходящий через точку, например, $(2,1)$. Этот луч расположен в первой координатной четверти.

2. Пусть $y < 0$. В этом случае $|y| = -y$. Подставим в уравнение:

$y + (-y) = x$

$0 = x$

Это уравнение задает прямую $x=0$, то есть ось ординат (ось Oy). Учитывая условие $y < 0$, решением является та часть оси Oy, которая лежит ниже оси абсцисс. Это луч, начинающийся в точке $(0,0)$ (не включая ее) и направленный вертикально вниз.

Объединив оба случая, мы получаем график, состоящий из двух лучей, исходящих из начала координат.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух лучей с общим началом в точке $(0,0)$: луча $y = \frac{1}{2}x$ при $x \ge 0$ и луча $x=0$ при $y < 0$ (отрицательная полуось Oy).

б) Чтобы построить график уравнения $y = x|y|$, рассмотрим три случая в зависимости от знака переменной $y$.

1. Пусть $y > 0$. Тогда $|y| = y$. Уравнение принимает вид:

$y = xy$

Поскольку $y > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $y$:

$1 = x$

Это уравнение задает вертикальную прямую $x=1$. Учитывая условие $y > 0$, частью итогового графика будет луч, выходящий из точки $(1,0)$ (не включая саму точку) и направленный вертикально вверх.

2. Пусть $y < 0$. Тогда $|y| = -y$. Уравнение принимает вид:

$y = x(-y)$

$y = -xy$

Поскольку $y < 0$, мы можем разделить обе части на $y$:

$1 = -x$

$x = -1$

Это уравнение задает вертикальную прямую $x=-1$. Учитывая условие $y < 0$, частью графика будет луч, выходящий из точки $(-1,0)$ (не включая ее) и направленный вертикально вниз.

3. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 = x|0|$

$0 = 0$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении $x$. Следовательно, вся ось абсцисс ($y=0$) является частью графика.

Объединяя результаты всех трех случаев, мы получаем искомый график.

Ответ: График состоит из трех частей: всей оси абсцисс ($y=0$), луча $x=1$ для всех $y>0$, и луча $x=-1$ для всех $y<0$.

1217. Постройте график функции:

а) у = |х| − 3;
б) у = 4 - |х|.

а) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = |x|$.

1. Построим график функции $y = |x|$. Этот график является объединением двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму ("уголок") с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$.

2. Чтобы из графика $y = |x|$ получить график $y = |x| - 3$, необходимо выполнить преобразование вида $f(x) \to f(x) - a$. В нашем случае $a=3$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) исходного графика вдоль оси ординат (OY) на 3 единицы вниз.

3. Таким образом, мы сдвигаем каждую точку графика $y = |x|$ на 3 единицы вниз. Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Для более точного построения найдем несколько ключевых точек:

• Вершина: При $x=0$, $y = |0| - 3 = -3$. Координаты вершины: $(0, -3)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
  $|x| - 3 = 0 \implies |x| = 3$.
  Это дает нам два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
• Контрольные точки:
  При $x=1$, $y=|1|-3 = -2$. Точка $(1, -2)$.
  При $x=-1$, $y=|-1|-3 = -2$. Точка $(-1, -2)$.

Соединив вершину $(0, -3)$ с точками $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ лучами, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Это "уголок" с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которого направлены вверх.

б) $y = 4 - |x|$

Для построения графика функции $y = 4 - |x|$ (или $y = -|x| + 4$) мы также выполним последовательность преобразований графика $y = |x|$.

1. Начнем с графика функции $y = |x|$ (V-образный "уголок" с вершиной в $(0, 0)$).

2. Преобразуем его в график функции $y = -|x|$. Умножение функции на -1 соответствует симметричному отражению ее графика относительно оси абсцисс (OX). В результате мы получим "перевернутый уголок", ветви которого направлены вниз, а вершина по-прежнему находится в точке $(0, 0)$.

3. Теперь, чтобы получить график $y = -|x| + 4$, выполним преобразование вида $f(x) \to f(x) + a$. В нашем случае $a=4$. Это соответствует параллельному переносу графика $y = -|x|$ на 4 единицы вверх вдоль оси ординат (OY).

4. В результате вершина "перевернутого уголка" сместится из $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Вершина: При $x=0$, $y = 4 - |0| = 4$. Координаты вершины: $(0, 4)$. Это также точка пересечения с осью OY.
• Пересечение с осью OX (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
  $4 - |x| = 0 \implies |x| = 4$.
  Это дает нам два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.
• Контрольные точки:
  При $x=2$, $y=4-|2| = 2$. Точка $(2, 2)$.
  При $x=-2$, $y=4-|-2| = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Соединив вершину $(0, 4)$ с точками $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ лучами, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = 4 - |x|$ получается путем отражения графика $y = |x|$ относительно оси OX и последующего сдвига на 4 единицы вверх вдоль оси OY. Это "перевернутый уголок" с вершиной в точке $(0, 4)$, ветви которого направлены вниз.

1218. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 − кубом натурального числа.

Пусть искомое наименьшее натуральное число равно $N$. Согласно условию задачи, должны выполняться два условия:

1. Произведение $2 \cdot N$ является квадратом натурального числа. Обозначим это как $2N = a^2$, где $a \in \mathbb{N}$.

2. Произведение $3 \cdot N$ является кубом натурального числа. Обозначим это как $3N = b^3$, где $b \in \mathbb{N}$.

Для решения задачи воспользуемся основной теоремой арифметики о разложении чисел на простые множители.

Число является полным квадратом тогда и только тогда, когда все показатели степеней в его разложении на простые множители являются четными числами.

Число является полным кубом тогда и только тогда, когда все показатели степеней в его разложении на простые множители кратны 3.

Поскольку в условиях задачи фигурируют простые числа 2 и 3, представим искомое число $N$ в виде $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k$, где $x$ и $y$ — наименьшие возможные неотрицательные целые показатели, а $k$ — произведение остальных простых множителей в соответствующих степенях.

Рассмотрим первое условие: $2N = 2 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^{x+1} \cdot 3^y \cdot k = a^2$. Из этого следует, что все показатели степеней в разложении $2N$ должны быть четными:

• показатель $x+1$ должен быть четным, что означает, что $x$ — нечетное число;
• показатель $y$ должен быть четным;
• все показатели степеней в разложении $k$ должны быть четными (то есть $k$ — полный квадрат).

Рассмотрим второе условие: $3N = 3 \cdot (2^x \cdot 3^y \cdot k) = 2^x \cdot 3^{y+1} \cdot k = b^3$. Из этого следует, что все показатели степеней в разложении $3N$ должны быть кратны 3:

• показатель $x$ должен быть кратен 3;
• показатель $y+1$ должен быть кратен 3;
• все показатели степеней в разложении $k$ должны быть кратны 3 (то есть $k$ — полный куб).

Теперь найдем наименьшие неотрицательные целые $x$, $y$ и наименьшее натуральное $k$, удовлетворяющие этим условиям, чтобы найти наименьшее $N$.

Для показателя $x$ (степень двойки):
$x$ должен быть нечетным и одновременно кратным 3. Перебирая числа, кратные 3 (3, 6, 9, ...), видим, что наименьшее нечетное из них — это 3. Итак, $x=3$.

Для показателя $y$ (степень тройки):
$y$ должен быть четным, а $y+1$ должно быть кратно 3. Перебирая четные числа для $y$ (0, 2, 4, ...):

• Если $y=0$, то $y+1=1$, что не кратно 3.
• Если $y=2$, то $y+1=3$, что кратно 3. Это наименьшее подходящее значение.

Итак, $y=2$.

Для множителя $k$:
$k$ должно быть одновременно и полным квадратом, и полным кубом. Это означает, что показатели всех простых множителей в его разложении должны быть кратны 2 и 3, то есть кратны их наименьшему общему кратному, НОК(2, 3) = 6. Чтобы $N$ было наименьшим, нужно выбрать наименьшее натуральное $k$. Этому условию удовлетворяет $k=1$ (в этом случае все показатели равны 0, а 0 кратно 6).

Теперь, зная минимальные значения показателей, мы можем найти наименьшее число $N$: $N = 2^x \cdot 3^y \cdot k = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 1 = 8 \cdot 9 = 72$.

Проверим найденное решение:

• $2 \cdot 72 = 144 = 12^2$. Это квадрат натурального числа.
• $3 \cdot 72 = 216 = 6^3$. Это куб натурального числа.

Оба условия выполнены, и так как мы использовали наименьшие возможные показатели, число 72 является наименьшим.

Ответ: 72.

1219. Докажите, что значение выражения 96⁷ − 22⁵ − 48⁶ кратно 10.

Чтобы доказать, что значение выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ кратно 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра числа — это его остаток от деления на 10. Найдем последнюю цифру каждого члена выражения по отдельности.

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Последняя цифра числа 96 равна 6. Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6 (например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$ и так далее). Следовательно, последняя цифра числа $96^7$ равна 6.

Последняя цифра числа 22 равна 2. Последние цифры степеней числа 2 циклически повторяются: $2^1 \to 2$, $2^2 \to 4$, $2^3 \to 8$, $2^4 \to 6$, $2^5 \to 2$. Длина цикла равна 4. Поскольку показатель степени равен 5, последняя цифра $22^5$ будет такой же, как у $2^1$, то есть 2.

Последняя цифра числа 48 равна 8. Последние цифры степеней числа 8 также циклически повторяются: $8^1 \to 8$, $8^2 \to 4$, $8^3 \to 2$, $8^4 \to 6$, $8^5 \to 8$. Длина цикла равна 4. Поскольку показатель степени равен 6, последняя цифра $48^6$ будет такой же, как у $8^2$ (так как остаток от деления 6 на 4 равен 2), то есть 4.

Теперь найдем последнюю цифру всего выражения, выполнив действия с найденными последними цифрами: $6 - 2 - 4 = 0$.

Поскольку последняя цифра значения выражения $96^7 - 22^5 - 48^6$ равна 0, то само число делится на 10 без остатка, то есть кратно 10, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения кратно 10, так как его последняя цифра равна 0.

1220. В координатной плоскости (рис. 100) отмечена точка M(x; у). Отметьте в этой координатной плоскости точки $\mathbf{B}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{;}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{,}$  $\mathbf{C}\mathbf{(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{,}$  $\mathbf{D}\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}\mathbf{;}\mathbf{ }\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{.}$

Для решения задачи сначала определим координаты точки $M(x; y)$ по предоставленному рисунку. Точка M находится в левой верхней четверти координатной плоскости. Чтобы попасть в точку M из начала координат (0; 0), необходимо сдвинуться на 3 клетки влево по оси x и на 4 клетки вверх по оси y. Принимая одну клетку за единичный отрезок, получаем координаты точки M:

$x = -3$, $y = 4$.

Теперь, используя эти значения, вычислим координаты и отметим на плоскости точки A, B, C и D.

A(2x; 2y)

Подставляем значения $x = -3$ и $y = 4$ в выражения для координат точки A.

Абсцисса точки A: $2x = 2 \cdot (-3) = -6$.

Ордината точки A: $2y = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, точка A имеет координаты $(-6; 8)$. Для ее построения нужно от начала координат отступить на 6 единиц влево и на 8 единиц вверх.

Ответ: A(-6; 8).

B(-3x; $\frac{1}{2}$y)

Подставляем значения $x = -3$ и $y = 4$ в выражения для координат точки B.

Абсцисса точки B: $-3x = -3 \cdot (-3) = 9$.

Ордината точки B: $\frac{1}{2}y = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.

Таким образом, точка B имеет координаты $(9; 2)$. Для ее построения нужно от начала координат отступить на 9 единиц вправо и на 2 единицы вверх.

Ответ: B(9; 2).

C($\frac{1}{2}$x; -2y)

Подставляем значения $x = -3$ и $y = 4$ в выражения для координат точки C.

Абсцисса точки C: $\frac{1}{2}x = \frac{1}{2} \cdot (-3) = -1,5$.

Ордината точки C: $-2y = -2 \cdot 4 = -8$.

Таким образом, точка C имеет координаты $(-1,5; -8)$. Для ее построения нужно от начала координат отступить на 1,5 единицы влево и на 8 единиц вниз.

Ответ: C(-1,5; -8).

D(-$\frac{1}{2}$x; -$\frac{1}{3}$y)

Подставляем значения $x = -3$ и $y = 4$ в выражения для координат точки D.

Абсцисса точки D: $-\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2} \cdot (-3) = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ордината точки D: $-\frac{1}{3}y = -\frac{1}{3} \cdot 4 = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.

Таким образом, точка D имеет координаты $(1,5; -1\frac{1}{3})$. Для ее построения нужно от начала координат отступить на 1,5 единицы вправо и примерно на 1,33 единицы вниз.

Ответ: D(1,5; $-1\frac{1}{3}$).

1221. Что больше: $\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{10}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}}\mathbf{+}\mathbf{1}}$ или $\frac{{\mathbf{10}}^{\mathbf{11}}\mathbf{+}\mathbf{1}}{{\mathbf{10}}^{\mathbf{12}}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{?}$

Для того чтобы определить, какое из чисел больше, сравним дроби $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ и $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.

Чтобы упростить выражения, введем замену. Пусть $x = 10^{10}$. Тогда дроби можно переписать в следующем виде:

Первая дробь: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} = \frac{x + 1}{10 \cdot 10^{10} + 1} = \frac{x + 1}{10x + 1}$

Вторая дробь: $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1} = \frac{10 \cdot 10^{10} + 1}{100 \cdot 10^{10} + 1} = \frac{10x + 1}{100x + 1}$

Теперь задача сводится к сравнению дробей $\frac{x + 1}{10x + 1}$ и $\frac{10x + 1}{100x + 1}$.

Для сравнения двух положительных дробей можно использовать метод перекрестного умножения. Мы сравним произведение числителя первой дроби на знаменатель второй с произведением числителя второй дроби на знаменатель первой. Так как $x = 10^{10} > 0$, знаменатели обеих дробей положительны, и знак неравенства при умножении не изменится.

Сравним выражения $(x + 1)(100x + 1)$ и $(10x + 1)(10x + 1)$.

1. Раскроем скобки в первом произведении:

$(x + 1)(100x + 1) = x \cdot 100x + x \cdot 1 + 1 \cdot 100x + 1 \cdot 1 = 100x^2 + x + 100x + 1 = 100x^2 + 101x + 1$

2. Раскроем скобки во втором произведении (используя формулу квадрата суммы):

$(10x + 1)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot 10x \cdot 1 + 1^2 = 100x^2 + 20x + 1$

3. Теперь сравним полученные выражения:

$100x^2 + 101x + 1$ и $100x^2 + 20x + 1$

Вычтем из обеих частей одинаковые слагаемые $100x^2$ и $1$. Сравнение упрощается до:

$101x$ и $20x$

Так как $x = 10^{10}$ — положительное число, мы можем разделить обе части на $x$, не меняя знака неравенства:

$101$ и $20$

Очевидно, что $101 > 20$.

4. Делаем вывод:

Поскольку $101x > 20x$, то и $100x^2 + 101x + 1 > 100x^2 + 20x + 1$.

Это означает, что $(x + 1)(100x + 1) > (10x + 1)^2$.

Следовательно, первая дробь больше второй:

$\frac{x + 1}{10x + 1} > \frac{10x + 1}{100x + 1}$

Подставляя обратно $x = 10^{10}$, мы получаем окончательный результат:

$\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1} > \frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$

Ответ: $\frac{10^{10} + 1}{10^{11} + 1}$ больше, чем $\frac{10^{11} + 1}{10^{12} + 1}$.

1222. Представьте выражение 2x² + 2у² в виде суммы двух квадратов.

Чтобы представить данное выражение в виде суммы двух квадратов, воспользуемся тождеством, известным как тождество Брахмагупты-Фибоначчи в частном случае, или просто преобразуем выражение, добавив и вычтя один и тот же член.

Исходное выражение: $2x^2 + 2y^2$.

Мы можем переписать это выражение, разбив каждый член на два слагаемых:

$2x^2 + 2y^2 = x^2 + x^2 + y^2 + y^2$

Теперь перегруппируем слагаемые. Чтобы получить полные квадраты, нам нужны удвоенные произведения. Добавим и вычтем выражение $2xy$:

$x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + 2xy - 2xy$

Сгруппируем члены так, чтобы получились формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$

Вспомним формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применив эти формулы к сгруппированным членам, получим:

$(x^2 + 2xy + y^2) = (x+y)^2$

$(x^2 - 2xy + y^2) = (x-y)^2$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в сумму двух квадратов:

$2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$

Для проверки можно раскрыть скобки в полученном выражении:

$(x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2$

Результат совпадает с исходным выражением, следовательно, преобразование выполнено верно.

Ответ: $(x+y)^2 + (x-y)^2$

1223. Если х ≠ 0 или у ≠ 0, то значение выражения 15у² − 18xу + 15у² положительно. Докажите это.

Для доказательства того, что значение выражения $15x^2 - 18xy + 15y^2$ положительно при условии, что $x \neq 0$ или $y \neq 0$, преобразуем данное выражение, выделив в нем сумму квадратов.

Рассмотрим выражение $15x^2 - 18xy + 15y^2$.

Наша цель — представить его в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых является неотрицательным (то есть больше или равно нулю). Идеальный кандидат для этого — квадрат какого-либо выражения, так как он всегда неотрицателен.

Попробуем выделить полный квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Член $-18xy$ можно представить как $-2 \cdot (3x) \cdot (3y)$. Это наводит на мысль о квадрате выражения $(3x-3y)$, который равен $9x^2 - 18xy + 9y^2$.

Чтобы выделить этот квадрат, представим $15x^2$ как $9x^2 + 6x^2$ и $15y^2$ как $9y^2 + 6y^2$.

$15x^2 - 18xy + 15y^2 = (9x^2 + 6x^2) - 18xy + (9y^2 + 6y^2)$

Теперь сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата:

$(9x^2 - 18xy + 9y^2) + 6x^2 + 6y^2$

Выражение в скобках является полным квадратом:

$9(x^2 - 2xy + y^2) + 6x^2 + 6y^2 = 9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$

Таким образом, мы получили, что $15x^2 - 18xy + 15y^2 = 9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$.

Проанализируем полученное выражение:

1. Слагаемое $9(x-y)^2$ всегда неотрицательно, так как является произведением положительного числа 9 и квадрата числа $(x-y)$. То есть $9(x-y)^2 \ge 0$.
2. Слагаемое $6x^2$ всегда неотрицательно, так как $x^2 \ge 0$. То есть $6x^2 \ge 0$.
3. Слагаемое $6y^2$ всегда неотрицательно, так как $y^2 \ge 0$. То есть $6y^2 \ge 0$.

Сумма этих трех неотрицательных слагаемых будет равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю:

$9(x-y)^2 = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y$
$6x^2 = 0 \implies x = 0$
$6y^2 = 0 \implies y = 0$

Система этих трех условий выполняется только при $x=0$ и $y=0$.

По условию задачи, $x \neq 0$ или $y \neq 0$. Это означает, что случай, когда $x$ и $y$ одновременно равны нулю, исключен. Если хотя бы одно из чисел ($x$ или $y$) не равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых $6x^2$ или $6y^2$ будет строго положительным. Поскольку все три слагаемых в сумме $9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$ неотрицательны, а одно из них строго положительно, то и вся сумма будет строго положительной.

Следовательно, если $x \neq 0$ или $y \neq 0$, то значение выражения $15x^2 - 18xy + 15y^2$ всегда положительно.

Ответ: Утверждение доказано. Преобразование выражения к виду $9(x-y)^2 + 6x^2 + 6y^2$ показывает, что оно представляет собой сумму трех неотрицательных слагаемых. Эта сумма равна нулю только при $x=0$ и $y=0$. Во всех остальных случаях, предусмотренных условием, хотя бы одно из слагаемых $6x^2$ или $6y^2$ будет строго положительным, что делает всю сумму строго положительной.