Страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1194. Велосипедист ехал от пункта А до пункта В со скоростью 10 км/ч, а от пункта В до пункта С со скоростью 15 км/ч. На весь путь он затратил 5 ч. Тот же путь за то же время он мог бы проехать со скоростью 12 км/ч. Сколько часов затратил велосипедист на путь от А до В и сколько на путь от В до С?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $t_{AB}$ — время (в часах), затраченное на путь из пункта A в пункт B.
• Пусть $t_{BC}$ — время (в чахас), затраченное на путь из пункта B в пункт C.

По условию, общее время в пути составляет 5 часов. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$t_{AB} + t_{BC} = 5$

Также в условии сказано, что весь путь за то же время (5 часов) можно было бы проехать со средней скоростью 12 км/ч. Это позволяет нам найти общее расстояние $S_{общ}$:

$S_{общ} = 12 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

Общее расстояние также является суммой расстояний участков AB и BC. Расстояние каждого участка можно выразить через скорость и время, используя формулу $S = v \cdot t$:

• Расстояние AB: $S_{AB} = v_{AB} \cdot t_{AB} = 10 \cdot t_{AB}$
• Расстояние BC: $S_{BC} = v_{BC} \cdot t_{BC} = 15 \cdot t_{BC}$

Сложив расстояния участков, получаем второе уравнение:

$S_{AB} + S_{BC} = S_{общ}$

$10 \cdot t_{AB} + 15 \cdot t_{BC} = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_{AB} + t_{BC} = 5 \\ 10t_{AB} + 15t_{BC} = 60 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $t_{AB}$:

$t_{AB} = 5 - t_{BC}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$10 \cdot (5 - t_{BC}) + 15 \cdot t_{BC} = 60$

Раскроем скобки и найдем $t_{BC}$:

$50 - 10t_{BC} + 15t_{BC} = 60$

$5t_{BC} = 60 - 50$

$5t_{BC} = 10$

$t_{BC} = \frac{10}{5} = 2$ часа.

Теперь найдем $t_{AB}$, подставив найденное значение $t_{BC}$ в первое уравнение:

$t_{AB} = 5 - 2 = 3$ часа.

Ответ: на путь от А до В велосипедист затратил 3 часа, а на путь от В до С — 2 часа.

1195. В первый день засеяли 14 первого поля и 13 второго, что составило 340 га. Во второй день засеяли 13 оставшейся части пер − вогополя, что на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля. Найдите площадь каждого поля.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — площадь первого поля в гектарах (га), а $y$ — площадь второго поля в гектарах (га).

Исходя из условия, в первый день засеяли $\frac{1}{4}$ первого поля ($\frac{1}{4}x$) и $\frac{1}{3}$ второго поля ($\frac{1}{3}y$). Общая засеянная площадь в первый день составила 340 га. На основе этих данных мы можем составить первое уравнение:

$\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340$

Далее рассмотрим второй день.

Оставшаяся после первого дня часть первого поля составляет $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$. Во второй день засеяли $\frac{1}{3}$ этой оставшейся части, что равно $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x$ га.

Оставшаяся после первого дня часть второго поля составляет $y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$. Половина этой оставшейся части равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}y = \frac{1}{3}y$ га.

По условию, площадь, засеянная во второй день на первом поле ($\frac{1}{4}x$), на 60 га меньше половины оставшейся части второго поля ($\frac{1}{3}y$). Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 \\ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 \end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $\frac{1}{4}x$ из второго уравнения в первое:

$(\frac{1}{3}y - 60) + \frac{1}{3}y = 340$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$\frac{2}{3}y - 60 = 340$

$\frac{2}{3}y = 340 + 60$

$\frac{2}{3}y = 400$

$y = 400 \cdot \frac{3}{2}$

$y = 600$

Таким образом, площадь второго поля составляет 600 га.

Теперь найдем площадь первого поля $x$, подставив найденное значение $y=600$ во второе уравнение системы:

$\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}(600) - 60$

$\frac{1}{4}x = 200 - 60$

$\frac{1}{4}x = 140$

$x = 140 \cdot 4$

$x = 560$

Следовательно, площадь первого поля составляет 560 га.

Ответ: площадь первого поля — 560 га, площадь второго поля — 600 га.

1196. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см². Если же длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина исходного прямоугольника равна $x$ см, а ширина — $y$ см. Тогда его площадь $S$ равна $x \cdot y$ см?.

Согласно первому условию, если каждую сторону увеличить на 3 см, то новые стороны будут равны $(x + 3)$ см и $(y + 3)$ см. Новая площадь станет $(x + 3)(y + 3)$ см?, что на 90 см? больше исходной. Составим и упростим первое уравнение:
$(x + 3)(y + 3) = xy + 90$
$xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90$
$3x + 3y = 81$
$x + y = 27$

Согласно второму условию, если длину увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то новые стороны будут равны $(x + 5)$ см и $(y - 2)$ см. Новая площадь станет $(x + 5)(y - 2)$ см?, что на 20 см? больше исходной. Составим и упростим второе уравнение:
$(x + 5)(y - 2) = xy + 20$
$xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20$
$-2x + 5y = 30$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 27 \\ -2x + 5y = 30 \end{cases} $

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 27 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$-2(27 - y) + 5y = 30$
$-54 + 2y + 5y = 30$
$7y = 84$
$y = \frac{84}{7}$
$y = 12$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$:
$x = 27 - 12 = 15$

Таким образом, длина прямоугольника составляет 15 см, а ширина — 12 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 15 см и 12 см.

1197. Написали два числа. Если первое число увеличить на 30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе − на 20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?

Пусть первое искомое число — это $x$, а второе — $y$. Их первоначальная сумма равна $x + y$.

Рассмотрим первое условие. Если первое число увеличить на 30%, оно станет равным $x + 0.3x = 1.3x$. Если второе число уменьшить на 10%, оно станет равным $y - 0.1y = 0.9y$. Их новая сумма составит $1.3x + 0.9y$. По условию, эта новая сумма на 6 больше первоначальной, то есть:

$(1.3x + 0.9y) - (x + y) = 6$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$1.3x + 0.9y - x - y = 6$

$0.3x - 0.1y = 6$

Это первое уравнение нашей системы.

Теперь рассмотрим второе условие. Если первое число уменьшить на 10%, оно станет равным $x - 0.1x = 0.9x$. Если второе число уменьшить на 20%, оно станет равным $y - 0.2y = 0.8y$. Их новая сумма составит $0.9x + 0.8y$. По условию, эта сумма на 16 меньше первоначальной, то есть:

$(x + y) - (0.9x + 0.8y) = 16$

Упростим выражение:

$x + y - 0.9x - 0.8y = 16$

$0.1x + 0.2y = 16$

Это второе уравнение.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 0.3x - 0.1y = 6 \\ 0.1x + 0.2y = 16 \end{cases}$

Для удобства решения умножим каждое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} 3x - y = 60 \\ x + 2y = 160 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3x - 60$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 2(3x - 60) = 160$

$x + 6x - 120 = 160$

$7x = 160 + 120$

$7x = 280$

$x = \frac{280}{7}$

$x = 40$

Мы нашли первое число. Теперь найдем второе, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3 \cdot 40 - 60$

$y = 120 - 60$

$y = 60$

Таким образом, искомые числа — это 40 и 60.

Проверим найденное решение.

Первоначальная сумма: $40 + 60 = 100$.
1) Увеличим 40 на 30% ($40 \cdot 1.3 = 52$) и уменьшим 60 на 10% ($60 \cdot 0.9 = 54$). Новая сумма: $52 + 54 = 106$. Сумма увеличилась на $106 - 100 = 6$. Условие выполняется.
2) Уменьшим 40 на 10% ($40 \cdot 0.9 = 36$) и уменьшим 60 на 20% ($60 \cdot 0.8 = 48$). Новая сумма: $36 + 48 = 84$. Сумма уменьшилась на $100 - 84 = 16$. Условие выполняется.

Ответ: 40 и 60.

1198. В магазине находилось два мешка с рисом одинаковой массы и один мешок с пшеном. Масса всех трёх мешков составляла 160 кг. После того как из каждого мешка с рисом продали 20% риса, а из мешка с пшеном − 25% пшена, масса крупы в мешках составила 125 кг. Сколько килограммов риса и пшена было в каждом мешке первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это первоначальная масса риса в одном мешке, а $y$ кг — первоначальная масса пшена в мешке.

По условию, в магазине находилось два мешка с рисом и один мешок с пшеном, а их общая масса составляла 160 кг. На основе этих данных мы можем составить первое уравнение:
$2x + y = 160$

После того как часть крупы продали, ее общая масса в мешках составила 125 кг. Вычислим, сколько всего килограммов крупы было продано:
$160 \text{ кг} - 125 \text{ кг} = 35 \text{ кг}$

Количество проданного риса из двух мешков составляет 20% от их общей первоначальной массы: $2 \times (0.20x) = 0.4x$ кг.
Количество проданного пшена составляет 25% от его первоначальной массы: $0.25y$ кг.
Сумма масс проданной крупы равна 35 кг, что позволяет нам составить второе уравнение:
$0.4x + 0.25y = 35$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} 2x + y = 160 \\ 0.4x + 0.25y = 35 \end{cases} $

Для удобства решения умножим все части второго уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$4 \times (0.4x + 0.25y) = 4 \times 35$
$1.6x + y = 140$

Теперь наша система выглядит так:
$ \begin{cases} 2x + y = 160 \\ 1.6x + y = 140 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти значение $x$:
$(2x + y) - (1.6x + y) = 160 - 140$
$2x - 1.6x = 20$
$0.4x = 20$
$x = \frac{20}{0.4}$
$x = 50$
Следовательно, первоначальная масса риса в одном мешке составляла 50 кг.

Теперь найдем массу пшена $y$, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение ($2x + y = 160$):
$2(50) + y = 160$
$100 + y = 160$
$y = 160 - 100$
$y = 60$
Следовательно, первоначальная масса пшена в мешке составляла 60 кг.

Ответ: первоначально в каждом мешке с рисом было по 50 кг, а в мешке с пшеном — 60 кг.

1199. За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго − на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальная производительность первого станка (деталей в день), а $y$ — первоначальная производительность второго станка (деталей в день).

Из первого условия, что за 8 дней работы на первом станке и 5 дней на втором было изготовлено 235 деталей, получаем первое уравнение:

$8x + 5y = 235$

После усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, то есть стала равна $x + 0.15x = 1.15x$. Производительность второго станка возросла на 20%, то есть стала равна $y + 0.20y = 1.2y$.

Из второго условия, что за 2 дня на усовершенствованном первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей, получаем второе уравнение:

$2 \cdot (1.15x) + 3 \cdot (1.2y) = 100$

Упростим второе уравнение:

$2.3x + 3.6y = 100$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 2.3x + 3.6y = 100 \end{cases}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей во втором уравнении, умножим его на 10:

$23x + 36y = 1000$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 23x + 36y = 1000 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 36, а второе на -5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$36 \cdot (8x + 5y) = 36 \cdot 235 \implies 288x + 180y = 8460$

$-5 \cdot (23x + 36y) = -5 \cdot 1000 \implies -115x - 180y = -5000$

Теперь сложим полученные уравнения:

$(288x + 180y) + (-115x - 180y) = 8460 - 5000$

$288x - 115x = 3460$

$173x = 3460$

$x = \frac{3460}{173}$

$x = 20$

Подставим найденное значение $x=20$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$8(20) + 5y = 235$

$160 + 5y = 235$

$5y = 235 - 160$

$5y = 75$

$y = \frac{75}{5}$

$y = 15$

Следовательно, первоначальная производительность первого станка составляла 20 деталей в день, а второго — 15 деталей в день.

Ответ: раньше на первом станке изготовляли 20 деталей в день, а на втором — 15 деталей в день.