Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1241. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь − за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ км/ч — скорость мотоциклиста в гору, а $y$ км/ч — скорость мотоциклиста под гору.

Сначала переведем общее время в пути в часы:

• Время в пути из А в В: 1 ч 7 мин = $1 + \frac{7}{60} = \frac{67}{60}$ часа.
• Время в пути из В в А: 1 ч 16 мин = $1 + \frac{16}{60} = 1 + \frac{4}{15} = \frac{19}{15}$ часа.

Скорость на ровном участке пути известна и составляет 18 км/ч. Длина этого участка — 12 км. Найдем время, которое мотоциклист тратил на ровный участок в каждом направлении:

$t_{ровн} = \frac{S_{ровн}}{v_{ровн}} = \frac{12 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3}$ часа.

Чтобы найти время, затраченное на подъемы и спуски, вычтем время движения по ровному месту из общего времени в пути для каждого направления.

• Время на подъемы и спуски на пути из А в В: $t_{1} = \frac{67}{60} - \frac{2}{3} = \frac{67}{60} - \frac{40}{60} = \frac{27}{60} = \frac{9}{20}$ часа.
• Время на подъемы и спуски на пути из В в А: $t_{2} = \frac{19}{15} - \frac{2}{3} = \frac{19}{15} - \frac{10}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ часа.

Теперь составим систему уравнений, используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$.

На пути из А в В мотоциклист проехал 3 км в гору (со скоростью $x$) и 6 км под гору (со скоростью $y$). Уравнение будет таким:

$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20}$

На обратном пути из В в А участок, который был подъемом, стал спуском, и наоборот. Значит, мотоциклист проехал 6 км в гору (со скоростью $x$) и 3 км под гору (со скоростью $y$). Уравнение для обратного пути:

$\frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5}$

Получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{9}{20} \\ \frac{6}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{5} \end{cases}$

Для удобства решения разделим первое уравнение на 3, а второе — на 3:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{3}{20} \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы применить метод вычитания:

$2 \cdot (\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) = 2 \cdot \frac{1}{5} \implies \frac{4}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{5}$

Теперь вычтем из полученного уравнения первое уравнение системы:

$(\frac{4}{x} + \frac{2}{y}) - (\frac{1}{x} + \frac{2}{y}) = \frac{2}{5} - \frac{3}{20}$

$\frac{3}{x} = \frac{8}{20} - \frac{3}{20}$

$\frac{3}{x} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим $x$: $x = 3 \cdot 4 = 12$. Скорость в гору равна 12 км/ч.

Подставим найденное значение $x = 12$ во второе упрощенное уравнение $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$:

$\frac{2}{12} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{y} = \frac{6 - 5}{30} = \frac{1}{30}$

Отсюда находим $y$: $y = 30$. Скорость под гору равна 30 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста в гору — 12 км/ч, скорость под гору — 30 км/ч.

1242. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

Для решения этой задачи введем условную единицу работы — «человеко-полдня». Эта единица равна объему работы (площади), которую скашивает один косец за половину рабочего дня. Пусть $N$ — искомое количество косцов в артели.

Сначала определим площадь большого луга в этих единицах. В первую половину дня вся артель ($N$ косцов) работала на нем, выполнив работу, равную $N$ единиц. Во вторую половину дня на нем работала половина артели ($\frac{N}{2}$ косцов), выполнив работу, равную $\frac{N}{2}$ единиц. Так как к вечеру луг был скошен, его общая площадь $S_{б}$ составляет:

$S_{б} = N + \frac{N}{2} = \frac{3N}{2}$

Теперь рассмотрим малый луг. По условию, его площадь $S_{м}$ вдвое меньше площади большого луга:

$S_{м} = \frac{S_{б}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3N}{2} = \frac{3N}{4}$

С другой стороны, рассчитаем площадь малого луга исходя из того, как его косили. Во вторую половину дня на нем работала половина артели ($\frac{N}{2}$ косцов), выполнив объем работы в $\frac{N}{2}$ единиц. Оставшийся участок на следующий день косил один косец в течение целого дня (то есть двух половин дня), выполнив объем работы в $1 \cdot 2 = 2$ единицы. Таким образом, общая площадь малого луга также равна:

$S_{м} = \frac{N}{2} + 2$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для площади малого луга, чтобы найти $N$:

$\frac{3N}{4} = \frac{N}{2} + 2$

Для решения уравнения умножим обе его части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$3N = 2N + 8$

Вычтем $2N$ из обеих частей:

$3N - 2N = 8$

$N = 8$

Проверим решение. Пусть в артели 8 косцов. Тогда площадь большого луга равна $\frac{3 \cdot 8}{2} = 12$ условных единиц. Площадь малого луга — $12 / 2 = 6$ единиц. В первую половину дня 8 косцов скосили на большом лугу 8 ед. Во вторую половину дня 4 косца докосили на большом лугу 4 ед. (итого $8+4=12$), а другие 4 косца скосили на малом лугу 4 ед. Осталось $6-4=2$ ед. На следующий день 1 косец работал весь день (2 половины дня), скосив $1 \cdot 2 = 2$ ед. Все верно.

Ответ: 8 косцов.

1243. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин выехали навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Пусть $v_а$ км/ч — скорость автобуса, а $v_л$ км/ч — скорость легкового автомобиля. Расстояние между городами $S = 180$ км.

В первой ситуации автобус и легковой автомобиль выехали одновременно в 6 ч 20 мин и встретились в 7 ч 50 мин. Время их совместного движения до встречи составляет:$t_1 = 7 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 6 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч}$.За это время они вместе проехали всё расстояние в 180 км. Так как они двигались навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей $(v_а + v_л)$. Составим первое уравнение на основе формулы пути $S = v \cdot t$:$(v_а + v_л) \cdot 1.5 = 180$.Отсюда находим сумму скоростей:$v_а + v_л = \frac{180}{1.5} = 120$.

Во второй, гипотетической, ситуации, если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше (то есть в $6 \text{ ч } 20 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 5 \text{ ч } 5 \text{ мин}$), а легковой автомобиль — на 15 мин позже (то есть в $6 \text{ ч } 20 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 35 \text{ мин}$), то они встретились бы в 7 ч 35 мин.Найдем время в пути для каждого транспортного средства до момента встречи:Время в пути для автобуса: $t_а = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин} - 5 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2.5 \text{ ч}$.Время в пути для легкового автомобиля: $t_л = 7 \text{ ч } 35 \text{ мин} - 6 \text{ ч } 35 \text{ мин} = 1 \text{ ч}$.Расстояние, пройденное автобусом, равно $S_а = v_а \cdot t_а = 2.5v_а$. Расстояние, пройденное легковым автомобилем, равно $S_л = v_л \cdot t_л = v_л \cdot 1 = v_л$.Вместе они проехали 180 км, поэтому $S_а + S_л = 180$. Составим второе уравнение:$2.5v_а + v_л = 180$.

Теперь решим полученную систему из двух линейных уравнений:$$ \begin{cases} v_а + v_л = 120 \\ 2.5v_а + v_л = 180 \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $v_л$: $v_л = 120 - v_а$.Подставим это выражение во второе уравнение:$2.5v_а + (120 - v_а) = 180$.$1.5v_а + 120 = 180$.$1.5v_а = 60$.$v_а = \frac{60}{1.5} = 40$.Таким образом, скорость автобуса равна 40 км/ч.Теперь найдем скорость легкового автомобиля:$v_л = 120 - v_а = 120 - 40 = 80$.Таким образом, скорость легкового автомобиля равна 80 км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 40 км/ч, скорость легкового автомобиля — 80 км/ч.

1244. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой − в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость вело − сипедиста, если скорость одного автобуса в 157 раза больше скорости другого.

Обозначим неизвестные величины, используемые в решении:

• $v_в$ - искомая скорость велосипедиста в км/ч;
• $v_{а1}$ и $v_{а2}$ - скорости первого и второго автобусов в км/ч;
• $S$ - расстояние между городами, которое по условию равно 100 км.

Все трое участников движения (велосипедист и два автобуса) начинают движение одновременно в 8 ч 50 мин. Автобусы движутся из города А в город В, а велосипедист — из города В в город А, то есть навстречу автобусам.

1. Определение времени движения до встреч

Первая встреча велосипедиста с одним из автобусов произошла в 10 ч 10 мин. Вычислим, сколько времени прошло с начала движения:

$t_1 = 10 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = (9 \text{ ч } + 60 \text{ мин}) + 10 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 9 \text{ ч } 70 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.

Переведем это время в часы для удобства расчетов: $t_1 = 1 \frac{20}{60} \text{ ч} = 1 \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{4}{3}$ часа.

Вторая встреча велосипедиста с другим автобусом произошла в 10 ч 50 мин. Вычислим время, прошедшее с начала движения:

$t_2 = 10 \text{ ч } 50 \text{ мин} - 8 \text{ ч } 50 \text{ мин} = 2$ часа.

2. Составление уравнений на основе данных о встречах

Поскольку автобусы выехали одновременно из одной точки, а встреча с велосипедистом произошла в разное время, их скорости различны. Автобус, с которым встреча произошла раньше ($t_1 < t_2$), имеет большую скорость. Обозначим его скорость $v_{быстр}$, а скорость второго, более медленного автобуса, — $v_{медл}$.

При движении навстречу друг другу суммарное расстояние, пройденное велосипедистом и автобусом до момента встречи, равно расстоянию между городами $S=100$ км. Скорость сближения равна сумме их скоростей.

Для первой встречи (с быстрым автобусом):
$(v_{быстр} + v_в) \cdot t_1 = S$
$(v_{быстр} + v_в) \cdot \frac{4}{3} = 100$
Отсюда находим сумму скоростей:
$v_{быстр} + v_в = \frac{100 \cdot 3}{4} = 75$ (Уравнение 1).

Для второй встречи (с медленным автобусом):
$(v_{медл} + v_в) \cdot t_2 = S$
$(v_{медл} + v_в) \cdot 2 = 100$
Отсюда находим сумму скоростей:
$v_{медл} + v_в = \frac{100}{2} = 50$ (Уравнение 2).

3. Использование соотношения скоростей автобусов

По условию задачи скорость одного автобуса в $1\frac{5}{7}$ раза больше скорости другого. Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.
Так как $v_{быстр} > v_{медл}$, то их скорости соотносятся как:
$v_{быстр} = \frac{12}{7} v_{медл}$ (Уравнение 3).

4. Решение системы уравнений и нахождение скорости велосипедиста

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($v_в, v_{быстр}, v_{медл}$):
1) $v_{быстр} + v_в = 75$
2) $v_{медл} + v_в = 50$
3) $v_{быстр} = \frac{12}{7} v_{медл}$

Выразим скорости автобусов через скорость велосипедиста из уравнений (1) и (2):
$v_{быстр} = 75 - v_в$
$v_{медл} = 50 - v_в$

Подставим эти выражения в уравнение (3):
$75 - v_в = \frac{12}{7} (50 - v_в)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_в$. Для этого умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:
$7 \cdot (75 - v_в) = 12 \cdot (50 - v_в)$
$525 - 7v_в = 600 - 12v_в$
Перенесем члены с $v_в$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$12v_в - 7v_в = 600 - 525$
$5v_в = 75$
$v_в = \frac{75}{5}$
$v_в = 15$

Скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

1245. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние от пункта A до пункта B (в км).
• $v_в$ – скорость всадника (в км/ч).
• $v_п$ – скорость пешехода (в км/ч).

Переведем все временные интервалы в часы для удобства расчетов:

• 50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч.
• 1 ч 40 мин = $1 + \frac{40}{60}$ ч = $1 + \frac{2}{3}$ ч = $\frac{5}{3}$ ч.

Найдем расстояние от А до В

Всадник затратил на весь путь (из A в B и обратно в A) $\frac{5}{3}$ часа. Расстояние в одну сторону он проехал за половину этого времени, так как его скорость была постоянной.

Время всадника на путь из A в B: $t_в = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$ часа.

По условию, всадник прибыл в пункт B на 50 минут ($\frac{5}{6}$ часа) раньше пешехода. Это означает, что время пешехода на путь из A в B на $\frac{5}{6}$ часа больше, чем время всадника.

Время пешехода на путь из A в B: $t_п = t_в + \frac{5}{6} = \frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ часа.

Теперь рассмотрим момент встречи. Всадник и пешеход вышли одновременно. К моменту встречи всадник проехал расстояние от A до B и вернулся на 2 км обратно. Пешеход за то же самое время прошел расстояние от A до точки встречи.

Путь всадника до встречи: $S_{в} = S + 2$ км.

Путь пешехода до встречи: $S_{п} = S - 2$ км.

Так как время до встречи для обоих одинаково, мы можем составить пропорцию, используя их скорости:

Время до встречи: $t_{встречи} = \frac{S_в}{v_в} = \frac{S_п}{v_п}$.

Отсюда: $\frac{v_в}{v_п} = \frac{S_в}{S_п} = \frac{S+2}{S-2}$.

Мы также знаем, что отношение скоростей обратно пропорционально отношению времен, затраченных на одинаковое расстояние $S$:

$\frac{v_в}{v_п} = \frac{t_п}{t_в} = \frac{5/3}{5/6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = 2$.

Теперь приравняем два выражения для отношения скоростей:

$\frac{S+2}{S-2} = 2$

$S+2 = 2(S-2)$

$S+2 = 2S - 4$

$2S - S = 2 + 4$

$S = 6$

Ответ: расстояние от А до В равно 6 км.

Найдем скорость всадника

Всадник проехал расстояние $S=6$ км за время $t_в = \frac{5}{6}$ часа.

$v_в = \frac{S}{t_в} = \frac{6}{5/6} = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ км/ч.

Ответ: скорость всадника равна 7,2 км/ч.

Найдем скорость пешехода

Пешеход прошел расстояние $S=6$ км за время $t_п = \frac{5}{3}$ часа.

$v_п = \frac{S}{t_п} = \frac{6}{5/3} = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ км/ч.

Можно также найти скорость пешехода, зная, что она в 2 раза меньше скорости всадника: $v_п = \frac{v_в}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 3,6 км/ч.

1246. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?

Для решения этой задачи ключевым является понимание того, что масса "сухого" угля (без воды) остается неизменной. Увеличивается только масса воды, которую уголь впитывает из воздуха.

1. Найдем массу сухого вещества в первоначальной тонне угля.
Изначальная масса угля составляет 1 тонну, что равно 1000 кг.
Содержание воды в нем — 2%. Следовательно, содержание "сухого" угля составляет $100\% - 2\% = 98\%$.
Вычислим массу сухого угля:
$M_{сух} = 1000 \text{ кг} \cdot 0.98 = 980 \text{ кг}$.
Эта масса остается постоянной.

2. Найдем новую общую массу угля.
Через две недели содержание воды в угле стало 12%. Это означает, что доля сухого вещества в новой массе угля составляет $100\% - 12\% = 88\%$.
Мы знаем, что масса сухого вещества по-прежнему равна 980 кг. Пусть $M_{новая}$ — это новая общая масса угля. Тогда мы можем составить пропорцию:
$980 \text{ кг} \rightarrow 88\%$
$M_{новая} \rightarrow 100\%$
Отсюда находим новую массу:
$M_{новая} = \frac{980 \text{ кг} \cdot 100\%}{88\%} = \frac{980}{0.88} \text{ кг}$.
$M_{новая} = \frac{98000}{88} = \frac{12250}{11} \approx 1113.64 \text{ кг}$.

3. Найдем, на сколько килограммов увеличилась масса угля.
Для этого вычтем из новой массы первоначальную:
$\Delta M = M_{новая} - M_{начальная} = \frac{12250}{11} \text{ кг} - 1000 \text{ кг}$.
$\Delta M = \frac{12250}{11} - \frac{11000}{11} = \frac{1250}{11} \text{ кг}$.
Преобразуем в смешанную дробь:
$\frac{1250}{11} = 113 \frac{7}{11} \text{ кг}$.

Ответ: масса добытой тонны угля увеличилась на $113 \frac{7}{11}$ кг.

1247. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

Обозначим обычную скорость ходьбы братьев как $v_х$, а скорость бега первого брата как $v_б$. Требуется найти отношение скоростей $k = \frac{v_б}{v_х}$.

Общее время пути домой в этот день было на 6 минут больше обычного. Эта задержка возникла исключительно из-за событий, произошедших в промежутке времени от момента, когда первый брат побежал обратно к школе, до момента, когда он догнал второго. Назовем этот временной промежуток "инцидентом", а его длительность — $t_{инц}$.

Установим связь между общей задержкой в 6 минут и длительностью инцидента $t_{инц}$.Пусть $S$ — расстояние от школы до дома, а $T_{об} = \frac{S}{v_х}$ — обычное время в пути.Время в пути в день инцидента $T_{необ}$ складывается из трех частей:
1. Время ходьбы до разделения: 15 минут.
2. Длительность инцидента: $t_{инц}$.
3. Время ходьбы от точки встречи (M) до дома: $\frac{S - d_M}{v_х}$, где $d_M$ — расстояние от школы до точки встречи.

Суммарное время: $T_{необ} = 15 + t_{инц} + \frac{S - d_M}{v_х} = 15 + t_{инц} + \frac{S}{v_х} - \frac{d_M}{v_х}$.Поскольку $\frac{S}{v_х} = T_{об}$, мы можем записать: $T_{необ} = T_{об} + 15 + t_{инц} - \frac{d_M}{v_х}$.По условию задачи, $T_{необ} = T_{об} + 6$.Приравнивая выражения, получаем: $T_{об} + 6 = T_{об} + 15 + t_{инц} - \frac{d_M}{v_х}$.Отсюда следует: $6 = 15 + t_{инц} - \frac{d_M}{v_х}$.

Теперь выразим расстояние до точки встречи $d_M$ через $t_{инц}$. За время инцидента второй брат шел со скоростью $\frac{v_х}{2}$. До начала инцидента он уже прошел расстояние $15 \cdot v_х$. Значит, расстояние, которое он прошел за время инцидента, составляет $d_M - 15 \cdot v_х$.Таким образом, $d_M - 15v_х = \frac{v_х}{2} \cdot t_{инц}$.Разделим обе части на $v_х$: $\frac{d_M}{v_х} - 15 = \frac{t_{инц}}{2}$, что дает $\frac{d_M}{v_х} = \frac{t_{инц}}{2} + 15$.

Подставим это выражение в полученное ранее уравнение для задержки:$6 = 15 + t_{инц} - \left(\frac{t_{инц}}{2} + 15\right)$$6 = 15 + t_{инц} - \frac{t_{инц}}{2} - 15$$6 = \frac{t_{инц}}{2}$$t_{инц} = 12$ минут.

Итак, продолжительность инцидента составила 12 минут. Теперь мы можем найти искомое отношение скоростей. За эти 12 минут:
• Второй брат, начав с расстояния $15 \cdot v_х$ от школы, шел со скоростью $\frac{v_х}{2}$ и прошел дополнительное расстояние $12 \cdot \frac{v_х}{2} = 6v_х$. Таким образом, точка встречи M находится на расстоянии $d_M = 15v_х + 6v_х = 21v_х$ от школы.
• Первый брат бежал со скоростью $v_б$. Сначала он вернулся к школе (расстояние $15v_х$), а затем добежал до точки M (расстояние $21v_х$). Суммарное расстояние, которое он пробежал, равно $15v_х + 21v_х = 36v_х$.

Первый брат пробежал расстояние $36v_х$ за 12 минут со скоростью $v_б$. Составим уравнение:$12 \cdot v_б = 36v_х$Разделив обе части на 12, получаем:$v_б = 3v_х$

Следовательно, отношение скорости бега к скорости ходьбы равно 3.

Ответ: Скорость бега первого брата в 3 раза больше обычной скорости ходьбы братьев.