Номер 1247, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1247, страница 237.

1247. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

Обозначим обычную скорость ходьбы братьев как $v_х$, а скорость бега первого брата как $v_б$. Требуется найти отношение скоростей $k = \frac{v_б}{v_х}$.

Общее время пути домой в этот день было на 6 минут больше обычного. Эта задержка возникла исключительно из-за событий, произошедших в промежутке времени от момента, когда первый брат побежал обратно к школе, до момента, когда он догнал второго. Назовем этот временной промежуток "инцидентом", а его длительность — $t_{инц}$.

Установим связь между общей задержкой в 6 минут и длительностью инцидента $t_{инц}$.Пусть $S$ — расстояние от школы до дома, а $T_{об} = \frac{S}{v_х}$ — обычное время в пути.Время в пути в день инцидента $T_{необ}$ складывается из трех частей:
1. Время ходьбы до разделения: 15 минут.
2. Длительность инцидента: $t_{инц}$.
3. Время ходьбы от точки встречи (M) до дома: $\frac{S - d_M}{v_х}$, где $d_M$ — расстояние от школы до точки встречи.

Суммарное время: $T_{необ} = 15 + t_{инц} + \frac{S - d_M}{v_х} = 15 + t_{инц} + \frac{S}{v_х} - \frac{d_M}{v_х}$.Поскольку $\frac{S}{v_х} = T_{об}$, мы можем записать: $T_{необ} = T_{об} + 15 + t_{инц} - \frac{d_M}{v_х}$.По условию задачи, $T_{необ} = T_{об} + 6$.Приравнивая выражения, получаем: $T_{об} + 6 = T_{об} + 15 + t_{инц} - \frac{d_M}{v_х}$.Отсюда следует: $6 = 15 + t_{инц} - \frac{d_M}{v_х}$.

Теперь выразим расстояние до точки встречи $d_M$ через $t_{инц}$. За время инцидента второй брат шел со скоростью $\frac{v_х}{2}$. До начала инцидента он уже прошел расстояние $15 \cdot v_х$. Значит, расстояние, которое он прошел за время инцидента, составляет $d_M - 15 \cdot v_х$.Таким образом, $d_M - 15v_х = \frac{v_х}{2} \cdot t_{инц}$.Разделим обе части на $v_х$: $\frac{d_M}{v_х} - 15 = \frac{t_{инц}}{2}$, что дает $\frac{d_M}{v_х} = \frac{t_{инц}}{2} + 15$.

Подставим это выражение в полученное ранее уравнение для задержки:$6 = 15 + t_{инц} - \left(\frac{t_{инц}}{2} + 15\right)$$6 = 15 + t_{инц} - \frac{t_{инц}}{2} - 15$$6 = \frac{t_{инц}}{2}$$t_{инц} = 12$ минут.

Итак, продолжительность инцидента составила 12 минут. Теперь мы можем найти искомое отношение скоростей. За эти 12 минут:
• Второй брат, начав с расстояния $15 \cdot v_х$ от школы, шел со скоростью $\frac{v_х}{2}$ и прошел дополнительное расстояние $12 \cdot \frac{v_х}{2} = 6v_х$. Таким образом, точка встречи M находится на расстоянии $d_M = 15v_х + 6v_х = 21v_х$ от школы.
• Первый брат бежал со скоростью $v_б$. Сначала он вернулся к школе (расстояние $15v_х$), а затем добежал до точки M (расстояние $21v_х$). Суммарное расстояние, которое он пробежал, равно $15v_х + 21v_х = 36v_х$.

Первый брат пробежал расстояние $36v_х$ за 12 минут со скоростью $v_б$. Составим уравнение:$12 \cdot v_б = 36v_х$Разделив обе части на 12, получаем:$v_б = 3v_х$

Следовательно, отношение скорости бега к скорости ходьбы равно 3.

Ответ: Скорость бега первого брата в 3 раза больше обычной скорости ходьбы братьев.