Номер 1240, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1240, страница 236.

1240. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения х + у = 26.

Нам необходимо найти все пары простых чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению $x + y = 26$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Сумма $x+y$ равна 26, что является четным числом. Сумма двух чисел является четной, если оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Проанализируем возможные варианты для простых чисел $x$ и $y$.

Случай 1: Оба числа $x$ и $y$ — четные простые числа.
Единственное четное простое число — это 2. В этом случае $x=2$ и $y=2$.
Проверим их сумму: $2 + 2 = 4$.
Поскольку $4 \neq 26$, данная пара не является решением уравнения.

Случай 2: Оба числа $x$ и $y$ — нечетные простые числа.
Мы ищем пары нечетных простых чисел, сумма которых равна 26. Для этого выпишем все простые числа, которые меньше 26: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Будем поочередно проверять нечетные простые числа из этого списка. Пусть $x$ — одно из них, тогда $y$ можно найти по формуле $y = 26 - x$.

Проведем проверку:
• Если $x = 3$, то $y = 26 - 3 = 23$. Число 23 является простым. Значит, пара $(3, 23)$ — решение.
• Если $x = 5$, то $y = 26 - 5 = 21$. Число 21 не является простым, так как $21 = 3 \cdot 7$.
• Если $x = 7$, то $y = 26 - 7 = 19$. Число 19 является простым. Значит, пара $(7, 19)$ — решение.
• Если $x = 11$, то $y = 26 - 11 = 15$. Число 15 не является простым, так как $15 = 3 \cdot 5$.
• Если $x = 13$, то $y = 26 - 13 = 13$. Число 13 является простым. Значит, пара $(13, 13)$ — решение.

Проверка для $x > 13$ не требуется, так как она даст те же пары, но в обратном порядке (например, при $x = 19$, получим $y = 7$). Так как уравнение $x + y = 26$ симметрично, если $(a,b)$ является решением, то и $(b,a)$ является решением.

Таким образом, все искомые пары простых чисел: (3, 23), (23, 3), (7, 19), (19, 7) и (13, 13).

Ответ: (3, 23), (7, 19), (13, 13), (19, 7), (23, 3).