Номер 1237, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1237, страница 236.

Условие.

1237. Решите систему уравнений:

Решение 1.

$$\begin{gathered} \mathbf{а}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=-1, \\ \mathrm{y}-\mathrm{z}=-1,\\ \mathrm{z}+\mathrm{x}=8;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=-1, \left(1\right) \\ \mathrm{y}-\mathrm{z}=-1, \left(2\right)\\ \mathrm{x}+\mathrm{z}=8 \left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

(2) + (3)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=-1, \left(1\right) \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=7, \left(2\right)\\ \mathrm{x}+\mathrm{z}=8 \left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

(1) + (2)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=6, \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=7,\\ \mathrm{x}+\mathrm{z}=8;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3, \\ 3+\mathrm{y}=7,\\ 3+\mathrm{z}=8;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3, \\ \mathrm{y}=4,\\ \mathrm{x}=5.\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Ответ: x = 3; y = 4; z = 5.

$$\begin{gathered} \mathbf{б}\mathbf{)}\mathbf{ }\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=-3 /·(-1), \\ \mathrm{y}+\mathrm{z}=6,\\ \mathrm{z}+\mathrm{x}=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}-\mathrm{y}=3, \left(1\right) \\ \mathrm{z}+\mathrm{y}=6, \left(2\right)\\ \mathrm{z}+\mathrm{x}=1; \left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

(1) + (2)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}-\mathrm{x}=9, \left(1\right) \\ \mathrm{z}+\mathrm{x}=1, \left(2\right)\\ \mathrm{z}+\mathrm{y}=6; \left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

(1) + (2)

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2\mathrm{z}=10, \\ \mathrm{z}+\mathrm{x}=1,\\ \mathrm{z}+\mathrm{y}=6;\end{array} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=5,\\ 5+\mathrm{x}=1, \\ 5+\mathrm{y}=6;\end{array}\right.\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=5, \\ \mathrm{x}=-4,\\ \mathrm{y}=1.\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: x = -4; y = 1; z = 5.

$$\begin{gathered} \mathbf{в}\mathbf{)} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z}=1, \\ \mathrm{x}-\mathrm{y}-\mathrm{z}=-2,\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=1-2\mathrm{z}, \\ 1-2\mathrm{z}-\mathrm{z}=-2,\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=1;\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=1-2\mathrm{z}, \\ 1-3\mathrm{z}=-2,\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=1,\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}=1-2\mathrm{z}, \\ 3\mathrm{z}=3,\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=1;\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=1, \\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=1-2·1,\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+1=1;\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=1, \\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=-1,\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}=0;\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=1, \\ \mathrm{y}=2\mathrm{x},\\ \mathrm{x}-2\mathrm{x}=-1,\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=1, \\ -\mathrm{x}=-1,\\ \mathrm{y}=2\mathrm{x};\end{array}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=1, \\ \mathrm{x}=1,\\ \mathrm{y}=2.\end{array}\right.\right.\right. \end{gathered}$$

Ответ: x = 1; y = 2; z = 1.

Решение 2.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = -1 & (1) \\ y - z = -1 & (2) \\ z + x = 8 & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x - y) + (y - z) + (z + x) = -1 + (-1) + 8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x - y + y - z + z + x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое и третье уравнения, чтобы найти $y$ и $z$.

Из уравнения (1):

$3 - y = -1$

$y = 3 + 1 = 4$

Из уравнения (3):

$z + 3 = 8$

$z = 8 - 3 = 5$

Проверим найденные значения по второму уравнению:

$y - z = 4 - 5 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(3; 4; 5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -3 & (1) \\ y + z = 6 & (2) \\ z + x = 1 & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -3 + 6 + 1$

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$x + y + z = 2 \quad (4)$

Теперь, чтобы найти каждую переменную, вычтем из уравнения (4) поочередно уравнения (1), (2) и (3).

Вычтем (1) из (4):

$(x + y + z) - (x + y) = 2 - (-3)$

$z = 5$

Вычтем (2) из (4):

$(x + y + z) - (y + z) = 2 - 6$

$x = -4$

Вычтем (3) из (4):

$(x + y + z) - (z + x) = 2 - 1$

$y = 1$

Ответ: $(-4; 1; 5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2z = 1 & (1) \\ x - y - z = -2 & (2) \\ 2x - y + z = 1 & (3) \end{cases} $

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1). Это позволит нам исключить переменные $x$ и $y$ одновременно.

$(x - y + 2z) - (x - y - z) = 1 - (-2)$

$x - y + 2z - x + y + z = 1 + 2$

$3z = 3$

$z = 1$

Подставим значение $z = 1$ в уравнения (2) и (3), чтобы получить систему из двух уравнений с двумя переменными.

$ \begin{cases} x - y - 1 = -2 \\ 2x - y + 1 = 1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} x - y = -1 & (4) \\ 2x - y = 0 & (5) \end{cases} $

Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

$(2x - y) - (x - y) = 0 - (-1)$

$2x - y - x + y = 1$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в уравнение (5), чтобы найти $y$:

$2(1) - y = 0$

$2 - y = 0$

$y = 2$

Ответ: $(1; 2; 1)$.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.