Номер 1237, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1237, страница 236.

1237. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = -1 & (1) \\ y - z = -1 & (2) \\ z + x = 8 & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x - y) + (y - z) + (z + x) = -1 + (-1) + 8$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x - y + y - z + z + x = 6$

$2x = 6$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое и третье уравнения, чтобы найти $y$ и $z$.

Из уравнения (1):

$3 - y = -1$

$y = 3 + 1 = 4$

Из уравнения (3):

$z + 3 = 8$

$z = 8 - 3 = 5$

Проверим найденные значения по второму уравнению:

$y - z = 4 - 5 = -1$. Равенство верно.

Ответ: $(3; 4; 5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -3 & (1) \\ y + z = 6 & (2) \\ z + x = 1 & (3) \end{cases} $

Сложим все три уравнения системы:

$(x + y) + (y + z) + (z + x) = -3 + 6 + 1$

$2x + 2y + 2z = 4$

Разделим обе части полученного уравнения на 2:

$x + y + z = 2 \quad (4)$

Теперь, чтобы найти каждую переменную, вычтем из уравнения (4) поочередно уравнения (1), (2) и (3).

Вычтем (1) из (4):

$(x + y + z) - (x + y) = 2 - (-3)$

$z = 5$

Вычтем (2) из (4):

$(x + y + z) - (y + z) = 2 - 6$

$x = -4$

Вычтем (3) из (4):

$(x + y + z) - (z + x) = 2 - 1$

$y = 1$

Ответ: $(-4; 1; 5)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y + 2z = 1 & (1) \\ x - y - z = -2 & (2) \\ 2x - y + z = 1 & (3) \end{cases} $

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1). Это позволит нам исключить переменные $x$ и $y$ одновременно.

$(x - y + 2z) - (x - y - z) = 1 - (-2)$

$x - y + 2z - x + y + z = 1 + 2$

$3z = 3$

$z = 1$

Подставим значение $z = 1$ в уравнения (2) и (3), чтобы получить систему из двух уравнений с двумя переменными.

$ \begin{cases} x - y - 1 = -2 \\ 2x - y + 1 = 1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} x - y = -1 & (4) \\ 2x - y = 0 & (5) \end{cases} $

Вычтем уравнение (4) из уравнения (5):

$(2x - y) - (x - y) = 0 - (-1)$

$2x - y - x + y = 1$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в уравнение (5), чтобы найти $y$:

$2(1) - y = 0$

$2 - y = 0$

$y = 2$

Ответ: $(1; 2; 1)$.