Номер 1242, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1242, страница 237.

Условие.

1242. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

Решение 1.

Примем за 1 – площадь большого луга, тогда $\frac{1}{2}$ – площадь меньшего луга.

Так как первую часть большого луга косила вся артель первую половину дня, а вторую часть – только её половина вторую половину дня, значит первая часть луга в 2 раза больше второй. И тогда весь луг можно условно разделить на три равные части.

Итак, первая часть равна $\frac{2}{3}$ большого луга, которую косила вся артель половину дня; $\frac{1}{3}$ большого луга – это вторая часть, которую косила половина артели вторую половину дня.

Так как вторая половина артели во второй половине дня косила малый луг, то часть, которую она скосила, равна той части большого луга, которую скосила половина артели во второй половине дня.

Так как второй луг в 2 раза меньше первого, то $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ – часть луга, которую весь день косил один косец. Значит, весь малый луг он один может скосить за $\frac{1}{2}:\frac{1}{6}=\frac{1}{2}·\frac{6}{1}=3 \left(\mathrm{дня}\right),$ тогда большой луг он может скосить за 3 ⋅ 2 = 6 (дней), а $\frac{2}{3}$ большого луга за $\frac{2}{3}:\frac{1}{6}=\frac{2}{3}·\frac{6}{1}=4 \left(\mathrm{дня}\right).$ Получим, что $\frac{2}{3}$ луга один косец косит за 4 дня, а вся артель за $\frac{1}{2}$ дня.

$4:\frac{1}{2}=4·\frac{2}{1}=8$ – это в 8 раз быстрее. Значит, всего в артели было 8 косцов.

Ответ: 8 косцов.

Решение 2.

Для решения этой задачи введем условную единицу работы — «человеко-полдня». Эта единица равна объему работы (площади), которую скашивает один косец за половину рабочего дня. Пусть $N$ — искомое количество косцов в артели.

Сначала определим площадь большого луга в этих единицах. В первую половину дня вся артель ($N$ косцов) работала на нем, выполнив работу, равную $N$ единиц. Во вторую половину дня на нем работала половина артели ($\frac{N}{2}$ косцов), выполнив работу, равную $\frac{N}{2}$ единиц. Так как к вечеру луг был скошен, его общая площадь $S_{б}$ составляет:

$S_{б} = N + \frac{N}{2} = \frac{3N}{2}$

Теперь рассмотрим малый луг. По условию, его площадь $S_{м}$ вдвое меньше площади большого луга:

$S_{м} = \frac{S_{б}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3N}{2} = \frac{3N}{4}$

С другой стороны, рассчитаем площадь малого луга исходя из того, как его косили. Во вторую половину дня на нем работала половина артели ($\frac{N}{2}$ косцов), выполнив объем работы в $\frac{N}{2}$ единиц. Оставшийся участок на следующий день косил один косец в течение целого дня (то есть двух половин дня), выполнив объем работы в $1 \cdot 2 = 2$ единицы. Таким образом, общая площадь малого луга также равна:

$S_{м} = \frac{N}{2} + 2$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для площади малого луга, чтобы найти $N$:

$\frac{3N}{4} = \frac{N}{2} + 2$

Для решения уравнения умножим обе его части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$3N = 2N + 8$

Вычтем $2N$ из обеих частей:

$3N - 2N = 8$

$N = 8$

Проверим решение. Пусть в артели 8 косцов. Тогда площадь большого луга равна $\frac{3 \cdot 8}{2} = 12$ условных единиц. Площадь малого луга — $12 / 2 = 6$ единиц. В первую половину дня 8 косцов скосили на большом лугу 8 ед. Во вторую половину дня 4 косца докосили на большом лугу 4 ед. (итого $8+4=12$), а другие 4 косца скосили на малом лугу 4 ед. Осталось $6-4=2$ ед. На следующий день 1 косец работал весь день (2 половины дня), скосив $1 \cdot 2 = 2$ ед. Все верно.

Ответ: 8 косцов.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.