Номер 1242, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1242, страница 237.

1242. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

Для решения этой задачи введем условную единицу работы — «человеко-полдня». Эта единица равна объему работы (площади), которую скашивает один косец за половину рабочего дня. Пусть $N$ — искомое количество косцов в артели.

Сначала определим площадь большого луга в этих единицах. В первую половину дня вся артель ($N$ косцов) работала на нем, выполнив работу, равную $N$ единиц. Во вторую половину дня на нем работала половина артели ($\frac{N}{2}$ косцов), выполнив работу, равную $\frac{N}{2}$ единиц. Так как к вечеру луг был скошен, его общая площадь $S_{б}$ составляет:

$S_{б} = N + \frac{N}{2} = \frac{3N}{2}$

Теперь рассмотрим малый луг. По условию, его площадь $S_{м}$ вдвое меньше площади большого луга:

$S_{м} = \frac{S_{б}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3N}{2} = \frac{3N}{4}$

С другой стороны, рассчитаем площадь малого луга исходя из того, как его косили. Во вторую половину дня на нем работала половина артели ($\frac{N}{2}$ косцов), выполнив объем работы в $\frac{N}{2}$ единиц. Оставшийся участок на следующий день косил один косец в течение целого дня (то есть двух половин дня), выполнив объем работы в $1 \cdot 2 = 2$ единицы. Таким образом, общая площадь малого луга также равна:

$S_{м} = \frac{N}{2} + 2$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для площади малого луга, чтобы найти $N$:

$\frac{3N}{4} = \frac{N}{2} + 2$

Для решения уравнения умножим обе его части на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$3N = 2N + 8$

Вычтем $2N$ из обеих частей:

$3N - 2N = 8$

$N = 8$

Проверим решение. Пусть в артели 8 косцов. Тогда площадь большого луга равна $\frac{3 \cdot 8}{2} = 12$ условных единиц. Площадь малого луга — $12 / 2 = 6$ единиц. В первую половину дня 8 косцов скосили на большом лугу 8 ед. Во вторую половину дня 4 косца докосили на большом лугу 4 ед. (итого $8+4=12$), а другие 4 косца скосили на малом лугу 4 ед. Осталось $6-4=2$ ед. На следующий день 1 косец работал весь день (2 половины дня), скосив $1 \cdot 2 = 2$ ед. Все верно.

Ответ: 8 косцов.