Номер 1245, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1245, страница 237.

1245. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние от пункта A до пункта B (в км).
• $v_в$ – скорость всадника (в км/ч).
• $v_п$ – скорость пешехода (в км/ч).

Переведем все временные интервалы в часы для удобства расчетов:

• 50 мин = $\frac{50}{60}$ ч = $\frac{5}{6}$ ч.
• 1 ч 40 мин = $1 + \frac{40}{60}$ ч = $1 + \frac{2}{3}$ ч = $\frac{5}{3}$ ч.

Найдем расстояние от А до В

Всадник затратил на весь путь (из A в B и обратно в A) $\frac{5}{3}$ часа. Расстояние в одну сторону он проехал за половину этого времени, так как его скорость была постоянной.

Время всадника на путь из A в B: $t_в = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$ часа.

По условию, всадник прибыл в пункт B на 50 минут ($\frac{5}{6}$ часа) раньше пешехода. Это означает, что время пешехода на путь из A в B на $\frac{5}{6}$ часа больше, чем время всадника.

Время пешехода на путь из A в B: $t_п = t_в + \frac{5}{6} = \frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ часа.

Теперь рассмотрим момент встречи. Всадник и пешеход вышли одновременно. К моменту встречи всадник проехал расстояние от A до B и вернулся на 2 км обратно. Пешеход за то же самое время прошел расстояние от A до точки встречи.

Путь всадника до встречи: $S_{в} = S + 2$ км.

Путь пешехода до встречи: $S_{п} = S - 2$ км.

Так как время до встречи для обоих одинаково, мы можем составить пропорцию, используя их скорости:

Время до встречи: $t_{встречи} = \frac{S_в}{v_в} = \frac{S_п}{v_п}$.

Отсюда: $\frac{v_в}{v_п} = \frac{S_в}{S_п} = \frac{S+2}{S-2}$.

Мы также знаем, что отношение скоростей обратно пропорционально отношению времен, затраченных на одинаковое расстояние $S$:

$\frac{v_в}{v_п} = \frac{t_п}{t_в} = \frac{5/3}{5/6} = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = 2$.

Теперь приравняем два выражения для отношения скоростей:

$\frac{S+2}{S-2} = 2$

$S+2 = 2(S-2)$

$S+2 = 2S - 4$

$2S - S = 2 + 4$

$S = 6$

Ответ: расстояние от А до В равно 6 км.

Найдем скорость всадника

Всадник проехал расстояние $S=6$ км за время $t_в = \frac{5}{6}$ часа.

$v_в = \frac{S}{t_в} = \frac{6}{5/6} = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} = 7.2$ км/ч.

Ответ: скорость всадника равна 7,2 км/ч.

Найдем скорость пешехода

Пешеход прошел расстояние $S=6$ км за время $t_п = \frac{5}{3}$ часа.

$v_п = \frac{S}{t_п} = \frac{6}{5/3} = 6 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ км/ч.

Можно также найти скорость пешехода, зная, что она в 2 раза меньше скорости всадника: $v_п = \frac{v_в}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 3,6 км/ч.