Номер 1238, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1238, страница 236.

1238. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.

Пусть искомое трёхзначное число равно $N$. По условию задачи, это число должно одновременно являться квадратом некоторого двузначного числа и кубом некоторого однозначного числа.

Обозначим однозначное число как $b$. Поскольку $N$ — трёхзначное число, оно должно находиться в диапазоне $100 \le N \le 999$. Найдём кубы всех однозначных натуральных чисел ($b$ от 1 до 9), чтобы определить возможные значения для $N$.

Вычислим их кубы:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
$4^3 = 64$
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
$7^3 = 343$
$8^3 = 512$
$9^3 = 729$
Куб следующего целого числа, $10^3 = 1000$, уже является четырёхзначным, поэтому другие числа рассматривать не нужно.

Из этого списка выберем только те числа, которые являются трёхзначными. Возможные кандидаты для $N$: 125, 216, 343, 512, 729.

Теперь, согласно условию, проверим, какое из этих чисел является квадратом двузначного числа. Обозначим это двузначное число как $a$.

- Является ли 125 квадратом целого числа? Нет, так как $11^2 = 121$, а $12^2 = 144$.
- Является ли 216 квадратом целого числа? Нет, так как $14^2 = 196$, а $15^2 = 225$.
- Является ли 343 квадратом целого числа? Нет, так как $18^2 = 324$, а $19^2 = 361$.
- Является ли 512 квадратом целого числа? Нет, так как $22^2 = 484$, а $23^2 = 529$.
- Является ли 729 квадратом целого числа? Да, $27^2 = 729$. Число 27 является двузначным.

Таким образом, единственное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 729.
Проверим:
1. 729 — трёхзначное число.
2. $729 = 27^2$, где 27 — двузначное число.
3. $729 = 9^3$, где 9 — однозначное число.
Все условия выполнены.

Альтернативный способ решения:
Если число $N$ является одновременно и точным квадратом ($N=a^2$), и точным кубом ($N=b^3$), то оно должно быть точной шестой степенью некоторого натурального числа $k$, то есть $N = k^6$. Это следует из основной теоремы арифметики, так как показатели степеней в разложении числа $N$ на простые множители должны быть кратны и 2, и 3, а значит, кратны 6.
Проверим значения $k$:
$k=1 \implies N=1^6=1$ (не трёхзначное).
$k=2 \implies N=2^6=64$ (не трёхзначное).
$k=3 \implies N=3^6=729$ (трёхзначное).
$k=4 \implies N=4^6=4096$ (четырёхзначное).
Единственный подходящий вариант — 729.

Ответ: 729.