Номер 1233, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1233, страница 236.

1233. Найдите все простые числа р и q, для которых р² − 2q² = 1.

Для решения уравнения $p^2 - 2q^2 = 1$ в простых числах $p$ и $q$ преобразуем его:$p^2 - 1 = 2q^2$$(p-1)(p+1) = 2q^2$

Сначала проверим, может ли $p$ быть равным 2. Если $p=2$, то $2^2 - 2q^2 = 1$, что приводит к уравнению $4 - 2q^2 = 1$, или $2q^2 = 3$. Уравнение $q^2 = 3/2$ не имеет целочисленных решений, значит $p \neq 2$. Поскольку $p$ — простое число, оно должно быть нечетным, то есть $p \ge 3$.

Рассмотрим уравнение по модулю 3. Для любого простого числа $x > 3$ его квадрат при делении на 3 дает в остатке 1, то есть $x^2 \equiv 1 \pmod{3}$.Предположим, что оба простых числа $p$ и $q$ больше 3. Тогда для них выполняются сравнения $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $q^2 \equiv 1 \pmod{3}$. Подставим эти значения в исходное уравнение, рассматривая его по модулю 3:$p^2 - 2q^2 \equiv 1 \pmod{3}$$1 - 2 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{3}$$1 - 2 \equiv 1 \pmod{3}$$-1 \equiv 1 \pmod{3}$$2 \equiv 1 \pmod{3}$Полученное сравнение неверно. Следовательно, наше предположение о том, что $p > 3$ и $q > 3$, ошибочно. Это означает, что по крайней мере одно из чисел $p$ или $q$ должно быть равно 2 или 3.

Проверим все возможные случаи:

1. Пусть $q=2$. Уравнение принимает вид $p^2 - 2(2^2) = 1$, то есть $p^2 - 8 = 1$, откуда $p^2 = 9$. Так как $p$ — простое число, оно должно быть положительным, поэтому $p=3$. Число 3 является простым. Таким образом, пара $(p,q) = (3,2)$ является решением.

2. Пусть $p=3$. Уравнение принимает вид $3^2 - 2q^2 = 1$, то есть $9 - 2q^2 = 1$, откуда $2q^2 = 8$ и $q^2=4$. Так как $q$ — простое число, $q=2$. Мы получили то же самое решение $(p,q) = (3,2)$.

3. Пусть $q=3$. Уравнение принимает вид $p^2 - 2(3^2) = 1$, то есть $p^2 - 18 = 1$, откуда $p^2 = 19$. Это уравнение не имеет целочисленных решений для $p$, так как 19 не является полным квадратом.

Мы уже показали, что случай $p=2$ невозможен. Таким образом, единственной парой простых чисел, удовлетворяющей данному уравнению, является $p=3$ и $q=2$.

Ответ: $p=3, q=2$.