Номер 1229, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1229, страница 236.

1229. Упростите выражение

(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1).

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом, основанным на формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Исходное выражение:

$(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

Заметим, что если мы умножим это выражение на $(2-1)$, его значение не изменится, так как $(2-1)=1$.

Получим выражение:

$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

Теперь мы можем последовательно применять формулу разности квадратов, начиная с первых двух множителей.

1. Свернем первые два множителя: $(2-1)(2+1) = 2^2 - 1^2 = 2^2-1$.

Выражение примет вид:

$(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

2. Снова применим формулу к первым двум множителям полученного выражения: $(2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2 - 1^2 = 2^4-1$.

Выражение примет вид:

$(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

3. Продолжая эту последовательность, мы видим, что произведение "сворачивается" шаг за шагом:

$(2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2 - 1^2 = 2^8-1$.

Выражение становится:

$(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

4. Следующий шаг: $(2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2 - 1^2 = 2^{16}-1$.

Выражение становится:

$(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)$

5. Предпоследний шаг: $(2^{16}-1)(2^{16}+1) = (2^{16})^2 - 1^2 = 2^{32}-1$.

Выражение становится:

$(2^{32}-1)(2^{32}+1)$

6. Наконец, применяем формулу в последний раз: $(2^{32}-1)(2^{32}+1) = (2^{32})^2 - 1^2 = 2^{64}-1$.

Таким образом, после всех преобразований мы получили окончательный результат.

Ответ: $2^{64}-1$.