Номер 1225, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1225, страница 236.

1225. Докажите, что р² − 1 кратно 24, если р − простое число, большее 3.

Чтобы доказать, что выражение $p^2 - 1$ кратно 24, необходимо показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Разложим выражение $p^2 - 1$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$

Теперь докажем делимость произведения $(p - 1)(p + 1)$ на 3 и на 8 по отдельности.

Доказательство делимости на 3.
Числа $(p - 1)$, $p$ и $(p + 1)$ — это три последовательных целых числа. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. По условию, $p$ — простое число и $p > 3$. Это означает, что само $p$ не может делиться на 3 (единственное простое число, которое делится на 3, — это само число 3). Следовательно, на 3 должно делиться либо число $(p - 1)$, либо число $(p + 1)$. В любом случае, их произведение $(p - 1)(p + 1)$ будет кратно 3.

Доказательство делимости на 8.
Поскольку $p$ — простое число, большее 3, оно должно быть нечетным (единственное четное простое число — это 2). Если $p$ — нечетное число, то $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа. Рассмотрим их произведение. Пусть $p = 2k+1$ для некоторого целого числа $k \ge 2$ (так как $p>3$). Тогда:

$(p - 1)(p + 1) = ((2k+1) - 1)((2k+1) + 1) = (2k)(2k + 2) = 4k(k+1)$

Выражение $k(k+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является четным, поэтому их произведение $k(k+1)$ всегда делится на 2. Таким образом, все выражение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.

Заключение.
Мы установили, что выражение $p^2 - 1$ делится и на 3, и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то $p^2 - 1$ должно делиться на их произведение $3 \times 8 = 24$.

Ответ: Утверждение доказано.