Номер 1222, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1222, страница 235.

1222. Представьте выражение 2x² + 2у² в виде суммы двух квадратов.

Чтобы представить данное выражение в виде суммы двух квадратов, воспользуемся тождеством, известным как тождество Брахмагупты-Фибоначчи в частном случае, или просто преобразуем выражение, добавив и вычтя один и тот же член.

Исходное выражение: $2x^2 + 2y^2$.

Мы можем переписать это выражение, разбив каждый член на два слагаемых:

$2x^2 + 2y^2 = x^2 + x^2 + y^2 + y^2$

Теперь перегруппируем слагаемые. Чтобы получить полные квадраты, нам нужны удвоенные произведения. Добавим и вычтем выражение $2xy$:

$x^2 + x^2 + y^2 + y^2 + 2xy - 2xy$

Сгруппируем члены так, чтобы получились формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)$

Вспомним формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применив эти формулы к сгруппированным членам, получим:

$(x^2 + 2xy + y^2) = (x+y)^2$

$(x^2 - 2xy + y^2) = (x-y)^2$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в сумму двух квадратов:

$2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$

Для проверки можно раскрыть скобки в полученном выражении:

$(x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2$

Результат совпадает с исходным выражением, следовательно, преобразование выполнено верно.

Ответ: $(x+y)^2 + (x-y)^2$