Номер 1217, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1217, страница 235.

1217. Постройте график функции:

а) у = |х| − 3;
б) у = 4 - |х|.

а) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = |x|$.

1. Построим график функции $y = |x|$. Этот график является объединением двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму ("уголок") с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$.

2. Чтобы из графика $y = |x|$ получить график $y = |x| - 3$, необходимо выполнить преобразование вида $f(x) \to f(x) - a$. В нашем случае $a=3$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) исходного графика вдоль оси ординат (OY) на 3 единицы вниз.

3. Таким образом, мы сдвигаем каждую точку графика $y = |x|$ на 3 единицы вниз. Вершина графика переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -3)$.

Для более точного построения найдем несколько ключевых точек:

• Вершина: При $x=0$, $y = |0| - 3 = -3$. Координаты вершины: $(0, -3)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
  $|x| - 3 = 0 \implies |x| = 3$.
  Это дает нам два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
• Контрольные точки:
  При $x=1$, $y=|1|-3 = -2$. Точка $(1, -2)$.
  При $x=-1$, $y=|-1|-3 = -2$. Точка $(-1, -2)$.

Соединив вершину $(0, -3)$ с точками $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ лучами, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = |x| - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Это "уголок" с вершиной в точке $(0, -3)$, ветви которого направлены вверх.

---

б) $y = 4 - |x|$

Для построения графика функции $y = 4 - |x|$ (или $y = -|x| + 4$) мы также выполним последовательность преобразований графика $y = |x|$.

1. Начнем с графика функции $y = |x|$ (V-образный "уголок" с вершиной в $(0, 0)$).

2. Преобразуем его в график функции $y = -|x|$. Умножение функции на -1 соответствует симметричному отражению ее графика относительно оси абсцисс (OX). В результате мы получим "перевернутый уголок", ветви которого направлены вниз, а вершина по-прежнему находится в точке $(0, 0)$.

3. Теперь, чтобы получить график $y = -|x| + 4$, выполним преобразование вида $f(x) \to f(x) + a$. В нашем случае $a=4$. Это соответствует параллельному переносу графика $y = -|x|$ на 4 единицы вверх вдоль оси ординат (OY).

4. В результате вершина "перевернутого уголка" сместится из $(0, 0)$ в точку $(0, 4)$.

Найдем ключевые точки для построения:

• Вершина: При $x=0$, $y = 4 - |0| = 4$. Координаты вершины: $(0, 4)$. Это также точка пересечения с осью OY.
• Пересечение с осью OX (нули функции): Найдем значения $x$, при которых $y=0$.
  $4 - |x| = 0 \implies |x| = 4$.
  Это дает нам два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
  Точки пересечения с осью OX: $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.
• Контрольные точки:
  При $x=2$, $y=4-|2| = 2$. Точка $(2, 2)$.
  При $x=-2$, $y=4-|-2| = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Соединив вершину $(0, 4)$ с точками $(-4, 0)$ и $(4, 0)$ лучами, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = 4 - |x|$ получается путем отражения графика $y = |x|$ относительно оси OX и последующего сдвига на 4 единицы вверх вдоль оси OY. Это "перевернутый уголок" с вершиной в точке $(0, 4)$, ветви которого направлены вниз.