Номер 1210, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1210, страница 235.

1210. Делится ли число $\underset{81 раз}{\underbrace{111 ...1 }}$ на 81?

Для того чтобы число делилось на 81, оно должно быть делимо на 9, и частное от этого деления также должно быть делимо на 9, поскольку $81 = 9 \times 9$.

Обозначим данное число, состоящее из 81 единицы, как $N$.

Проверка делимости N на 9

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.Сумма цифр числа $N$ равна:$S = \underbrace{1 + 1 + ... + 1}_{81 \text{ раз}} = 81$.Поскольку сумма цифр (81) делится на 9 ($81 : 9 = 9$), то и само число $N$ делится на 9.

Проверка делимости на 81

Теперь необходимо проверить, делится ли на 9 частное $N/9$. Для этого представим число $N$ в виде произведения. Сгруппируем единицы в блоки по 9 цифр. Так как всего в числе 81 цифра, получится $81 / 9 = 9$ таких блоков.

$N = \underbrace{11...1}_{81} = (\underbrace{11...1}_{9}) \times (10^0 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72})$.

Обозначим сомножители как $A$ и $B$:$A = \underbrace{11...1}_{9}$$B = 1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72}$Таким образом, $N = A \times B$.

Рассмотрим каждый сомножитель на предмет делимости на 9.

1. Сомножитель $A = \underbrace{11...1}_{9}$. Сумма его цифр равна $1 \times 9 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и число $A$ делится на 9.

2. Сомножитель $B$ является суммой 9 слагаемых. Проверим его делимость на 9 с помощью теории сравнений.Известно, что $10$ при делении на $9$ дает в остатке $1$, что записывается как $10 \equiv 1 \pmod{9}$.Любая натуральная степень числа 10 также будет сравнима с 1 по модулю 9: $10^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{9}$.Следовательно, каждое слагаемое в выражении для $B$ сравнимо с 1 по модулю 9:$B = 1 + 10^9 + 10^{18} + \dots + 10^{72} \equiv \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{9 \text{ слагаемых}} \pmod{9}$.$B \equiv 9 \pmod{9}$, что равносильно $B \equiv 0 \pmod{9}$.Это означает, что сомножитель $B$ также делится на 9.

Поскольку $N = A \times B$, где и $A$, и $B$ делятся на 9, то их произведение $N$ делится на $9 \times 9 = 81$.

Ответ: да, делится.