Номер 1205, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 6. Системы линейных уравнений. Задачи повышенной трудности - номер 1205, страница 234.

Условие.

1205. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике орехов на 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?

Решение 1.

Пусть х орехов в I ящике, тогда x + 0,1х = 1,1х орехов во II ящике. Зная, что в I ящике на 80 орехов больше, чем в III, обозначим х - 80 – орехи в III ящике.

Пусть x - 80 – это 100%, тогда 1,1x – это 130%. Составим пропорцию: $\frac{\mathrm{x}-80}{1,1\mathrm{x}}=\frac{100}{130}$

$\mathrm{x}-80=\frac{110\mathrm{x}}{130}=\frac{11}{13}\mathrm{x}$ – орехи в III ящике.

Составим уравнение:

$1) \mathrm{x}-80=\frac{11}{13}\mathrm{x};$

$\mathrm{x}-\frac{11}{13}\mathrm{x}=80;$

$\frac{2}{13}\mathrm{x}=80;$

$\mathrm{x}=80:\frac{2}{13};$

$\mathrm{x}=80·\frac{13}{2};$

x = 40 ⋅ 13;
x = 520;

2) 1,1 ⋅ 520 = 572 (ор.) – II ящике;

3) 520 - 80 = 440 (ор.) – III ящике.

Ответ: 520, 572 и 440 орехов.

Решение 2.

Обозначим количество орехов в первом ящике как $x$, во втором — как $y$, и в третьем — как $z$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
1. Во втором ящике орехов на 10% больше, чем в первом. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 110% от количества в первом:
$y = x + 0.1x = 1.1x$

2. Во втором ящике орехов на 30% больше, чем в третьем. Это означает, что количество орехов во втором ящике составляет 130% от количества в третьем:
$y = z + 0.3z = 1.3z$

3. В первом ящике на 80 орехов больше, чем в третьем:
$x = z + 80$

Получаем следующую систему уравнений:
$\begin{cases} y = 1.1x \\ y = 1.3z \\ x = z + 80 \end{cases}$

Так как левые части первых двух уравнений равны ($y$), мы можем приравнять их правые части:
$1.1x = 1.3z$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $x$ из третьего уравнения ($x = z + 80$):
$1.1(z + 80) = 1.3z$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $z$:
$1.1z + 1.1 \cdot 80 = 1.3z$
$1.1z + 88 = 1.3z$
$1.3z - 1.1z = 88$
$0.2z = 88$
$z = \frac{88}{0.2} = \frac{880}{2} = 440$
Таким образом, в третьем ящике 440 орехов.

Зная $z$, найдем количество орехов в первом и втором ящиках.
Количество орехов в первом ящике:
$x = z + 80 = 440 + 80 = 520$
Количество орехов во втором ящике:
$y = 1.1x = 1.1 \cdot 520 = 572$

Проверим значение $y$ через $z$: $y = 1.3z = 1.3 \cdot 440 = 572$. Все верно.

Ответ: в первом ящике 520 орехов, во втором — 572 ореха, в третьем — 440 орехов.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.