Номер 1202, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1202, страница 234.

1202. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая − с пятой и третья − с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Пусть наше шестизначное число $N$ состоит из цифр $a, b, c, d, e, f$. Его можно записать в виде $\overline{abcdef}$.

По условию задачи первая цифра совпадает с четвёртой ($a=d$), вторая — с пятой ($b=e$), а третья — с шестой ($c=f$). Это означает, что число имеет вид $\overline{abcabc}$. Поскольку число шестизначное, первая цифра $a$ не может быть нулём.

Представим это число в виде суммы его разрядных слагаемых:

$N = a \cdot 10^5 + b \cdot 10^4 + c \cdot 10^3 + a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0$

$N = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми цифрами ($a, b, c$):

$N = (100000a + 100a) + (10000b + 10b) + (1000c + c)$

$N = 100100a + 10010b + 1001c$

Теперь вынесем за скобки общий множитель 1001:

$N = 1001 \cdot (100a + 10b + c)$

Выражение в скобках $100a + 10b + c$ — это не что иное, как трёхзначное число $\overline{abc}$. Таким образом, наше шестизначное число можно представить в виде произведения:

$N = 1001 \cdot \overline{abc}$

Чтобы доказать, что число $N$ кратно 7, 11 и 13, достаточно показать, что множитель 1001 делится на эти числа. Проверим это, вычислив их произведение:

$7 \cdot 11 \cdot 13 = 77 \cdot 13 = 1001$

Поскольку $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, мы можем переписать формулу для числа $N$ следующим образом:

$N = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot \overline{abc}$

Из этого равенства видно, что число $N$ является произведением трёхзначного числа $\overline{abc}$ и чисел 7, 11 и 13. Следовательно, $N$ всегда будет делиться нацело на 7, на 11 и на 13.

Ответ: Утверждение доказано. Любое число вида $\overline{abcabc}$ можно представить как произведение $1001 \cdot \overline{abc}$. Так как $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, то число $\overline{abcabc}$ всегда кратно 7, 11 и 13.