Номер 1197, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1197, страница 233.

1197. Написали два числа. Если первое число увеличить на 30%, а второе уменьшить на 10%, то их сумма увеличится на 6. Если же первое число уменьшить на 10%, а второе − на 20%, то их сумма уменьшится на 16. Какие числа были написаны?

Пусть первое искомое число — это $x$, а второе — $y$. Их первоначальная сумма равна $x + y$.

Рассмотрим первое условие. Если первое число увеличить на 30%, оно станет равным $x + 0.3x = 1.3x$. Если второе число уменьшить на 10%, оно станет равным $y - 0.1y = 0.9y$. Их новая сумма составит $1.3x + 0.9y$. По условию, эта новая сумма на 6 больше первоначальной, то есть:

$(1.3x + 0.9y) - (x + y) = 6$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$1.3x + 0.9y - x - y = 6$

$0.3x - 0.1y = 6$

Это первое уравнение нашей системы.

Теперь рассмотрим второе условие. Если первое число уменьшить на 10%, оно станет равным $x - 0.1x = 0.9x$. Если второе число уменьшить на 20%, оно станет равным $y - 0.2y = 0.8y$. Их новая сумма составит $0.9x + 0.8y$. По условию, эта сумма на 16 меньше первоначальной, то есть:

$(x + y) - (0.9x + 0.8y) = 16$

Упростим выражение:

$x + y - 0.9x - 0.8y = 16$

$0.1x + 0.2y = 16$

Это второе уравнение.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 0.3x - 0.1y = 6 \\ 0.1x + 0.2y = 16 \end{cases}$

Для удобства решения умножим каждое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$\begin{cases} 3x - y = 60 \\ x + 2y = 160 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3x - 60$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 2(3x - 60) = 160$

$x + 6x - 120 = 160$

$7x = 160 + 120$

$7x = 280$

$x = \frac{280}{7}$

$x = 40$

Мы нашли первое число. Теперь найдем второе, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3 \cdot 40 - 60$

$y = 120 - 60$

$y = 60$

Таким образом, искомые числа — это 40 и 60.

Проверим найденное решение.

Первоначальная сумма: $40 + 60 = 100$.
1) Увеличим 40 на 30% ($40 \cdot 1.3 = 52$) и уменьшим 60 на 10% ($60 \cdot 0.9 = 54$). Новая сумма: $52 + 54 = 106$. Сумма увеличилась на $106 - 100 = 6$. Условие выполняется.
2) Уменьшим 40 на 10% ($40 \cdot 0.9 = 36$) и уменьшим 60 на 20% ($60 \cdot 0.8 = 48$). Новая сумма: $36 + 48 = 84$. Сумма уменьшилась на $100 - 84 = 16$. Условие выполняется.

Ответ: 40 и 60.