Номер 1199, страница 233 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 15. Дополнительные упражнения к главе VI. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1199, страница 233.

1199. За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго − на 20%. Теперь за 2 дня работы на первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальная производительность первого станка (деталей в день), а $y$ — первоначальная производительность второго станка (деталей в день).

Из первого условия, что за 8 дней работы на первом станке и 5 дней на втором было изготовлено 235 деталей, получаем первое уравнение:

$8x + 5y = 235$

После усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, то есть стала равна $x + 0.15x = 1.15x$. Производительность второго станка возросла на 20%, то есть стала равна $y + 0.20y = 1.2y$.

Из второго условия, что за 2 дня на усовершенствованном первом станке и 3 дня на втором можно изготовить 100 деталей, получаем второе уравнение:

$2 \cdot (1.15x) + 3 \cdot (1.2y) = 100$

Упростим второе уравнение:

$2.3x + 3.6y = 100$

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 2.3x + 3.6y = 100 \end{cases}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей во втором уравнении, умножим его на 10:

$23x + 36y = 1000$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 8x + 5y = 235 \\ 23x + 36y = 1000 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 36, а второе на -5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$36 \cdot (8x + 5y) = 36 \cdot 235 \implies 288x + 180y = 8460$

$-5 \cdot (23x + 36y) = -5 \cdot 1000 \implies -115x - 180y = -5000$

Теперь сложим полученные уравнения:

$(288x + 180y) + (-115x - 180y) = 8460 - 5000$

$288x - 115x = 3460$

$173x = 3460$

$x = \frac{3460}{173}$

$x = 20$

Подставим найденное значение $x=20$ в первое исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$8(20) + 5y = 235$

$160 + 5y = 235$

$5y = 235 - 160$

$5y = 75$

$y = \frac{75}{5}$

$y = 15$

Следовательно, первоначальная производительность первого станка составляла 20 деталей в день, а второго — 15 деталей в день.

Ответ: раньше на первом станке изготовляли 20 деталей в день, а на втором — 15 деталей в день.