Номер 1200, страница 234 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 6. Системы линейных уравнений - номер 1200, страница 234.

1200. Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а − 1)х = 12 является натуральным числом.

Согласно условию задачи, нам дано уравнение $(a - 1)x = 12$, где и параметр $a$, и корень уравнения $x$ должны быть натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа ($a, x \in \{1, 2, 3, ...\}$).

Чтобы найти корень $x$, выразим его из уравнения. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на множитель $(a-1)$. Эта операция возможна только если $(a-1) \neq 0$.

Рассмотрим случай, когда $a-1 = 0$, то есть $a=1$. Так как $a$ — натуральное число, это значение является допустимым для рассмотрения. Подставив $a=1$ в уравнение, получаем:
$(1 - 1)x = 12$
$0 \cdot x = 12$
$0 = 12$
Это равенство неверно, следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет решений. Таким образом, значение $a=1$ не подходит.

Поскольку $a$ — натуральное число и $a \neq 1$, то $a$ может принимать значения $2, 3, 4, \dots$. При таких значениях $a$ выражение $(a-1)$ не равно нулю, и мы можем выразить $x$:
$x = \frac{12}{a - 1}$

По условию, $x$ должен быть натуральным числом. Это означает, что результат деления $12$ на $(a-1)$ должен быть целым положительным числом.

Поскольку $a \ge 2$, то знаменатель $a-1 \ge 1$. Это значит, что знаменатель $(a-1)$ всегда является натуральным числом. Следовательно, частное $\frac{12}{a-1}$ всегда будет положительным.

Чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы знаменатель $(a-1)$ был натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Теперь приравняем выражение $(a-1)$ к каждому из найденных делителей и определим соответствующие значения $a$:
1. Если $a - 1 = 1$, то $a = 2$. При этом $x = \frac{12}{1} = 12$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
2. Если $a - 1 = 2$, то $a = 3$. При этом $x = \frac{12}{2} = 6$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
3. Если $a - 1 = 3$, то $a = 4$. При этом $x = \frac{12}{3} = 4$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
4. Если $a - 1 = 4$, то $a = 5$. При этом $x = \frac{12}{4} = 3$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
5. Если $a - 1 = 6$, то $a = 7$. При этом $x = \frac{12}{6} = 2$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.
6. Если $a - 1 = 12$, то $a = 13$. При этом $x = \frac{12}{12} = 1$. Оба числа $a$ и $x$ натуральные.

Мы нашли все возможные натуральные значения $a$, при которых корень уравнения $x$ также является натуральным числом.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 7, 13.